Theorem etransclem48 32307

Description: _e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime p is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem48.q	|- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
etransclem48.qe0	|- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
etransclem48.a	|- A = (coeff ` Q )
etransclem48.a0	|- ( ph -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
etransclem48.m	|- M = (deg ` Q )
etransclem48.c	|- C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
etransclem48.s	|- S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
etransclem48.i	|- I = sup ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , `' < )
etransclem48.t	|- T = sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
etransclem48	|- ( ph -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   A, n, j   C, i, n   i, I, n   j, M, k   n, M   Q, j   S, i   T, j, k   ph, i, n   ph, j, k

Allowed substitution hints:   A( i)   C( j, k)   Q( i, k, n)   S( j, k, n)   T( i, n)   I( j, k)   M( i)

Proof of Theorem etransclem48

Dummy variables x y z e p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem48.q	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
2	1	eldifad 3473	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. (Poly ` ZZ ) )
3		0zd 10872	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		etransclem48.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (coeff ` Q )
5	4	coef2 22797	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. (Poly ` ZZ ) /\ 0 e. ZZ ) -> A : NN0 --> ZZ )
6	2, 3, 5	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A : NN0 --> ZZ )
7		0nn0 10806	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
9	6, 8	ffvelrnd 6008	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. ZZ )
10		zabscl 13231	. . . . . . 7 |- ( ( A ` 0 ) e. ZZ -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ )
12		etransclem48.m	. . . . . . . . 9 |- M = (deg ` Q )
13		dgrcl 22799	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. (Poly ` ZZ ) -> (deg ` Q ) e. NN0 )
14	2, 13	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (deg ` Q ) e. NN0 )
15	12, 14	syl5eqel 2546	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
16	15	faccld 31758	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
17	16	nnzd 10964	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. ZZ )
18		ssrab2 3571	. . . . . . . 8 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ NN0
19		nn0ssz 10881	. . . . . . . 8 |- NN0 C_ ZZ
20	18, 19	sstri 3498	. . . . . . 7 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ZZ
21		etransclem48.i	. . . . . . . 8 |- I = sup ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , `' < )
22		nn0uz 11116	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
23	18, 22	sseqtri 3521	. . . . . . . . 9 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ( ZZ>= ` 0 )
24		1rp 11225	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
25		nfv 1712	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ph
26		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> C )
27		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
28		etransclem48.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
29		nfmpt1 4528	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
30	28, 29	nfcxfr 2614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n S
31		nn0ex 10797	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 e. _V
32	31	mptex 6118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> C ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> C ) e. _V )
34		etransclem48.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
35		fzfid 12068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
36	6	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> ZZ )
37		elfznn0 11775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
38	37	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
39	36, 38	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. ZZ )
40	39	zcnd 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
41		ere 13909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _e e. RR
42	41	recni 9597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- _e e. CC
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> _e e. CC )
44		elfzelz 11691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
45	44	zcnd 10966	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. CC )
46	45	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. CC )
47	43, 46	cxpcld 23260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
48	40, 47	mulcld 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) e. CC )
49	48	abscld 13352	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. RR )
50	49	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. CC )
51	15	nn0cnd 10850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
52		peano2nn0 10832	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
53	15, 52	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
55	51, 54	mulcld 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
56	55	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
57	50, 56	mulcld 9605	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
58	35, 57	fsumcl 13640	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
59	34, 58	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
60		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( n e. NN0 |-> C ) = ( n e. NN0 |-> C ) )
61		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ n = i ) -> C = C )
62		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
63	59	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> C e. CC )
64	60, 61, 62, 63	fvmptd 5936	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` i ) = C )
65	22, 3, 33, 59, 64	climconst 13451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> C ) ~~> C )
66	31	mptex 6118	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
67	28, 66	eqeltri 2538	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S e. _V
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. _V )
69		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
70	69	expfac 31905	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ~~> 0 )
71	54, 70	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ~~> 0 )
72		simpr 459	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
73	59	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. CC )
74		eqid 2454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 |-> C ) = ( n e. NN0 |-> C )
75	74	fvmpt2 5939	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) = C )
76	72, 73, 75	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) = C )
77	76, 73	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) e. CC )
78		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. _V
79	69	fvmpt2 5939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
80	78, 79	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
81	80	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
82	54	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
83	82, 72	expcld 12295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) e. CC )
84	72	faccld 31758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) e. NN )
85	84	nncnd 10547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) e. CC )
86	84	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) =/= 0 )
87	83, 85, 86	divcld 10316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. CC )
88	81, 87	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) e. CC )
89		ovex 6298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
90	28	fvmpt2 5939	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V ) -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
91	89, 90	mpan2 669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
92	91	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
93	76, 81	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
94	92, 93	eqtr4d 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) )
95	25, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94	climmulf 31852	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S ~~> ( C x. 0 ) )
