dirkercncflem4 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dirkercncflem4 38999

Description: The Dirichlet Kernel is continuos at points that are not multiple of 2 π . This is the easier condition, for the proof of the continuity of the Dirichlet kernel. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkercncflem4.d	⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
dirkercncflem4.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
dirkercncflem4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
dirkercncflem4.ymod0	⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
dirkercncflem4.a	⊢ 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
dirkercncflem4.b	⊢ 𝐵 = (𝐴 + 1)
dirkercncflem4.c	⊢ 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
dirkercncflem4.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))

**Assertion**
Ref	Expression
dirkercncflem4	⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))

Distinct variable groups: 𝑦,𝐶 𝑦,𝐷 𝑦,𝐸 𝑦,𝑁 𝑦,𝑌 𝑦,𝑛 𝜑,𝑦 Allowed substitution hints: 𝜑(𝑛) 𝐴(𝑦,𝑛) 𝐵(𝑦,𝑛) 𝐶(𝑛) 𝐷(𝑛) 𝐸(𝑛) 𝑁(𝑛) 𝑌(𝑛)

Proof of Theorem dirkercncflem4 Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sincn 24002	. . . . . . . . . . 11 ⊢ sin ∈ (ℂ–cn→ℂ)
2	1	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → sin ∈ (ℂ–cn→ℂ))
3		ioosscn 38563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ)
5		dirkercncflem4.n	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
6	5	nncnd 10913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
7		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
8	7	halfcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
9	6, 8	addcld 9938	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
10		ssid 3587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
11	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
12	4, 9, 11	constcncfg 38756	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑁 + (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
13	4, 11	idcncfg 38757	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 𝑦) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
14	12, 13	mulcncf 23023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
15	2, 14	cncfmpt1f 22524	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
16		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℂ)
17		pirp 24017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ π ∈ ℝ⁺
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ⁺)
19	18	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℂ)
20	16, 19	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℂ)
21		ioossre 12106	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ)
23	22	sselda 3568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℝ)
24	23	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ ℂ)
25	24	halfcld 11154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
26	25	sincld 14699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℂ)
27	20, 26	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℂ)
28		2rp 11713	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℝ⁺
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ⁺)
30	29	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ≠ 0)
31	18	rpne0d 11753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ≠ 0)
32	16, 19, 30, 31	mulne0d 10558	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ≠ 0)
33	24, 16, 19, 30, 31	divdiv1d 10711	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 / 2) / π) = (𝑦 / (2 · π)))
34		dirkercncflem4.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 𝐶 = (𝐴 · (2 · π))
35		dirkercncflem4.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐴 = (⌊‘(𝑌 / (2 · π)))
36	35	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝐴 · (2 · π)) = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
37	34, 36	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝐶 = ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π))
38	37	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐶 / (2 · π)) = (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π))
39		dirkercncflem4.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
40		2re 10967	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 2 ∈ ℝ
41		pire 24014	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ π ∈ ℝ
42	40, 41	remulcli 9933	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (2 · π) ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ)
44		0re 9919	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 0 ∈ ℝ
45		2pos 10989	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 0 < 2
46		pipos 24016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 0 < π
47	40, 41, 45, 46	mulgt0ii 10049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ 0 < (2 · π)
48	44, 47	gtneii 10028	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (2 · π) ≠ 0
49	48	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ≠ 0)
50	39, 43, 49	redivcld 10732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ)
51	50	flcld 12461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℤ)
52	51	zred 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℝ)
53	52	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ∈ ℂ)
54	43	recnd 9947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℂ)
55	53, 54, 49	divcan4d 10686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
56	38, 55	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = (⌊‘(𝑌 / (2 · π))))
57	56, 51	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
58	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ)
59	52, 43	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) ∈ ℝ)
60	37, 59	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	29, 18	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
