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Theorem etransclem48 38031
Description:  _e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime  p is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) )
etransclem48.qe0  |-  ( ph  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
etransclem48.a  |-  A  =  (coeff `  Q )
etransclem48.a0  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =/=  0 )
etransclem48.m  |-  M  =  (deg `  Q )
etransclem48.c  |-  C  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )
etransclem48.s  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
etransclem48.i  |-  I  = inf ( { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 } ,  RR ,  <  )
etransclem48.t  |-  T  =  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
etransclem48  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) )
Distinct variable groups:    A, j,
k    A, n, j    C, i, n    i, I, n   
j, M, k    n, M    Q, j    S, i    T, j, k    ph, i, n    ph, j, k
Allowed substitution hints:    A( i)    C( j, k)    Q( i, k, n)    S( j, k, n)    T( i, n)    I( j,
k)    M( i)

Proof of Theorem etransclem48
Dummy variables  x  y  z  e  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) )
21eldifad 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 0zd 10900 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  Q )
54coef2 23127 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  (Poly `  ZZ )  /\  0  e.  ZZ )  ->  A : NN0 --> ZZ )
62, 3, 5syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
7 0nn0 10835 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
96, 8ffvelrnd 5982 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  ZZ )
10 zabscl 13320 . . . . . . 7  |-  ( ( A `  0 )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A ` 
0 ) )  e.  ZZ )
119, 10syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  0 )
)  e.  ZZ )
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  (deg `  Q )
13 dgrcl 23129 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  (Poly `  ZZ )  ->  (deg `  Q
)  e.  NN0 )
142, 13syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  Q )  e.  NN0 )
1512, 14syl5eqel 2510 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1615faccld 37430 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  NN )
1716nnzd 10990 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  ZZ )
18 ssrab2 3489 . . . . . . . 8  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  NN0
19 nn0ssz 10909 . . . . . . . 8  |-  NN0  C_  ZZ
2018, 19sstri 3416 . . . . . . 7  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  ZZ
21 etransclem48.i . . . . . . . 8  |-  I  = inf ( { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 } ,  RR ,  <  )
22 nn0uz 11144 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2318, 22sseqtri 3439 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  ( ZZ>= `  0
)
24 1rp 11257 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
25 nfv 1755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n ph
26 nfmpt1 4456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  C )
27 nfmpt1 4456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
29 nfmpt1 4456 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
3028, 29nfcxfr 2567 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n S
31 nn0ex 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  e.  _V
3231mptex 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  C )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  e.  _V )
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )
35 fzfid 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
366adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A : NN0 --> ZZ )
37 elfznn0 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
3837adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
3936, 38ffvelrnd 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  ZZ )
4039zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
41 ere 14086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _e  e.  RR
4241recni 9606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  _e  e.  CC )
44 elfzelz 11751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
4544zcnd 10992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  CC )
4645adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  CC )
4743, 46cxpcld 23595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
_e  ^c  j )  e.  CC )
4840, 47mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) )  e.  CC )
4948abscld 13441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  RR )
5049recnd 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  CC )
5115nn0cnd 10878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
52 peano2nn0 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
5315, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
5451, 53expcld 12366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
5551, 54mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5655adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5750, 56mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
5835, 57fsumcl 13742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
5934, 58syl5eqel 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
60 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  =  ( n  e.  NN0  |->  C ) )
61 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  =  i )  ->  C  =  C )
62 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
6359adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
6460, 61, 62, 63fvmptd 5914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 i )  =  C )
6522, 3, 33, 59, 64climconst 13550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  ~~>  C )
6631mptex 6095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  _V
6728, 66eqeltri 2502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
69 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
7069expfac 37621 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  ~~>  0 )
7154, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )  ~~>  0 )
72 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
7359adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
74 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  |->  C )  =  ( n  e. 
NN0  |->  C )
7574fvmpt2 5917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  C ) `  n )  =  C )
7672, 73, 75syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 n )  =  C )
7776, 73eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 n )  e.  CC )
78 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  e. 
_V
7969fvmpt2 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
)  e.  _V )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  n )  =  ( ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
8078, 79mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8180adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8254adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
8382, 72expcld 12366 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  e.  CC )
8472faccld 37430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
8584nncnd 10576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
8684nnne0d 10605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  =/=  0
)
8783, 85, 86divcld 10334 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  e.  CC )
8881, 87eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  e.  CC )
89 ovex 6277 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )  e. 
_V
9028fvmpt2 5917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  e.  _V )  ->  ( S `  n
)  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )
9189, 90mpan2 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( S `
 n )  =  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
9291adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )
9376, 81oveq12d 6267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  C ) `  n
)  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )
9492, 93eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( ( ( n  e. 