96	59	mul01d 9768	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C x. 0 ) = 0 )
97	95, 96	breqtrd 4463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S ~~> 0 )
98		eqidd 2455	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( S ` n ) )
99	77, 88	mulcld 9605	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) e. CC )
100	94, 99	eqeltrd 2542	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) e. CC )
101	30, 22, 3, 68, 98, 100	clim0cf 31902	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e ) )
102	97, 101	mpbid 210	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e )
103		breq2 4443	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = 1 -> ( ( abs ` ( S ` n ) ) < e <-> ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
104	103	rexralbidv 2973	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = 1 -> ( E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e <-> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
105	104	rspcva 3205	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e ) -> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
106	24, 102, 105	sylancr 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
107		rabn0 3804	. . . . . . . . . 10 |- ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) <-> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
108	106, 107	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) )
109		infmssuzcl 11166	. . . . . . . . 9 |- ( ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) ) -> sup ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , `' < ) e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
110	23, 108, 109	sylancr 661	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sup ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , `' < ) e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
111	21, 110	syl5eqel 2546	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
112	20, 111	sseldi 3487	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ZZ )
113		tpssi 4182	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` M ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ ZZ )
114	11, 17, 112, 113	syl3anc 1226	. . . . 5 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ ZZ )
115		etransclem48.t	. . . . . 6 |- T = sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < )
116		xrltso 11350	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> < Or RR* )
118		tpfi 7788	. . . . . . . 8 |- { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin )
120	11	tpnzd 4138	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } =/= (/) )
121		zssre 10867	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
122		ressxr 9626	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR*
123	121, 122	sstri 3498	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR*
124	114, 123	syl6ss 3501	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* )
125		fisupcl 7919	. . . . . . 7 |- ( ( < Or RR* /\ ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin /\ { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } =/= (/) /\ { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* ) ) -> sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
126	117, 119, 120, 124, 125	syl13anc 1228	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
127	115, 126	syl5eqel 2546	. . . . 5 |- ( ph -> T e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
128	114, 127	sseldd 3490	. . . 4 |- ( ph -> T e. ZZ )
129		0red 9586	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
130	16	nnred 10546	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. RR )
131	128	zred 10965	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
132	16	nngt0d 10575	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( ! ` M ) )
133		fvex 5858	. . . . . . . 8 |- ( ! ` M ) e. _V
134	133	tpid2 4130	. . . . . . 7 |- ( ! ` M ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I }
135		supxrub 11519	. . . . . . 7 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ ( ! ` M ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> ( ! ` M ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
136	124, 134, 135	sylancl 660	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` M ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
137	136, 115	syl6breqr 4479	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) <_ T )
138	129, 130, 131, 132, 137	ltletrd 9731	. . . 4 |- ( ph -> 0 < T )
139		elnnz 10870	. . . 4 |- ( T e. NN <-> ( T e. ZZ /\ 0 < T ) )
140	128, 138, 139	sylanbrc 662	. . 3 |- ( ph -> T e. NN )
141		prmunb 14519	. . 3 |- ( T e. NN -> E. p e. Prime T < p )
142	140, 141	syl 16	. 2 |- ( ph -> E. p e. Prime T < p )
143	1	3ad2ant1 1015	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
144		etransclem48.qe0	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
145	144	3ad2ant1 1015	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( Q ` _e ) = 0 )
146		etransclem48.a0	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
147	146	3ad2ant1 1015	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
148		simp2 995	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. Prime )
149	9	zcnd 10966	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. CC )
150	149	3ad2ant1 1015	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
151	150	abscld 13352	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. RR )
152	131	3ad2ant1 1015	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> T e. RR )
153		prmz 14308	. . . . . . 7 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
154	153	zred 10965	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
155	154	3ad2ant2 1016	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. RR )
156	124	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* )
157		fvex 5858	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. _V
158	157	tpid1 4129	. . . . . . . 8 |- ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I }
159		supxrub 11519	. . . . . . . 8 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
160	156, 158, 159	sylancl 660	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
161	160, 115	syl6breqr 4479	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ T )
162	161	3adant3 1014	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ T )
163		simp3 996	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> T < p )
164	151, 152, 155, 162, 163	lelttrd 9729	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) < p )
165	130	3ad2ant1 1015	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) e. RR )
166	137	3ad2ant1 1015	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) <_ T )
167	165, 152, 155, 166, 163	lelttrd 9729	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) < p )
168	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) )
169	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
170		oveq2 6278	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) )
171		fveq2 5848	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( p - 1 ) ) )
172	170, 171	oveq12d 6288	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) )
173	169, 172	oveq12d 6288	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
174	173	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ n = ( p - 1 ) ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
175		prmnn 14307	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
176		nnm1nn0 10833	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. NN -> ( p - 1 ) e. NN0 )
177	175, 176	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> ( p - 1 ) e. NN0 )
178	177	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) e. NN0 )
179	58	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
180	54	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
181	180, 178	expcld 12295	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) e. CC )
182	177	faccld 31758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. NN )
183	182	nncnd 10547	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. CC )
184	183	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. CC )