63		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸))
64	60	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ^*)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 ∈ ℝ^*)
66	35	eqcomi 2619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) = 𝐴
67	66	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = (𝐴 + 1)
68		dirkercncflem4.b	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ 𝐵 = (𝐴 + 1)
69	67, 68	eqtr4i 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) = 𝐵
70	69	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = (𝐵 · (2 · π))
71		dirkercncflem4.e	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ 𝐸 = (𝐵 · (2 · π))
72	70, 71	eqtr4i 2635	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸
73	72	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) = 𝐸)
74		1red 9934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
75	52, 74	readdcld 9948	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) ∈ ℝ)
76	75, 43	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)) ∈ ℝ)
77	73, 76	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ)
78	77	rexrd 9968	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ^*)
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ^*)
80		elioo2 12087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ^* ∧ 𝐸 ∈ ℝ^*) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸)))
81	65, 79, 80	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸)))
82	63, 81	mpbid 221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐶 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝐸))
83	82	simp2d 1067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐶 < 𝑦)
84	61, 23, 62, 83	ltdiv1dd 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)))
85	77	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝐸 ∈ ℝ)
86	82	simp3d 1068	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑦 < 𝐸)
87	23, 85, 62, 86	ltdiv1dd 11805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < (𝐸 / (2 · π)))
88	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐴 · (2 · π)))
89	88	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / (2 · π)) = ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)))
90	89	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / (2 · π)) + 1) = (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1))
91	35, 53	syl5eqel 2692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
92	91, 54, 49	divcan4d 10686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) = 𝐴)
93	92	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · (2 · π)) / (2 · π)) + 1) = (𝐴 + 1))
94	68	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝐵 · (2 · π)) = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
95	71, 94	eqtri 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ 𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π))
96	95	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = ((𝐴 + 1) · (2 · π)))
97	96	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)))
98	91, 7	addcld 9938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) ∈ ℂ)
99	98, 54, 49	divcan4d 10686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 1) · (2 · π)) / (2 · π)) = (𝐴 + 1))
100	97, 99	eqtr2d 2645	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 1) = (𝐸 / (2 · π)))
101	90, 93, 100	3eqtrrd 2649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝐸 / (2 · π)) = ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
103	87, 102	breqtrd 4609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1))
104		btwnnz 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐶 / (2 · π)) ∈ ℤ ∧ (𝐶 / (2 · π)) < (𝑦 / (2 · π)) ∧ (𝑦 / (2 · π)) < ((𝐶 / (2 · π)) + 1)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
105	58, 84, 103, 104	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ)
106	33, 105	eqneltrd 2707	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ)
107		sineq0 24077	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ ℂ → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
108	25, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘(𝑦 / 2)) = 0 ↔ ((𝑦 / 2) / π) ∈ ℤ))
109	106, 108	mtbird 314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (sin‘(𝑦 / 2)) = 0)
110	109	neqned 2789	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ≠ 0)
111	20, 26, 32, 110	mulne0d 10558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ≠ 0)
112	111	neneqd 2787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0)
113	40	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 2 ∈ ℝ)
114	41	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → π ∈ ℝ)
115	113, 114	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ)
116	23	rehalfcld 11156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
117	116	resincld 14712	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘(𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
118	115, 117	remulcld 9949	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ)
119		elsng 4139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ℝ → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
120	118, 119	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0} ↔ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) = 0))
121	112, 120	mtbird 314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ {0})
122	27, 121	eldifd 3551	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ (ℂ ∖ {0}))
123		eqidd 2611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
124		eqidd 2611	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)))
125		oveq2 6557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))) → (1 / 𝑥) = (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
126	122, 123, 124, 125	fmptco 6303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
127		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))
