Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | etransclem48.q |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖
{0𝑝})) |
2 | 1 | eldifad 3552 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈
(Poly‘ℤ)) |
3 | | 0zd 11266 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℤ) |
4 | | etransclem48.a |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐴 = (coeff‘𝑄) |
5 | 4 | coef2 23791 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ)
∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ) |
6 | 2, 3, 5 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶ℤ) |
7 | | 0nn0 11184 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℕ0 |
8 | 7 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℕ0) |
9 | 6, 8 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ) |
10 | | zabscl 13901 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐴‘0) ∈ ℤ →
(abs‘(𝐴‘0))
∈ ℤ) |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈
ℤ) |
12 | | etransclem48.m |
. . . . . . . . 9
⊢ 𝑀 = (deg‘𝑄) |
13 | | dgrcl 23793 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ)
→ (deg‘𝑄) ∈
ℕ0) |
14 | 2, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈
ℕ0) |
15 | 12, 14 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈
ℕ0) |
16 | 15 | faccld 12933 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ) |
17 | 16 | nnzd 11357 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℤ) |
18 | | ssrab2 3650 |
. . . . . . . 8
⊢ {𝑖 ∈ ℕ0
∣ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ⊆
ℕ0 |
19 | | nn0ssz 11275 |
. . . . . . . 8
⊢
ℕ0 ⊆ ℤ |
20 | 18, 19 | sstri 3577 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑖 ∈ ℕ0
∣ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ⊆ ℤ |
21 | | etransclem48.i |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}, ℝ, < ) |
22 | | nn0uz 11598 |
. . . . . . . . . 10
⊢
ℕ0 = (ℤ≥‘0) |
23 | 18, 22 | sseqtri 3600 |
. . . . . . . . 9
⊢ {𝑖 ∈ ℕ0
∣ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ⊆
(ℤ≥‘0) |
24 | | 1rp 11712 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
25 | | nfv 1830 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑛𝜑 |
26 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) |
27 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
28 | | etransclem48.s |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) |
29 | | nfmpt1 4675 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) |
30 | 28, 29 | nfcxfr 2749 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑛𝑆 |
31 | | nn0ex 11175 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
ℕ0 ∈ V |
32 | 31 | mptex 6390 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶) ∈
V |
33 | 32 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ∈ V) |
34 | | etransclem48.c |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) |
35 | | fzfid 12634 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin) |
36 | 6 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ) |
37 | | elfznn0 12302 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0) |
38 | 37 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0) |
39 | 36, 38 | ffvelrnd 6268 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℤ) |
40 | 39 | zcnd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴‘𝑗) ∈ ℂ) |
41 | | ere 14658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ e ∈
ℝ |
42 | 41 | recni 9931 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ e ∈
ℂ |
43 | 42 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ) |
44 | | elfzelz 12213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ) |
45 | 44 | zcnd 11359 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ) |
46 | 45 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ) |
47 | 43, 46 | cxpcld 24254 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈
ℂ) |
48 | 40, 47 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈
ℂ) |
49 | 48 | abscld 14023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈
ℝ) |
50 | 49 | recnd 9947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈
ℂ) |
51 | 15 | nn0cnd 11230 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ) |
52 | | peano2nn0 11210 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑀 ∈ ℕ0
→ (𝑀 + 1) ∈
ℕ0) |
53 | 15, 52 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈
ℕ0) |
54 | 51, 53 | expcld 12870 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) |
55 | 51, 54 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ) |
56 | 55 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ) |
57 | 50, 56 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ) |
58 | 35, 57 | fsumcl 14311 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ) |
59 | 34, 58 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ) |
60 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶)) |
61 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐶 = 𝐶) |
62 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈
ℕ0) |
63 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
64 | 60, 61, 62, 63 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶)‘𝑖) = 𝐶) |
65 | 22, 3, 33, 59, 64 | climconst 14122 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶) ⇝ 𝐶) |
66 | 31 | mptex 6390 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ (𝐶 ·
(((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V |
67 | 28, 66 | eqeltri 2684 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑆 ∈ V |
68 | 67 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V) |
69 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
70 | 69 | expfac 38724 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ0
↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0) |
71 | 54, 70 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0) |
72 | | simpr 476 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈
ℕ0) |
73 | 59 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈
ℂ) |
74 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶) |
75 | 74 | fvmpt2 6200 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0
∧ 𝐶 ∈ ℂ)
→ ((𝑛 ∈
ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑛) = 𝐶) |
76 | 72, 73, 75 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶)‘𝑛) = 𝐶) |
77 | 76, 73 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶)‘𝑛) ∈
ℂ) |
78 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V |
79 | 69 | fvmpt2 6200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0
∧ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
80 | 78, 79 | mpan2 703 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ ((𝑛 ∈
ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
81 | 80 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) |
82 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) |
83 | 82, 72 | expcld 12870 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) ∈ ℂ) |
84 | 72 | faccld 12933 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑛) ∈
ℕ) |
85 | 84 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑛) ∈
ℂ) |
86 | 84 | nnne0d 10942 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) →
(!‘𝑛) ≠
0) |
87 | 83, 85, 86 | divcld 10680 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ ℂ) |
88 | 81, 87 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0
↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) ∈ ℂ) |
89 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V |
90 | 28 | fvmpt2 6200 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0
∧ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V) → (𝑆‘𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) |
91 | 89, 90 | mpan2 703 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑛 ∈ ℕ0
→ (𝑆‘𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) |
92 | 91 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) |
93 | 76, 81 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) |
94 | 92, 93 | eqtr4d 2647 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ 𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛))) |
95 | 25, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94 | climmulf 38671 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ (𝐶 · 0)) |
96 | 59 | mul01d 10114 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0) |
97 | 95, 96 | breqtrd 4609 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⇝ 0) |
98 | | eqidd 2611 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘𝑛)) |
99 | 77, 88 | mulcld 9939 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0
↦ 𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) ∈ ℂ) |
100 | 94, 99 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆‘𝑛) ∈ ℂ) |
101 | 30, 22, 3, 68, 98, 100 | clim0cf 38721 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑆 ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ0
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒)) |
102 | 97, 101 | mpbid 221 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ0
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒) |
103 | | breq2 4587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑒 = 1 → ((abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)) |
104 | 103 | rexralbidv 3040 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑒 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℕ0
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)) |
105 | 104 | rspcva 3280 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((1
∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑖 ∈ ℕ0
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 𝑒) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1) |
106 | 24, 102, 105 | sylancr 694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1) |
107 | | rabn0 3912 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑖 ∈ ℕ0
∣ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1) |
108 | 106, 107 | sylibr 223 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ0 ∣
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ≠ ∅) |
109 | | infssuzcl 11648 |
. . . . . . . . 9
⊢ (({𝑖 ∈ ℕ0
∣ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ⊆
(ℤ≥‘0) ∧ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ≠ ∅) → inf({𝑖 ∈ ℕ0
∣ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0
∣ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}) |
110 | 23, 108, 109 | sylancr 694 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0
∣ ∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}) |
111 | 21, 110 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}) |
112 | 20, 111 | sseldi 3566 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℤ) |
113 | | tpssi 4309 |
. . . . . 6
⊢
(((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧
(!‘𝑀) ∈ ℤ
∧ 𝐼 ∈ ℤ)
→ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ) |
114 | 11, 17, 112, 113 | syl3anc 1318 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ) |
115 | | etransclem48.t |
. . . . . 6
⊢ 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, <
) |
116 | | xrltso 11850 |
. . . . . . . 8
⊢ < Or
ℝ* |
117 | 116 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → < Or
ℝ*) |
118 | | tpfi 8121 |
. . . . . . . 8
⊢
{(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin |
119 | 118 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin) |
120 | 11 | tpnzd 4257 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅) |
121 | | zssre 11261 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℤ
⊆ ℝ |
122 | | ressxr 9962 |
. . . . . . . . 9
⊢ ℝ
⊆ ℝ* |
123 | 121, 122 | sstri 3577 |
. . . . . . . 8
⊢ ℤ
⊆ ℝ* |
124 | 114, 123 | syl6ss 3580 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆
ℝ*) |
125 | | fisupcl 8258 |
. . . . . . 7
⊢ (( <
Or ℝ* ∧ ({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅ ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)) →
sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈
{(abs‘(𝐴‘0)),
(!‘𝑀), 𝐼}) |
126 | 117, 119,
120, 124, 125 | syl13anc 1320 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈
{(abs‘(𝐴‘0)),
(!‘𝑀), 𝐼}) |
127 | 115, 126 | syl5eqel 2692 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) |
128 | 114, 127 | sseldd 3569 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ) |
129 | | 0red 9920 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
