MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pntibndlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pntibndlem3 25081
Description: Lemma for pntibnd 25082. Package up pntibndlem2 25080 in quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
pntibnd.r 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
pntibndlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
pntibndlem1.l 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
pntibndlem3.2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
pntibndlem3.3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.k 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
pntibndlem3.c 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
pntibndlem3.4 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
pntibndlem3.6 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
pntibndlem3.5 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
Assertion
Ref Expression
pntibndlem3 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑎,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧,𝐸   𝑢,𝐿,𝑣,𝑥,𝑧   𝑢,𝐴,𝑣,𝑥   𝑢,𝐶,𝑣,𝑥,𝑦   𝑅,𝑖,𝑘,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦,𝑧   𝑚,𝐾   𝑘,𝑍,𝑚,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝜑,𝑘,𝑢,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧,𝑣,𝑖,𝑚,𝑎)   𝐴(𝑦,𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝐶(𝑧,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑅(𝑎)   𝐾(𝑥,𝑦,𝑧,𝑣,𝑢,𝑖,𝑘,𝑎)   𝐿(𝑦,𝑖,𝑘,𝑚,𝑎)   𝑍(𝑧,𝑖,𝑎)

Proof of Theorem pntibndlem3
Dummy variables 𝑛 𝑡 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 10967 . . 3 2 ∈ ℝ
2 1le2 11118 . . 3 1 ≤ 2
3 chpdifbnd 25044 . . 3 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 ≤ 2) → ∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
41, 2, 3mp2an 704 . 2 𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣))))
5 simpr 476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ℝ+)
6 ioossre 12106 . . . . . . . . . . . . 13 (0(,)1) ⊆ ℝ
7 pntibndlem3.4 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐸 ∈ (0(,)1))
86, 7sseldi 3566 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐸 ∈ ℝ)
9 eliooord 12104 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐸 ∈ (0(,)1) → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
107, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 < 𝐸𝐸 < 1))
1110simpld 474 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝐸)
128, 11elrpd 11745 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
1312adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ+)
14 4nn 11064 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℕ
15 nnrp 11718 . . . . . . . . . . 11 (4 ∈ ℕ → 4 ∈ ℝ+)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 4 ∈ ℝ+
17 rpdivcl 11732 . . . . . . . . . 10 ((𝐸 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
1813, 16, 17sylancl 693 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 4) ∈ ℝ+)
195, 18rpdivcld 11765 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ+)
2019rpred 11748 . . . . . . 7 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝐸 / 4)) ∈ ℝ)
2120rpefcld 14674 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ+)
22 pntibndlem3.6 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ ℝ+)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
2421, 23rpaddcld 11763 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
2524adantrr 749 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+)
26 elioore 12076 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → 𝑦 ∈ ℝ)
2726ad2antll 761 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
2823rpred 11748 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ)
2928adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ)
3020reefcld 14657 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) ∈ ℝ)
3130, 28readdcld 9948 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
3231adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ)
3328, 21ltaddrp2d 11782 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
3433adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍))
35 eliooord 12104 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦𝑦 < +∞))
3635simpld 474 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
3736ad2antll 761 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) < 𝑦)
3829, 32, 27, 34, 37lttrd 10077 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 < 𝑦)
3929rexrd 9968 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑍 ∈ ℝ*)
40 elioopnf 12138 . . . . . . . . . 10 (𝑍 ∈ ℝ* → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑍 < 𝑦)))
4227, 38, 41mpbir2and 959 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
4342adantlrr 753 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → 𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞))
44 pntibndlem3.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = ((2 · 𝐵) + (log‘2))
45 pntibndlem3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐵 ∈ ℝ+)
4645adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ+)
4746rpred 11748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℝ)
48 remulcl 9900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
491, 47, 48sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℝ)
50 2rp 11713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
51 relogcl 24126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
5250, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℝ
53 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((2 · 𝐵) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
5449, 52, 53sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) + (log‘2)) ∈ ℝ)
5544, 54syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
5655, 13rerpdivcld 11779 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ)
5756reefcld 14657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
58 elicopnf 12140 . . . . . . . . . . . . . 14 ((exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ↔ (𝑘 ∈ ℝ ∧ (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)))
6059simprbda 651 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝑘 ∈ ℝ)
6160rehalfcld 11156 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ ℝ)
62 pntibndlem3.k . . . . . . . . . . . 12 𝐾 = (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2)))
6313rphalfcld 11760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 / 2) ∈ ℝ+)
6447, 63rerpdivcld 11779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ)
6564reefcld 14657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
66 remulcl 9900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
6765, 1, 66sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
6867adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ∈ ℝ)
6957adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ∈ ℝ)
7064recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ)
7152recni 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (log‘2) ∈ ℂ
72 efadd 14663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
7370, 71, 72sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))))
74 reeflog 24131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (2 ∈ ℝ+ → (exp‘(log‘2)) = 2)
7550, 74ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (exp‘(log‘2)) = 2
7675oveq2i 6560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · (exp‘(log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2)
