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Theorem etransclem48 39175
Description: e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime 𝑝 is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
etransclem48.qe0 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
etransclem48.a 𝐴 = (coeff‘𝑄)
etransclem48.a0 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
etransclem48.m 𝑀 = (deg‘𝑄)
etransclem48.c 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
etransclem48.s 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
etransclem48.i 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
etransclem48.t 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
Assertion
Ref Expression
etransclem48 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝐴,𝑛,𝑗   𝐶,𝑖,𝑛   𝑖,𝐼,𝑛   𝑗,𝑀,𝑘   𝑛,𝑀   𝑄,𝑗   𝑆,𝑖   𝑇,𝑗,𝑘   𝜑,𝑖,𝑛   𝜑,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝑄(𝑖,𝑘,𝑛)   𝑆(𝑗,𝑘,𝑛)   𝑇(𝑖,𝑛)   𝐼(𝑗,𝑘)   𝑀(𝑖)

Proof of Theorem etransclem48
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑒 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
21eldifad 3552 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄 ∈ (Poly‘ℤ))
3 0zd 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (coeff‘𝑄)
54coef2 23791 . . . . . . . . 9 ((𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) ∧ 0 ∈ ℤ) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
62, 3, 5syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℤ)
7 0nn0 11184 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
87a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
96, 8ffvelrnd 6268 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℤ)
10 zabscl 13901 . . . . . . 7 ((𝐴‘0) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
119, 10syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ)
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9 𝑀 = (deg‘𝑄)
13 dgrcl 23793 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ (Poly‘ℤ) → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
142, 13syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (deg‘𝑄) ∈ ℕ0)
1512, 14syl5eqel 2692 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
1615faccld 12933 . . . . . . 7 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℕ)
1716nnzd 11357 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℤ)
18 ssrab2 3650 . . . . . . . 8 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℕ0
19 nn0ssz 11275 . . . . . . . 8 0 ⊆ ℤ
2018, 19sstri 3577 . . . . . . 7 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ ℤ
21 etransclem48.i . . . . . . . 8 𝐼 = inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < )
22 nn0uz 11598 . . . . . . . . . 10 0 = (ℤ‘0)
2318, 22sseqtri 3600 . . . . . . . . 9 {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0)
24 1rp 11712 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℝ+
25 nfv 1830 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝜑
26 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
27 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
29 nfmpt1 4675 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑛(𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
3028, 29nfcxfr 2749 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑛𝑆
31 nn0ex 11175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
3231mptex 6390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ∈ V)
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))))
35 fzfid 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (0...𝑀) ∈ Fin)
366adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝐴:ℕ0⟶ℤ)
37 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3837adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℕ0)
3936, 38ffvelrnd 6268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℤ)
4039zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝐴𝑗) ∈ ℂ)
41 ere 14658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e ∈ ℝ
4241recni 9931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 e ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → e ∈ ℂ)
44 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℤ)
4544zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑗 ∈ (0...𝑀) → 𝑗 ∈ ℂ)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → 𝑗 ∈ ℂ)
4743, 46cxpcld 24254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (e↑𝑐𝑗) ∈ ℂ)
4840, 47mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) ∈ ℂ)
4948abscld 14023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℝ)
5049recnd 9947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) ∈ ℂ)
5115nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
52 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5315, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
5451, 53expcld 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
5551, 54mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5655adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℂ)
5750, 56mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5835, 57fsumcl 14311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
5934, 58syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
60 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶))
61 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑛 = 𝑖) → 𝐶 = 𝐶)
62 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
6359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
6460, 61, 62, 63fvmptd 6197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑖) = 𝐶)
6522, 3, 33, 59, 64climconst 14122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) ⇝ 𝐶)
6631mptex 6390 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))) ∈ V
6728, 66eqeltri 2684 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑆 ∈ V)
69 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
7069expfac 38724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
7154, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ⇝ 0)
72 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7359adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → 𝐶 ∈ ℂ)
74 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ0𝐶) = (𝑛 ∈ ℕ0𝐶)
7574fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℂ) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7672, 73, 75syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) = 𝐶)
7776, 73eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) ∈ ℂ)
78 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V