NN0  |->  C ) `  n )  x.  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  n
) ) )
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 37565 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( C  x.  0 ) )
9659mul01d 9783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
9795, 96breqtrd 4391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  ~~>  0 )
98 eqidd 2429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  n ) )
9977, 88mulcld 9614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  C ) `  n
)  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n ) )  e.  CC )
10094, 99eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  e.  CC )
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 37618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  ~~>  0  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )
)
10297, 101mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )
103 breq2 4370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  1  ->  (
( abs `  ( S `  n )
)  <  e  <->  ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
) )
104103rexralbidv 2886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  1  ->  ( E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  e  <->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
105104rspcva 3123 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )  ->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
)
10624, 102, 105sylancr 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
)
107 rabn0 3725 . . . . . . . . . 10  |-  ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 )
108106, 107sylibr 215 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/) )
109 infssuzcl 11196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  C_  ( ZZ>= `  0 )  /\  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/) )  -> inf ( {
i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } ,  RR ,  <  )  e. 
{ i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
11023, 108, 109sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> inf ( { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 } ,  RR ,  <  )  e.  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
11121, 110syl5eqel 2510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } )
11220, 111sseldi 3405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
113 tpssi 4109 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( A `  0 )
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  M )  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I }  C_  ZZ )
11411, 17, 112, 113syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  ZZ )
115 etransclem48.t . . . . . 6  |-  T  =  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )
116 xrltso 11391 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
117116a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
118 tpfi 7800 . . . . . . . 8  |-  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I }  e.  Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  e.  Fin )
12011tpnzd 4065 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  =/=  (/) )
121 zssre 10895 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
122 ressxr 9635 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
123121, 122sstri 3416 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR*
124114, 123syl6ss 3419 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR* )
125 fisupcl 7938 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  e.  Fin  /\ 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  =/=  (/)  /\  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR* )
)  ->  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )  e.  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1266 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )  e.  { ( abs `  ( A `  0
) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
127115, 126syl5eqel 2510 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
128114, 127sseldd 3408 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ZZ )
129 0red 9595 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13016nnred 10575 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  RR )
131128zred 10991 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
13216nngt0d 10604 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( ! `
 M ) )
133 fvex 5835 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 M )  e. 
_V
134133tpid2 4057 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 M )  e. 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }
135 supxrub 11561 . . . . . . 7  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  ( ! `  M )  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  -> 
( ! `  M
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
136124, 134, 135sylancl 666 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
137136, 115syl6breqr 4407 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  <_  T )
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 9746 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  T )
139 elnnz 10898 . . . 4  |-  ( T  e.  NN  <->  ( T  e.  ZZ  /\  0  < 
T ) )
140128, 138, 139sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  NN )
141 prmunb 14801 . . 3  |-  ( T  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  T  <  p
)
142140, 141syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  T  <  p )
14313ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) )
144 etransclem48.qe0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
1451443ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
146 etransclem48.a0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =/=  0 )
1471463ad2ant1 1026 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( A `  0 )  =/=  0 )
148 simp2 1006 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  Prime )
1499zcnd 10992 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  CC )
1501493ad2ant1 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
151150abscld 13441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  RR )
1521313ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  T  e.  RR )
153 prmz 14569 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
154153zred 10991 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
1551543ad2ant2 1027 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  RR )
156124adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  { ( abs `  ( A ` 
0 ) ) ,  ( ! `  M
) ,  I }  C_ 
RR* )
157 fvex 5835 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  _V
158157tpid1 4056 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }
159 supxrub 11561 . . . . . . . 8  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  ( abs `  ( A ` 
0 ) )  e. 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  -> 
( abs `  ( A `  0 )
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
160156, 158, 159sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
161160, 115syl6breqr 4407 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  T
)
1621613adant3 1025 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  T
)
163 simp3 1007 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  T  <  p )
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 9744 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <  p
)
1651303ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  e.  RR )
1661373ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  <_  T
)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 9744 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  <  p
)
16828a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) ) )
16934a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  C  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) ) )
170 oveq2 6257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  =  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) ) )
171 fveq2 5825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( p  -  1
) ) )
172170, 171oveq12d 6267 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) )
173169, 172oveq12d 6267 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( C  x.  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
174173adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  n  =  ( p  - 
1 ) )  -> 
( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
175 prmnn 14568 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
176 nnm1nn0 10862 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  NN  ->  (
p  -  1 )  e.  NN0 )
177175, 176syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  -  1 )  e. 
NN0 )
178177adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  -  1 )  e. 