7773, 76syl6eq 2660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) = ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2))
7852a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℝ)
79 rerpdivcl 11737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((log‘2) ∈ ℝ ∧ 𝐸 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8052, 13, 79sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 𝐸) ∈ ℝ)
8171div1i 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((log‘2) / 1) = (log‘2)
8210simprd 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑𝐸 < 1)
8382adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 < 1)
848adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ∈ ℝ)
85 1re 9918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
86 ltle 10005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐸 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
8784, 85, 86sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 < 1 → 𝐸 ≤ 1))
8883, 87mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐸 ≤ 1)
8913rpregt0d 11754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸))
90 1rp 11712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ+
91 rpregt0 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1 ∈ ℝ+ → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
9290, 91mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1))
93 1lt2 11071 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 < 2
94 rplogcl 24154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → (log‘2) ∈ ℝ+)
951, 93, 94mp2an 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (log‘2) ∈ ℝ+
96 rpregt0 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((log‘2) ∈ ℝ+ → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
9795, 96mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2)))
98 lediv2 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐸 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐸) ∧ (1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((log‘2) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘2))) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
9989, 92, 97, 98syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ≤ 1 ↔ ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸)))
10088, 99mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((log‘2) / 1) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10181, 100syl5eqbrr 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ≤ ((log‘2) / 𝐸))
10278, 80, 64, 101leadd2dd 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
10344oveq1i 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸)
10449recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) ∈ ℂ)
10571a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (log‘2) ∈ ℂ)
106 rpcnne0 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐸 ∈ ℝ+ → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
10713, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0))
108 divdir 10589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((2 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (log‘2) ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0)) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
109104, 105, 107, 108syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) + (log‘2)) / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
110103, 109syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)))
1111recni 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℂ
11247recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → 𝐵 ∈ ℂ)
113 mulcom 9901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
114111, 112, 113sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 · 𝐵) = (𝐵 · 2))
115114oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
116 rpcnne0 11726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
11750, 116mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
118 divdiv2 10616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐸 ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
119112, 107, 117, 118syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐵 / (𝐸 / 2)) = ((𝐵 · 2) / 𝐸))
120115, 119eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((2 · 𝐵) / 𝐸) = (𝐵 / (𝐸 / 2)))
121120oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((2 · 𝐵) / 𝐸) + ((log‘2) / 𝐸)) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
122110, 121eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (𝐶 / 𝐸) = ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + ((log‘2) / 𝐸)))
123102, 122breqtrrd 4611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸))
124 readdcl 9898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 / (𝐸 / 2)) ∈ ℝ ∧ (log‘2) ∈ ℝ) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
12564, 52, 124sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ)
126 efle 14687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐸) ∈ ℝ) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
127125, 56, 126syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2)) ≤ (𝐶 / 𝐸) ↔ (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸))))
128123, 127mpbid 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → (exp‘((𝐵 / (𝐸 / 2)) + (log‘2))) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
12977, 128eqbrtrrd 4607 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
130129adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ (exp‘(𝐶 / 𝐸)))
13159simplbda 652 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐶 / 𝐸)) ≤ 𝑘)
13268, 69, 60, 130, 131letrd 10073 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘)
13365adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ)
134 rpregt0 11722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
13550, 134mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
136 lemuldiv 10782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
137133, 60, 135, 136syl3anc 1318 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (((exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) · 2) ≤ 𝑘 ↔ (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2)))
138132, 137mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (exp‘(𝐵 / (𝐸 / 2))) ≤ (𝑘 / 2))
13962, 138syl5eqbr 4618 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))
14062, 133syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → 𝐾 ∈ ℝ)
141 elicopnf 12140 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℝ → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
142140, 141syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) ↔ ((𝑘 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝐾 ≤ (𝑘 / 2))))
14361, 139, 142mpbir2and 959 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
144143adantrr 749 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ℝ+) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
145144adantlrr 753 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → (𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞))
146 pntibndlem3.5 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
147146ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
148 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑚 · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑣))
149148breq2d 4595 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣) ↔ 𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