128		2cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
129	4, 128, 11	constcncfg 38756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ 2) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
130	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℝ⁺)
131	130	rpcnd 11750	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
132	4, 131, 11	constcncfg 38756	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ π) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
133	129, 132	mulcncf 23023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (2 · π)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
134	24, 16, 30	divrecd 10683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑦 / 2) = (𝑦 · (1 / 2)))
135	134	mpteq2dva 4672	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))))
136	4, 8, 11	constcncfg 38756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
137	13, 136	mulcncf 23023	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 · (1 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
138	135, 137	eqeltrd 2688	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (𝑦 / 2)) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
139	2, 138	cncfmpt1f 22524	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (sin‘(𝑦 / 2))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
140	133, 139	mulcncf 23023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
141		ssid 3587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸)
142	141	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) ⊆ (𝐶(,)𝐸))
143		difssd 3700	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℂ ∖ {0}) ⊆ ℂ)
144	127, 140, 142, 143, 122	cncfmptssg 38755	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→(ℂ ∖ {0})))
145		ax-1cn 9873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
146		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) = (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥))
147	146	cdivcncf 22528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 ∈ ℂ → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
148	145, 147	mp1i 13	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∈ ((ℂ ∖ {0})–cn→ℂ))
149	144, 148	cncfco 22518	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (1 / 𝑥)) ∘ (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
150	126, 149	eqeltrrd 2689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
151	15, 150	mulcncf 23023	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ∈ ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ))
152		dirkercncflem4.d	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
153	152	dirkerval 38984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
154	5, 153	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
155	154	reseq1d 5316	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
156	22	resmptd 5371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ ℝ ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) ↾ (𝐶(,)𝐸)) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
157	28	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℝ⁺)
158	157, 130	rpmulcld 11764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (2 · π) ∈ ℝ⁺)
160		mod0 12537	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
161	23, 159, 160	syl2anc 691	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑦 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑦 / (2 · π)) ∈ ℤ))
162	105, 161	mtbird 314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ¬ (𝑦 mod (2 · π)) = 0)
163	162	iffalsed 4047	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))
164	6	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 𝑁 ∈ ℂ)
165		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → 1 ∈ ℂ)
166	165	halfcld 11154	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (1 / 2) ∈ ℂ)
167	164, 166	addcld 9938	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℂ)
168	167, 24	mulcld 9939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦) ∈ ℂ)
169	168	sincld 14699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) ∈ ℂ)
170	169, 27, 111	divrecd 10683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
171	163, 170	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2))))))
172	171	mpteq2dva 4672	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ if((𝑦 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑁) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))))
173	155, 156, 172	3eqtrrd 2649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸) ↦ ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝑦)) · (1 / ((2 · π) · (sin‘(𝑦 / 2)))))) = ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)))
174		eqid 2610	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
175	174	tgioo2 22414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
176	175	oveq1i 6559	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) = (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ) ↾_t (𝐶(,)𝐸))
177	174	cnfldtop 22397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top
178		reex 9906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ℝ ∈ V
179		restabs 20779	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ ∧ ℝ ∈ V) → (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐶(,)𝐸)))
180	177, 21, 178, 179	mp3an 1416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐶(,)𝐸))
181	176, 180	eqtri 2632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t (𝐶(,)𝐸))
182		unicntop 38230	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ = ∪ (TopOpen‘ℂ_fld)
183	182	restid 15917	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = (TopOpen‘ℂ_fld))
184	177, 183	ax-mp 5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ) = (TopOpen‘ℂ_fld)