NN0 )
17958adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
18054adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
181180, 178expcld 12366 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  e.  CC )
182177faccld 37430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  NN )
183182nncnd 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  CC )
184183adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  e.  CC )
185182nnne0d 10605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  =/=  0 )
186185adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  =/=  0
)
187181, 184, 186divcld 10334 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )  e.  CC )
188179, 187mulcld 9614 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  e.  CC )
189168, 174, 178, 188fvmptd 5914 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
190189eqcomd 2434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
1911903adant3 1025 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
1921123ad2ant1 1026 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  ZZ )
193 1zzd 10919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  e.  ZZ )
194153, 193zsubcld 10996 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  -  1 )  e.  ZZ )
1951943ad2ant2 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( p  -  1 )  e.  ZZ )
196192zred 10991 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  RR )
197 tpid3g 4058 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )
198112, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
199 supxrub 11561 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  I  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  ->  I  <_  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
200124, 198, 199syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
201200, 115syl6breqr 4407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  <_  T )
2022013ad2ant1 1026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <_  T )
203196, 152, 155, 202, 163lelttrd 9744 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <  p )
2041533ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  ZZ )
205 zltlem1 10940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( I  <  p  <->  I  <_  ( p  - 
1 ) ) )
206192, 204, 205syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( I  <  p  <->  I  <_  ( p  -  1 ) ) )
207203, 206mpbid 213 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <_  ( p  -  1 ) )
208 eluz2 11116 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  ( p  -  1 )  e.  ZZ  /\  I  <_ 
( p  -  1 ) ) )
209192, 195, 207, 208syl3anbrc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I )
)
2101113ad2ant1 1026 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
211 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  ( ZZ>=
`  i )  =  ( ZZ>= `  I )
)
212211raleqdv 2970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
213212elrab 3171 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 }  <->  ( I  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  I ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
) )
214210, 213sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( I  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
215214simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 )
216 nfcv 2569 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n abs
217 nfcv 2569 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( p  -  1 )
21830, 217nffv 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( S `  (
p  -  1 ) )
219216, 218nffv 5832 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )
220 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <
221 nfcv 2569 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
1
222219, 220, 221nfbr 4411 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )  <  1
223 fveq2 5825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
224223fveq2d 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( abs `  ( S `  n ) )  =  ( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) ) )
225224breq1d 4376 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( abs `  ( S `  n )
)  <  1  <->  ( abs `  ( S `  (
p  -  1 ) ) )  <  1
) )
226222, 225rspc 3119 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  I ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1  ->  ( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )  <  1 ) )
227209, 215, 226sylc 62 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( S `  (
p  -  1 ) ) )  <  1
)
228172oveq2d 6265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( C  x.  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) ) )
229228adantl 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  n  =  ( p  - 
1 ) )  -> 
( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) ) )
230 ovex 6277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) )  e. 
_V
231230a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) )  e.  _V )
232168, 229, 178, 231fvmptd 5914 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
23315nn0red 10877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
234233, 53reexpcld 12383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
235233, 234remulcld 9622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  RR )
236235adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  RR )
23749, 236remulcld 9622 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
23835, 237fsumrecl 13743 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
23934, 238syl5eqel 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
240239adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  C  e.  RR )
241234adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  RR )
242241, 178reexpcld 12383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  e.  RR )
243182nnred 10575 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  RR )
244243adantl 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
245242, 244, 186redivcld 10386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )  e.  RR )
246240, 245remulcld 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
247232, 246eqeltrd 2506 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
2482473adant3 1025 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
249 1red 9609 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  1  e.  RR )
250248, 249absltd 13435 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ( abs `  ( S `  ( p  -  1
) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( S `  (
p  -  1 ) )  /\  ( S `
 ( p  - 
1 ) )  <  1 ) ) )
251227, 250mpbid 213 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( -u 1  <  ( S `  (
p  -  1 ) )  /\  ( S `
 ( p  - 
1 ) )  <  1 ) )
252251simprd 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  <  1
)
253191, 252eqbrtrd 4387 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  <  1 )
254 etransclem6 37988 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ p ) ) )
255 eqid 2428 . . . 4  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )
256 eqid 2428 . . . 4  |-  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( p  - 
1 ) )  x. 
prod_ z  e.  (
1 ... M ) ( ( y  -  z
) ^ p ) ) ) `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( p  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )
257143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256etransclem47 38029 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k )  <  1
) )
258257rexlimdv3a 2858 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p  e. 
Prime  T  <  p  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) ) )
259142, 258mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 3022    \ cdif 3376    C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   {ctp 3945   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425    Or wor 4716   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   supcsup 7907  infcinf 7908   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    x. cmul 9495   RR*cxr 9625    < clt 9626    <_ cle 9627    - cmin 9811   -ucneg 9812    / cdiv 10220   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   RR+crp 11253   (,)cioo 11586   ...cfz 11735   ^cexp 12222   !cfa 12409   abscabs 13241    ~~> cli 13491   sum_csu 13695   prod_cprod 13902   _eceu 14058   Primecprime 14565   S.citg 22518   0pc0p 22569  Polycply 23080  coeffccoe 23082  degcdgr 23083    ^c ccxp 23447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-prod 13903  df-ef 14064  df-e 14065  df-sin 14066  df-cos 14067  df-tan 14068  df-pi 14069  df-dvds 14249  df-gcd 14412  df-prm 14566  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519  df-itg1 22520  df-itg2 22521  df-ibl 22522  df-itg 22523  df-0p 22570  df-limc 22763  df-dv 22764  df-dvn 22765  df-ply 23084  df-coe 23086  df-dgr 23087  df-log 23448  df-cxp 23449
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