7969fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ V) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8078, 79mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))
8254adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
8382, 72expcld 12870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) ∈ ℂ)
8472faccld 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℕ)
8584nncnd 10913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ∈ ℂ)
8684nnne0d 10942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (!‘𝑛) ≠ 0)
8783, 85, 86divcld 10680 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) ∈ ℂ)
8881, 87eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛) ∈ ℂ)
89 ovex 6577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V
9028fvmpt2 6200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑛 ∈ ℕ0 ∧ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) ∈ V) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9189, 90mpan2 703 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ ℕ0 → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9376, 81oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))))
9492, 93eqtr4d 2647 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)))
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 38671 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⇝ (𝐶 · 0))
9659mul01d 10114 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐶 · 0) = 0)
9795, 96breqtrd 4609 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑆 ⇝ 0)
98 eqidd 2611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) = (𝑆𝑛))
9977, 88mulcld 9939 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (((𝑛 ∈ ℕ0𝐶)‘𝑛) · ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))‘𝑛)) ∈ ℂ)
10094, 99eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑆𝑛) ∈ ℂ)
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 38721 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑆 ⇝ 0 ↔ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒))
10297, 101mpbid 221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒)
103 breq2 4587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = 1 → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ (abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
104103rexralbidv 3040 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 1 → (∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
105104rspcva 3280 . . . . . . . . . . 11 ((1 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 𝑒) → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
10624, 102, 105sylancr 694 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
107 rabn0 3912 . . . . . . . . . 10 ({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅ ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
108106, 107sylibr 223 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅)
109 infssuzcl 11648 . . . . . . . . 9 (({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ⊆ (ℤ‘0) ∧ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ≠ ∅) → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11023, 108, 109sylancr 694 . . . . . . . 8 (𝜑 → inf({𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1}, ℝ, < ) ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11121, 110syl5eqel 2692 . . . . . . 7 (𝜑𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
11220, 111sseldi 3566 . . . . . 6 (𝜑𝐼 ∈ ℤ)
113 tpssi 4309 . . . . . 6 (((abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℤ ∧ (!‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ∈ ℤ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
11411, 17, 112, 113syl3anc 1318 . . . . 5 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℤ)
115 etransclem48.t . . . . . 6 𝑇 = sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < )
116 xrltso 11850 . . . . . . . 8 < Or ℝ*
117116a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → < Or ℝ*)
118 tpfi 8121 . . . . . . . 8 {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin)
12011tpnzd 4257 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅)
121 zssre 11261 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
122 ressxr 9962 . . . . . . . . 9 ℝ ⊆ ℝ*
123121, 122sstri 3577 . . . . . . . 8 ℤ ⊆ ℝ*
124114, 123syl6ss 3580 . . . . . . 7 (𝜑 → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
125 fisupcl 8258 . . . . . . 7 (( < Or ℝ* ∧ ({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ∈ Fin ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ≠ ∅ ∧ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)) → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1320 . . . . . 6 (𝜑 → sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
127115, 126syl5eqel 2692 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
128114, 127sseldd 3569 . . . 4 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
129 0red 9920 . . . . 5 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
13016nnred 10912 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
131128zred 11358 . . . . 5 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
13216nngt0d 10941 . . . . 5 (𝜑 → 0 < (!‘𝑀))
133 fvex 6113 . . . . . . . 8 (!‘𝑀) ∈ V
134133tpid2 4247 . . . . . . 7 (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
135 supxrub 12026 . . . . . . 7 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (!‘𝑀) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
136124, 134, 135sylancl 693 . . . . . 6 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
137136, 115syl6breqr 4625 . . . . 5 (𝜑 → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 10076 . . . 4 (𝜑 → 0 < 𝑇)
139 elnnz 11264 . . . 4 (𝑇 ∈ ℕ ↔ (𝑇 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑇))
140128, 138, 139sylanbrc 695 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ ℕ)
141 prmunb 15456 . . 3 (𝑇 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
142140, 141syl 17 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝)
14313ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑄 ∈ ((Poly‘ℤ) ∖ {0𝑝}))
144 etransclem48.qe0 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘e) = 0)
1451443ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑄‘e) = 0)
146 etransclem48.a0 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴‘0) ≠ 0)
1471463ad2ant1 1075 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ≠ 0)
148 simp2 1055 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℙ)
1499zcnd 11359 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
1501493ad2ant1 1075 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐴‘0) ∈ ℂ)