185	184	eqcomi 2619	. . . . . . . . . 10 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℂ)
186	174, 181, 185	cncfcn 22520	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶(,)𝐸) ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
187	4, 11, 186	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐶(,)𝐸)–cn→ℂ) = (((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
188	151, 173, 187	3eltr3d 2702	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)))
189		retopon 22377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
190	189	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ))
191		resttopon 20775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
192	190, 22, 191	syl2anc 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)))
193	174	cnfldtopon 22396	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)
194	193	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ))
195		cncnp 20894	. . . . . . . 8 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) ∈ (TopOn‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ (TopOn‘ℂ)) → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ↔ (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))))
196	192, 194, 195	syl2anc 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ (((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld)) ↔ (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))))
197	188, 196	mpbid 221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℂ ∧ ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦)))
198	197	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦))
199		dirkercncflem4.ymod0	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑌 mod (2 · π)) ≠ 0)
200	199	neneqd 2787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 mod (2 · π)) = 0)
201		mod0 12537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (2 · π) ∈ ℝ⁺) → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
202	39, 158, 201	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 mod (2 · π)) = 0 ↔ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ))
203	200, 202	mtbid 313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ)
204		flltnz 12474	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ ∧ ¬ (𝑌 / (2 · π)) ∈ ℤ) → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
205	50, 203, 204	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⌊‘(𝑌 / (2 · π))) < (𝑌 / (2 · π)))
206	52, 50, 158, 205	ltmul1dd 11803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)))
207	39	recnd 9947	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
208	207, 54, 49	divcan1d 10681	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) = 𝑌)
209	206, 208	breqtrd 4609	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) · (2 · π)) < 𝑌)
210	37, 209	syl5eqbr 4618	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < 𝑌)
211		fllelt 12460	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑌 / (2 · π)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
212	50, 211	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) ≤ (𝑌 / (2 · π)) ∧ (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1)))
213	212	simprd 478	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑌 / (2 · π)) < ((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1))
214	50, 75, 158, 213	ltmul1dd 11803	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 / (2 · π)) · (2 · π)) < (((⌊‘(𝑌 / (2 · π))) + 1) · (2 · π)))
215	214, 208, 73	3brtr3d 4614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < 𝐸)
216	64, 78, 39, 210, 215	eliood 38567	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸))
217		fveq2 6103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) = ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
218	217	eleq2d 2673	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌)))
219	218	rspccva 3281	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑦 ∈ (𝐶(,)𝐸)((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑦) ∧ 𝑌 ∈ (𝐶(,)𝐸)) → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
220	198, 216, 219	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌))
221	177	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top)
222	152	dirkerf 38990	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)
223	5, 222	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)
224	223, 22	fssresd 5984	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ)
225		ax-resscn 9872	. . . . . 6 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
226	225	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
227		retop 22375	. . . . . . 7 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
228		uniretop 22376	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
229	228	restuni 20776	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → (𝐶(,)𝐸) = ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)))
230	227, 21, 229	mp2an 704	. . . . . 6 ⊢ (𝐶(,)𝐸) = ∪ ((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸))
231	230, 182	cnprest2 20904	. . . . 5 ⊢ (((TopOpen‘ℂ_fld) ∈ Top ∧ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)):(𝐶(,)𝐸)⟶ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))‘𝑌)))
232	221, 224, 226, 231	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (TopOpen‘ℂ_fld))‘𝑌) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))‘𝑌)))
233	220, 232	mpbid 221	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))‘𝑌))
234	175	eqcomi 2619	. . . . . 6 ⊢ ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ) = (topGen‘ran (,))
235	234	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ) = (topGen‘ran (,)))
236	235	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)) = (((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,))))
237	236	fveq1d 6105	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ))‘𝑌) = ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