150149anbi2d 736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑚 = (𝑘 / 2) → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
151150anbi1d 737 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
152151rexbidv 3034 . . . . . . . . . 10 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
153152ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 (𝑚 = (𝑘 / 2) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
154153rspcv 3278 . . . . . . . 8 ((𝑘 / 2) ∈ (𝐾[,)+∞) → (∀𝑚 ∈ (𝐾[,)+∞)∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ (𝑚 · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2))))
155145, 147, 154sylc 63 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)))
156 breq2 4587 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (𝑣 < 𝑖𝑣 < 𝑛))
157 breq1 4586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)))
158156, 157anbi12d 743 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣))))
159 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛 → (𝑅𝑖) = (𝑅𝑛))
160 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = 𝑛𝑖 = 𝑛)
161159, 160oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = 𝑛 → ((𝑅𝑖) / 𝑖) = ((𝑅𝑛) / 𝑛))
162161fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝑛 → (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) = (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)))
163162breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝑛 → ((abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2) ↔ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
164158, 163anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = 𝑛 → (((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
165164cbvrexv 3148 . . . . . . . . 9 (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
166 breq1 4586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑦 → (𝑣 < 𝑛𝑦 < 𝑛))
167 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑘 / 2) · 𝑣) = ((𝑘 / 2) · 𝑦))
168167breq2d 4595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 = 𝑦 → (𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣) ↔ 𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)))
169166, 168anbi12d 743 . . . . . . . . . . 11 (𝑣 = 𝑦 → ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ↔ (𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦))))
170169anbi1d 737 . . . . . . . . . 10 (𝑣 = 𝑦 → (((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
171170rexbidv 3034 . . . . . . . . 9 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
172165, 171syl5bb 271 . . . . . . . 8 (𝑣 = 𝑦 → (∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
173172rspcv 3278 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝑍(,)+∞) → (∀𝑣 ∈ (𝑍(,)+∞)∃𝑖 ∈ ℕ ((𝑣 < 𝑖𝑖 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑣)) ∧ (abs‘((𝑅𝑖) / 𝑖)) ≤ (𝐸 / 2)) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))
17443, 155, 173sylc 63 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
175 pntibnd.r . . . . . . . 8 𝑅 = (𝑎 ∈ ℝ+ ↦ ((ψ‘𝑎) − 𝑎))
176 pntibndlem1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℝ+)
177176ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐴 ∈ ℝ+)
178 pntibndlem1.l . . . . . . . 8 𝐿 = ((1 / 4) / (𝐴 + 3))
179 pntibndlem3.2 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴)
180 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣 → (𝑅𝑥) = (𝑅𝑣))
181 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑣𝑥 = 𝑣)
182180, 181oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑣 → ((𝑅𝑥) / 𝑥) = ((𝑅𝑣) / 𝑣))
183182fveq2d 6107 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑣 → (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) = (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)))
184183breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑣 → ((abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴))
185184cbvralv 3147 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑥) / 𝑥)) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
186179, 185sylib 207 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
187186ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ ℝ+ (abs‘((𝑅𝑣) / 𝑣)) ≤ 𝐴)
18845ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐵 ∈ ℝ+)
1897ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝐸 ∈ (0(,)1))
19022ad2antrr 758 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑍 ∈ ℝ+)
191 simprrl 800 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑛 ∈ ℕ)
192 simplrl 796 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑡 ∈ ℝ+)
193 simplrr 797 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))
194 eqid 2610 . . . . . . . 8 ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)
195 simprll 798 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞))
196 simprlr 799 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
197 simprrr 801 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))
198175, 177, 178, 187, 188, 62, 44, 189, 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197pntibndlem2 25080 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ ((𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2))))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
199198anassrs 678 . . . . . 6 ((((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((𝑦 < 𝑛𝑛 ≤ ((𝑘 / 2) · 𝑦)) ∧ (abs‘((𝑅𝑛) / 𝑛)) ≤ (𝐸 / 2)))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
200174, 199rexlimddv 3017 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) ∧ (𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))) → ∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
201200ralrimivva 2954 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
202 oveq1 6556 . . . . . . 7 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (𝑥(,)+∞) = (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞))
203202raleqdv 3121 . . . . . 6 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
204203ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑥 = ((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) → (∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸) ↔ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
205204rspcev 3282 . . . 4 ((((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (((exp‘(𝑡 / (𝐸 / 4))) + 𝑍)(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
20625, 201, 205syl2anc 691 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
207206rexlimdvaa 3014 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ℝ+𝑣 ∈ (1(,)+∞)∀𝑤 ∈ (𝑣[,](2 · 𝑣))((ψ‘𝑤) − (ψ‘𝑣)) ≤ ((2 · (𝑤𝑣)) + (𝑡 · (𝑣 / (log‘𝑣)))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸)))
2084, 207mpi 20 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑘 ∈ ((exp‘(𝐶 / 𝐸))[,)+∞)∀𝑦 ∈ (𝑥(,)+∞)∃𝑧 ∈ ℝ+ ((𝑦 < 𝑧 ∧ ((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧) < (𝑘 · 𝑦)) ∧ ∀𝑢 ∈ (𝑧[,]((1 + (𝐿 · 𝐸)) · 𝑧))(abs‘((𝑅𝑢) / 𝑢)) ≤ 𝐸))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145   / cdiv 10563  cn 10897  2c2 10947  3c3 10948  4c4 10949  +crp 11708  (,)cioo 12046  [,)cico 12048  [,]cicc 12049  abscabs 13822  expce 14631  logclog 24105  ψcchp 24619
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-o1 14069  df-lo1 14070  df-sum 14265  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-pc 15380  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437  df-log 24107  df-cxp 24108  df-em 24519  df-cht 24623  df-vma 24624  df-chp 24625  df-ppi 24626  df-mu 24627
This theorem is referenced by:  pntibnd  25082
  Copyright terms: Public domain W3C validator