151150abscld 14023 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ∈ ℝ)
1521313ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 ∈ ℝ)
153 prmz 15227 . . . . . . 7 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
154153zred 11358 . . . . . 6 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℝ)
1551543ad2ant2 1076 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℝ)
156124adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*)
157 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ V
158157tpid1 4246 . . . . . . . 8 (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}
159 supxrub 12026 . . . . . . . 8 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ* ∧ (abs‘(𝐴‘0)) ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
160156, 158, 159sylancl 693 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
161160, 115syl6breqr 4625 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
1621613adant3 1074 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) ≤ 𝑇)
163 simp3 1056 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑇 < 𝑝)
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 10074 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝐴‘0)) < 𝑝)
1651303ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ∈ ℝ)
1661373ad2ant1 1075 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) ≤ 𝑇)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 10074 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (!‘𝑀) < 𝑝)
16828a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝑆 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)))))
16934a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → 𝐶 = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))))
170 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) = ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)))
171 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (!‘𝑛) = (!‘(𝑝 − 1)))
172170, 171oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛)) = (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))))
173169, 172oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
174173adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 = (𝑝 − 1)) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
175 prmnn 15226 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℕ)
176 nnm1nn0 11211 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℕ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
177175, 176syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
178177adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 − 1) ∈ ℕ0)
17958adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℂ)
18054adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℂ)
181180, 178expcld 12870 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
182177faccld 12933 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℕ)
183182nncnd 10913 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
184183adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℂ)
185182nnne0d 10942 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
186185adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ≠ 0)
187181, 184, 186divcld 10680 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℂ)
188179, 187mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℂ)
189168, 174, 178, 188fvmptd 6197 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
190189eqcomd 2616 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1911903adant3 1074 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
1921123ad2ant1 1075 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℤ)
193 1zzd 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ ℙ → 1 ∈ ℤ)
194153, 193zsubcld 11363 . . . . . . . . . 10 (𝑝 ∈ ℙ → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
1951943ad2ant2 1076 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ ℤ)
196192zred 11358 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ ℝ)
197 tpid3g 4248 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ ℤ → 𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
198112, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼})
199 supxrub 12026 . . . . . . . . . . . . . 14 (({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼} ⊆ ℝ*𝐼 ∈ {(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}) → 𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
200124, 198, 199syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐼 ≤ sup({(abs‘(𝐴‘0)), (!‘𝑀), 𝐼}, ℝ*, < ))
201200, 115syl6breqr 4625 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐼𝑇)
2022013ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼𝑇)
203196, 152, 155, 202, 163lelttrd 10074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 < 𝑝)
2041533ad2ant2 1076 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝑝 ∈ ℤ)
205 zltlem1 11307 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝑝 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
206192, 204, 205syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 < 𝑝𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
207203, 206mpbid 221 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ≤ (𝑝 − 1))
208 eluz2 11569 . . . . . . . . 9 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) ↔ (𝐼 ∈ ℤ ∧ (𝑝 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝐼 ≤ (𝑝 − 1)))
209192, 195, 207, 208syl3anbrc 1239 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼))
2101113ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1})
211 fveq2 6103 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = 𝐼 → (ℤ𝑖) = (ℤ𝐼))
212211raleqdv 3121 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 = 𝐼 → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
213212elrab 3331 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ {𝑖 ∈ ℕ0 ∣ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝑖)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1} ↔ (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
214210, 213sylib 207 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝐼 ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1))
215214simprd 478 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1)
216 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑛abs
217 nfcv 2751 . . . . . . . . . . . 12 𝑛(𝑝 − 1)
21830, 217nffv 6110 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝑆‘(𝑝 − 1))
219216, 218nffv 6110 . . . . . . . . . 10 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1)))