238	233, 237	eleqtrd 2690	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))
239	227	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → (topGen‘ran (,)) ∈ Top)
240		iooretop 22379	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,))
241	228	isopn3 20680	. . . . . . 7 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((𝐶(,)𝐸) ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸)))
242	240, 241	mpbii 222	. . . . . 6 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
243	239, 22, 242	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) = (𝐶(,)𝐸))
244	243	eqcomd 2616	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶(,)𝐸) = ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
245	216, 244	eleqtrd 2690	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)))
246	228, 228	cnprest 20903	. . 3 ⊢ ((((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (𝐶(,)𝐸) ⊆ ℝ) ∧ (𝑌 ∈ ((int‘(topGen‘ran (,)))‘(𝐶(,)𝐸)) ∧ (𝐷‘𝑁):ℝ⟶ℝ)) → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
247	239, 22, 245, 223, 246	syl22anc 1319	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌) ↔ ((𝐷‘𝑁) ↾ (𝐶(,)𝐸)) ∈ ((((topGen‘ran (,)) ↾_t (𝐶(,)𝐸)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌)))
248	238, 247	mpbird 246	1 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘𝑁) ∈ (((topGen‘ran (,)) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑌))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ↔ wb 195 ∧ wa 383 ∧ w3a 1031 = wceq 1475 ∈ wcel 1977 ≠ wne 2780 ∀wral 2896 Vcvv 3173 ∖ cdif 3537 ⊆ wss 3540 ifcif 4036 {csn 4125 ∪ cuni 4372 class class class wbr 4583 ↦ cmpt 4643 ran crn 5039 ↾ cres 5040 ∘ ccom 5042 ⟶wf 5800 ‘cfv 5804 (class class class)co 6549 ℂcc 9813 ℝcr 9814 0cc0 9815 1c1 9816 + caddc 9818 · cmul 9820 ℝ^*cxr 9952 < clt 9953 ≤ cle 9954 / cdiv 10563 ℕcn 10897 2c2 10947 ℤcz 11254 ℝ⁺crp 11708 (,)cioo 12046 ⌊cfl 12453 mod cmo 12530 sincsin 14633 πcpi 14636 ↾_t crest 15904 TopOpenctopn 15905 topGenctg 15921 ℂ_fldccnfld 19567 Topctop 20517 TopOnctopon 20518 intcnt 20631 Cn ccn 20838 CnP ccnp 20839 –cn→ccncf 22487

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1713 ax-4 1728 ax-5 1827 ax-6 1875 ax-7 1922 ax-8 1979 ax-9 1986 ax-10 2006 ax-11 2021 ax-12 2034 ax-13 2234 ax-ext 2590 ax-rep 4699 ax-sep 4709 ax-nul 4717 ax-pow 4769 ax-pr 4833 ax-un 6847 ax-inf2 8421 ax-cnex 9871 ax-resscn 9872 ax-1cn 9873 ax-icn 9874 ax-addcl 9875 ax-addrcl 9876 ax-mulcl 9877 ax-mulrcl 9878 ax-mulcom 9879 ax-addass 9880 ax-mulass 9881 ax-distr 9882 ax-i2m1 9883 ax-1ne0 9884 ax-1rid 9885 ax-rnegex 9886 ax-rrecex 9887 ax-cnre 9888 ax-pre-lttri 9889 ax-pre-lttrn 9890 ax-pre-ltadd 9891 ax-pre-mulgt0 9892 ax-pre-sup 9893 ax-addf 9894 ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions: df-bi 196 df-or 384 df-an 385 df-3or 1032 df-3an 1033 df-tru 1478 df-fal 1481 df-ex 1696 df-nf 1701 df-sb 1868 df-eu 2462 df-mo 2463 df-clab 2597 df-cleq 2603 df-clel 2606 df-nfc 2740 df-ne 2782 df-nel 2783 df-ral 2901 df-rex 2902 df-reu 2903 df-rmo 2904 df-rab 2905 df-v 3175 df-sbc 3403 df-csb 3500 df-dif 3543 df-un 3545 df-in 3547 df-ss 3554 df-pss 3556 df-nul 3875 df-if 4037 df-pw 4110 df-sn 4126 df-pr 4128 df-tp 4130 df-op 4132 df-uni 4373 df-int 4411 df-iun 4457 df-iin 4458 df-br 4584 df-opab 4644 df-mpt 4645 df-tr 4681 df-eprel 4949 df-id 4953 df-po 4959 df-so 4960 df-fr 4997 df-se 4998 df-we 4999 df-xp 5044 df-rel 5045 df-cnv 5046 df-co 5047 df-dm 5048 df-rn 5049 df-res 5050 df-ima 5051 df-pred 5597 df-ord 5643 df-on 5644 df-lim 5645 df-suc 5646 df-iota 5768 df-fun 5806 df-fn 5807 df-f 5808 df-f1 5809 df-fo 5810 df-f1o 5811 df-fv 5812 df-isom 5813 df-riota 6511 df-ov 6552 df-oprab 6553 df-mpt2 6554 df-of 6795 df-om 6958 df-1st 7059 df-2nd 7060 df-supp 7183 df-wrecs 7294 df-recs 7355 df-rdg 7393 df-1o 7447 df-2o 7448 df-oadd 7451 df-er 7629 df-map 7746 df-pm 7747 df-ixp 7795 df-en 7842 df-dom 7843 df-sdom 7844 df-fin 7845 df-fsupp 8159 df-fi 8200 df-sup 8231 df-inf 8232 df-oi 8298 df-card 8648 df-cda 8873 df-pnf 9955 df-mnf 9956 df-xr 9957 df-ltxr 9958 df-le 9959 df-sub 10147 df-neg 10148 df-div 10564 df-nn 10898 df-2 10956 df-3 10957 df-4 10958 df-5 10959 df-6 10960 df-7 10961 df-8 10962 df-9 10963 df-n0 11170 df-z 11255 df-dec 11370 df-uz 11564 df-q 11665 df-rp 11709 df-xneg 11822 df-xadd 11823 df-xmul 11824 df-ioo 12050 df-ioc 12051 df-ico 12052 df-icc 12053 df-fz 12198 df-fzo 12335 df-fl 12455 df-mod 12531 df-seq 12664 df-exp 12723 df-fac 12923 df-bc 12952 df-hash 12980 df-shft 13655 df-cj 13687 df-re 13688 df-im 13689 df-sqrt 13823 df-abs 13824 df-limsup 14050 df-clim 14067 df-rlim 14068 df-sum 14265 df-ef 14637 df-sin 14639 df-cos 14640 df-pi 14642 df-struct 15697 df-ndx 15698 df-slot 15699 df-base 15700 df-sets 15701 df-ress 15702 df-plusg 15781 df-mulr 15782 df-starv 15783 df-sca 15784 df-vsca 15785 df-ip 15786 df-tset 15787 df-ple 15788 df-ds 15791 df-unif 15792 df-hom 15793 df-cco 15794 df-rest 15906 df-topn 15907 df-0g 15925 df-gsum 15926 df-topgen 15927 df-pt 15928 df-prds 15931 df-xrs 15985 df-qtop 15990 df-imas 15991 df-xps 15993 df-mre 16069 df-mrc 16070 df-acs 16072 df-mgm 17065 df-sgrp 17107 df-mnd 17118 df-submnd 17159 df-mulg 17364 df-cntz 17573 df-cmn 18018 df-psmet 19559 df-xmet 19560 df-met 19561 df-bl 19562 df-mopn 19563 df-fbas 19564 df-fg 19565 df-cnfld 19568 df-top 20521 df-bases 20522 df-topon 20523 df-topsp 20524 df-cld 20633 df-ntr 20634 df-cls 20635 df-nei 20712 df-lp 20750 df-perf 20751 df-cn 20841 df-cnp 20842 df-haus 20929 df-tx 21175 df-hmeo 21368 df-fil 21460 df-fm 21552 df-flim 21553 df-flf 21554 df-xms 21935 df-ms 21936 df-tms 21937 df-cncf 22489 df-limc 23436 df-dv 23437

This theorem is referenced by: dirkercncf 39000

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