Theorem rpregt0 11722

Description: A positive real is a positive real number. (Contributed by NM, 11-Nov-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rpregt0	⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Proof of Theorem rpregt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 11710	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))
2	1	biimpi 205	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   class class class wbr 4583  ℝcr 9814  0cc0 9815   < clt 9953  ℝ⁺crp 11708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-rp 11709

This theorem is referenced by:  rpne0  11724  divlt1lt  11775  divle1le  11776  ledivge1le  11777  nnledivrp  11816  modge0  12540  modlt  12541  modid  12557  modmuladdnn0  12576  expnlbnd  12856  o1fsum  14386  isprm6  15264  gexexlem  18078  lmnn  22869  aaliou2b  23900  harmonicbnd4  24537  logfaclbnd  24747  logfacrlim  24749  chto1ub  24965  vmadivsum  24971  dchrmusumlema  24982  dchrvmasumlem2  24987  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  mulogsumlem  25020  mulog2sumlem2  25024  selberg2lem  25039  selberg3lem1  25046  pntrmax  25053  pntrsumo1  25054  pntibndlem3  25081  divge1b  42096  divgt1b  42097