220 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑛 <
221 nfcv 2751 . . . . . . . . . 10 𝑛1
222219, 220, 221nfbr 4629 . . . . . . . . 9 𝑛(abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1
223 fveq2 6103 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝑆𝑛) = (𝑆‘(𝑝 − 1)))
224223fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (abs‘(𝑆𝑛)) = (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))))
225224breq1d 4593 . . . . . . . . 9 (𝑛 = (𝑝 − 1) → ((abs‘(𝑆𝑛)) < 1 ↔ (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
226222, 225rspc 3276 . . . . . . . 8 ((𝑝 − 1) ∈ (ℤ𝐼) → (∀𝑛 ∈ (ℤ𝐼)(abs‘(𝑆𝑛)) < 1 → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1))
227209, 215, 226sylc 63 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1)
228172oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = (𝑝 − 1) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
229228adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑝 ∈ ℙ) ∧ 𝑛 = (𝑝 − 1)) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑𝑛) / (!‘𝑛))) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
230 ovex 6577 . . . . . . . . . . . 12 (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V
231230a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ V)
232168, 229, 178, 231fvmptd 6197 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) = (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))))
23315nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
234233, 53reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
235233, 234remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
236235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1))) ∈ ℝ)
23749, 236remulcld 9949 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑀)) → ((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23835, 237fsumrecl 14312 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) ∈ ℝ)
23934, 238syl5eqel 2692 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
240239adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → 𝐶 ∈ ℝ)
241234adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑀↑(𝑀 + 1)) ∈ ℝ)
242241, 178reexpcld 12887 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
243182nnred 10912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 ∈ ℙ → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
244243adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (!‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
245242, 244, 186redivcld 10732 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1))) ∈ ℝ)
246240, 245remulcld 9949 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝐶 · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) ∈ ℝ)
247232, 246eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
2482473adant3 1074 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∈ ℝ)
249 1red 9934 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → 1 ∈ ℝ)
250248, 249absltd 14016 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ((abs‘(𝑆‘(𝑝 − 1))) < 1 ↔ (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)))
251227, 250mpbid 221 . . . . . 6 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (-1 < (𝑆‘(𝑝 − 1)) ∧ (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1))
252251simprd 478 . . . . 5 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (𝑆‘(𝑝 − 1)) < 1)
253191, 252eqbrtrd 4605 . . . 4 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)((abs‘((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗))) · (𝑀 · (𝑀↑(𝑀 + 1)))) · (((𝑀↑(𝑀 + 1))↑(𝑝 − 1)) / (!‘(𝑝 − 1)))) < 1)
254 etransclem6 39133 . . . 4 (𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ ((𝑥↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑗 ∈ (1...𝑀)((𝑥𝑗)↑𝑝)))
255 eqid 2610 . . . 4 Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥)
256 eqid 2610 . . . 4 𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1))) = (Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(((𝐴𝑗) · (e↑𝑐𝑗)) · ∫(0(,)𝑗)((e↑𝑐-𝑥) · ((𝑦 ∈ ℝ ↦ ((𝑦↑(𝑝 − 1)) · ∏𝑧 ∈ (1...𝑀)((𝑦𝑧)↑𝑝)))‘𝑥)) d𝑥) / (!‘(𝑝 − 1)))
257143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256etransclem47 39174 . . 3 ((𝜑𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑇 < 𝑝) → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
258257rexlimdv3a 3015 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑇 < 𝑝 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1)))
259142, 258mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℤ (𝑘 ≠ 0 ∧ (abs‘𝑘) < 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  {crab 2900  Vcvv 3173  cdif 3537  wss 3540  c0 3874  {csn 4125  {ctp 4129   class class class wbr 4583  cmpt 4643   Or wor 4958  wf 5800  cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  supcsup 8229  infcinf 8230  cc 9813  cr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  -cneg 10146   / cdiv 10563  cn 10897  0cn0 11169  cz 11254  cuz 11563  +crp 11708  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  cexp 12722  !cfa 12922  abscabs 13822  cli 14063  Σcsu 14264  cprod 14474  eceu 14632  cprime 15223  citg 23193  0𝑝c0p 23242  Polycply 23744  coeffccoe 23746  degcdgr 23747  𝑐ccxp 24106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-omul 7452  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-acn 8651  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ioc 12051  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-mod 12531  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-shft 13655  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-limsup 14050  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-prod 14475  df-ef 14637  df-e 14638  df-sin 14639  df-cos 14640  df-tan 14641  df-pi 14642  df-dvds 14822  df-gcd 15055  df-prm 15224  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-rest 15906  df-topn 15907  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-topgen 15927  df-pt 15928  df-prds 15931  df-xrs 15985  df-qtop 15990  df-imas 15991  df-xps 15993  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-mulg 17364  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-cmp 21000  df-tx 21175  df-hmeo 21368  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-tms 21937  df-cncf 22489  df-ovol 23040  df-vol 23041  df-mbf 23194  df-itg1 23195  df-itg2 23196  df-ibl 23197  df-itg 23198  df-0p 23243  df-limc 23436  df-dv 23437  df-dvn 23438  df-ply 23748  df-coe 23750  df-dgr 23751  df-log 24107  df-cxp 24108
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