130 | 16 | nnred 10912 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ) |
131 | 128 | zred 11358 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ) |
132 | 16 | nngt0d 10941 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 0 < (!‘𝑀)) |
133 | | fvex 6113 |
. . . . . . . 8
⊢
(!‘𝑀) ∈
V |
134 | 133 | tpid2 4247 |
. . . . . . 7
⊢
(!‘𝑀) ∈
{(abs‘(𝐴‘0)),
(!‘𝑀), 𝐼} |
135 | | supxrub 12026 |
. . . . . . 7
⊢
(({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧
(!‘𝑀) ∈
{(abs‘(𝐴‘0)),
(!‘𝑀), 𝐼}) → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, <
)) |
136 | 124, 134,
135 | sylancl 693 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, <
)) |
137 | 136, 115 | syl6breqr 4625 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ 𝑇) |
138 | 129, 130,
131, 132, 137 | ltletrd 10076 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 0 < 𝑇) |
139 | | elnnz 11264 |
. . . 4
⊢ (𝑇 ∈ ℕ ↔ (𝑇 ∈ ℤ ∧ 0 <
𝑇)) |
140 | 128, 138,
139 | sylanbrc 695 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℕ) |
141 | | prmunb 15456 |
. . 3
⊢ (𝑇 ∈ ℕ →
∃𝑝 ∈ ℙ
𝑇 < 𝑝) |
142 | 140, 141 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝) |
143 | 1 | 3ad2ant1 1075 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖
{0𝑝})) |
144 | | etransclem48.qe0 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝑄‘e) = 0) |
145 | 144 | 3ad2ant1 1075 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑄‘e) = 0) |
146 | | etransclem48.a0 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0) |
147 | 146 | 3ad2ant1 1075 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ≠ 0) |
148 | | simp2 1055 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ) |
149 | 9 | zcnd 11359 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ) |
150 | 149 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ∈ ℂ) |
151 | 150 | abscld 14023 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℝ) |
152 | 131 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 ∈ ℝ) |
153 | | prmz 15227 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℤ) |
154 | 153 | zred 11358 |
. . . . . 6
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℝ) |
155 | 154 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ) |
156 | 124 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆
ℝ*) |
157 | | fvex 6113 |
. . . . . . . . 9
⊢
(abs‘(𝐴‘0)) ∈ V |
158 | 157 | tpid1 4246 |
. . . . . . . 8
⊢
(abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} |
159 | | supxrub 12026 |
. . . . . . . 8
⊢
(({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧
(abs‘(𝐴‘0))
∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, <
)) |
160 | 156, 158,
159 | sylancl 693 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤
sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, <
)) |
161 | 160, 115 | syl6breqr 4625 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇) |
162 | 161 | 3adant3 1074 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇) |
163 | | simp3 1056 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 < 𝑝) |
164 | 151, 152,
155, 162, 163 | lelttrd 10074 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑝) |
165 | 130 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ∈ ℝ) |
166 | 137 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ≤ 𝑇) |
167 | 165, 152,
155, 166, 163 | lelttrd 10074 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) < 𝑝) |
168 | 28 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))) |
169 | 34 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))) |
170 | | oveq2 6557 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1))) |
171 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑝 − 1))) |
172 | 170, 171 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) |
173 | 169, 172 | oveq12d 6567 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))) |
174 | 173 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 = (𝑝 − 1)) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))) |
175 | | prmnn 15226 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈
ℕ) |
176 | | nnm1nn0 11211 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈
ℕ0) |
177 | 175, 176 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈
ℕ0) |
178 | 177 | adantl 481 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈
ℕ0) |
179 | 58 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ) |
180 | 54 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ) |
181 | 180, 178 | expcld 12870 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ) |
182 | 177 | faccld 12933 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑝 ∈ ℙ →
(!‘(𝑝 − 1))
∈ ℕ) |
183 | 182 | nncnd 10913 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑝 ∈ ℙ →
(!‘(𝑝 − 1))
∈ ℂ) |
184 | 183 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈
ℂ) |
185 | 182 | nnne0d 10942 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑝 ∈ ℙ →
(!‘(𝑝 − 1))
≠ 0) |
186 | 185 | adantl 481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ≠
0) |
187 | 181, 184,
186 | divcld 10680 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈
ℂ) |
188 | 179, 187 | mulcld 9939 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈
ℂ) |
189 | 168, 174,
178, 188 | fvmptd 6197 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))) |
190 | 189 | eqcomd 2616 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1))) |
191 | 190 | 3adant3 1074 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1))) |
192 | 112 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℤ) |
193 | | 1zzd 11285 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 1 ∈
ℤ) |
194 | 153, 193 | zsubcld 11363 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈
ℤ) |
195 | 194 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ ℤ) |
196 | 192 | zred 11358 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℝ) |
197 | | tpid3g 4248 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) |
198 | 112, 197 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) |
199 | | supxrub 12026 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, <
)) |