185	182	nnne0d 10576	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) =/= 0 )
186	185	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) =/= 0 )
187	181, 184, 186	divcld 10316	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) e. CC )
188	179, 187	mulcld 9605	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. CC )
189	168, 174, 178, 188	fvmptd 5936	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
190	189	eqcomd 2462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
191	190	3adant3 1014	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
192	112	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. ZZ )
193		1zzd 10891	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> 1 e. ZZ )
194	153, 193	zsubcld 10970	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> ( p - 1 ) e. ZZ )
195	194	3ad2ant2 1016	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( p - 1 ) e. ZZ )
196	192	zred 10965	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. RR )
197		tpid3g 4131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. ZZ -> I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
198	112, 197	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
199		supxrub 11519	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> I <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
200	124, 198, 199	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
201	200, 115	syl6breqr 4479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I <_ T )
202	201	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I <_ T )
203	196, 152, 155, 202, 163	lelttrd 9729	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I < p )
204	153	3ad2ant2 1016	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. ZZ )
205		zltlem1 10912	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( I < p <-> I <_ ( p - 1 ) ) )
206	192, 204, 205	syl2anc 659	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( I < p <-> I <_ ( p - 1 ) ) )
207	203, 206	mpbid 210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I <_ ( p - 1 ) )
208		eluz2 11088	. . . . . . . . 9 |- ( ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) <-> ( I e. ZZ /\ ( p - 1 ) e. ZZ /\ I <_ ( p - 1 ) ) )
209	192, 195, 207, 208	syl3anbrc 1178	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
210	111	3ad2ant1 1015	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
211		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` I ) )
212	211	raleqd 31683	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> ( A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 <-> A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
213	212	elrab 3254	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } <-> ( I e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
214	210, 213	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( I e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
215	214	simprd 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
216		nfcv 2616	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n abs
217		nfcv 2616	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( p - 1 )
218	30, 217	nffv 5855	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( S ` ( p - 1 ) )
219	216, 218	nffv 5855	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) )
220		nfcv 2616	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n <
221		nfcv 2616	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n 1
222	219, 220, 221	nfbr 4483	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1
223		fveq2 5848	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( S ` n ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
224	223	fveq2d 5852	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( abs ` ( S ` n ) ) = ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) )
225	224	breq1d 4449	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 <-> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 ) )
226	222, 225	rspc 3201	. . . . . . . 8 |- ( ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 -> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 ) )
227	209, 215, 226	sylc 60	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 )
228	172	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
229	228	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ n = ( p - 1 ) ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
230		ovex 6298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. _V
231	230	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. _V )
232	168, 229, 178, 231	fvmptd 5936	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
233	15	nn0red 10849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. RR )
234	233, 53	reexpcld 12312	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
235	233, 234	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
236	235	adantr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
237	49, 236	remulcld 9613	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
238	35, 237	fsumrecl 13641	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
239	34, 238	syl5eqel 2546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
240	239	adantr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> C e. RR )
241	234	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
242	241, 178	reexpcld 12312	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) e. RR )
243	182	nnred 10546	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. RR )
244	243	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. RR )
245	242, 244, 186	redivcld 10368	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) e. RR )
246	240, 245	remulcld 9613	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. RR )
247	232, 246	eqeltrd 2542	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) e. RR )
248	247	3adant3 1014	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) e. RR )
249		1red 9600	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> 1 e. RR )
250	248, 249	absltd 13346	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( S ` ( p - 1 ) ) /\ ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 ) ) )
251	227, 250	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( -u 1 < ( S ` ( p - 1 ) ) /\ ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 ) )
252	251	simprd 461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 )
253	191, 252	eqbrtrd 4459	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) < 1 )
254		etransclem6 32265	. . . 4 |- ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ p ) ) )
255		eqid 2454	. . . 4 |- sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x )
256		eqid 2454	. . . 4 |- ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) )
257	143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256	etransclem47 32306	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )
258	257	rexlimdv3a 2948	. 2 |- ( ph -> ( E. p e. Prime T < p -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) ) )
259	142, 258	mpd 15	1 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   /\ w3a 971   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106   \ cdif 3458   C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   {ctp 4020   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   Or wor 4788   `'ccnv 4987   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   ...cfz 11675   ^cexp 12151   !cfa 12338   abscabs 13152   ~~> cli 13392   sum_csu 13593   prod_cprod 13797   _eceu 13883   Primecprime 14304   S.citg 22196   0pc0p 22245  Polycply 22750  coeffccoe 22752  degcdgr 22753   ^c ccxp 23112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-prod 13798  df-ef 13888  df-e 13889  df-sin 13890  df-cos 13891  df-tan 13892  df-pi 13893  df-dvds 14074  df-gcd 14232  df-prm 14305  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-ovol 22045  df-vol 22046  df-mbf 22197  df-itg1 22198  df-itg2 22199  df-ibl 22200  df-itg 22201  df-0p 22246  df-limc 22439  df-dv 22440  df-dvn 22441  df-ply 22754  df-coe 22756  df-dgr 22757  df-log 23113  df-cxp 23114

This theorem is referenced by:  etransc  32308