200 | 124, 198,
199 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, <
)) |
201 | 200, 115 | syl6breqr 4625 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐼 ≤ 𝑇) |
202 | 201 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ 𝑇) |
203 | 196, 152,
155, 202, 163 | lelttrd 10074 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 < 𝑝) |
204 | 153 | 3ad2ant2 1076 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℤ) |
205 | | zltlem1 11307 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑝 ↔ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))) |
206 | 192, 204,
205 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 < 𝑝 ↔ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))) |
207 | 203, 206 | mpbid 221 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)) |
208 | | eluz2 11569 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑝 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))) |
209 | 192, 195,
207, 208 | syl3anbrc 1239 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝐼)) |
210 | 111 | 3ad2ant1 1075 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1}) |
211 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 = 𝐼 → (ℤ≥‘𝑖) =
(ℤ≥‘𝐼)) |
212 | 211 | raleqdv 3121 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑖 = 𝐼 → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)) |
213 | 212 | elrab 3331 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝑖)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1} ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)) |
214 | 210, 213 | sylib 207 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧
∀𝑛 ∈
(ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1)) |
215 | 214 | simprd 478 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1) |
216 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑛abs |
217 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Ⅎ𝑛(𝑝 − 1) |
218 | 30, 217 | nffv 6110 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑛(𝑆‘(𝑝 − 1)) |
219 | 216, 218 | nffv 6110 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) |
220 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑛
< |
221 | | nfcv 2751 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑛1 |
222 | 219, 220,
221 | nfbr 4629 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1 |
223 | | fveq2 6103 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝑆‘𝑛) = (𝑆‘(𝑝 − 1))) |
224 | 223 | fveq2d 6107 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (abs‘(𝑆‘𝑛)) = (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1)))) |
225 | 224 | breq1d 4593 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1 ↔ (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1)) |
226 | 222, 225 | rspc 3276 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑝 − 1) ∈
(ℤ≥‘𝐼) → (∀𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝐼)(abs‘(𝑆‘𝑛)) < 1 → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1)) |
227 | 209, 215,
226 | sylc 63 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1) |
228 | 172 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))) |
229 | 228 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 = (𝑝 − 1)) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))) |
230 | | ovex 6577 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V |
231 | 230 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V) |
232 | 168, 229,
178, 231 | fvmptd 6197 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))) |
233 | 15 | nn0red 11229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ) |
234 | 233, 53 | reexpcld 12887 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ) |
235 | 233, 234 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ) |
236 | 235 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ) |
237 | 49, 236 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ) |
238 | 35, 237 | fsumrecl 14312 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ) |
239 | 34, 238 | syl5eqel 2692 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ) |
240 | 239 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝐶 ∈ ℝ) |
241 | 234 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ) |
242 | 241, 178 | reexpcld 12887 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℝ) |
243 | 182 | nnred 10912 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑝 ∈ ℙ →
(!‘(𝑝 − 1))
∈ ℝ) |
244 | 243 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈
ℝ) |
245 | 242, 244,
186 | redivcld 10732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈
ℝ) |
246 | 240, 245 | remulcld 9949 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈
ℝ) |
247 | 232, 246 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ) |
248 | 247 | 3adant3 1074 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ) |
249 | | 1red 9934 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 1 ∈ ℝ) |
250 | 248, 249 | absltd 14016 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ((abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1 ↔ (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1))) |
251 | 227, 250 | mpbid 221 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)) |
252 | 251 | simprd 478 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1) |
253 | 191, 252 | eqbrtrd 4605 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) < 1) |
254 | | etransclem6 39133 |
. . . 4
⊢ (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥 − 𝑗)↑𝑝))) |
255 | | eqid 2610 |
. . . 4
⊢
Σ𝑗 ∈
(0...𝑀)(((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) |
256 | | eqid 2610 |
. . . 4
⊢
(Σ𝑗 ∈
(0...𝑀)(((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴‘𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦 − 𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1))) |
257 | 143, 145,
4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256 | etransclem47 39174 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) |
258 | 257 | rexlimdv3a 3015 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))) |
259 | 142, 258 | mpd 15 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)) |