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Theorem etransclem48 32307
Description:  _e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime  p is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem48.q  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) )
etransclem48.qe0  |-  ( ph  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
etransclem48.a  |-  A  =  (coeff `  Q )
etransclem48.a0  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =/=  0 )
etransclem48.m  |-  M  =  (deg `  Q )
etransclem48.c  |-  C  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )
etransclem48.s  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
etransclem48.i  |-  I  =  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )
etransclem48.t  |-  T  =  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
etransclem48  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) )
Distinct variable groups:    A, j,
k    A, n, j    C, i, n    i, I, n   
j, M, k    n, M    Q, j    S, i    T, j, k    ph, i, n    ph, j, k
Allowed substitution hints:    A( i)    C( j, k)    Q( i, k, n)    S( j, k, n)    T( i, n)    I( j,
k)    M( i)

Proof of Theorem etransclem48
Dummy variables  x  y  z  e  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 etransclem48.q . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  {
0p } ) )
21eldifad 3473 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Q  e.  (Poly `  ZZ ) )
3 0zd 10872 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
4 etransclem48.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  (coeff `  Q )
54coef2 22797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Q  e.  (Poly `  ZZ )  /\  0  e.  ZZ )  ->  A : NN0 --> ZZ )
62, 3, 5syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> ZZ )
7 0nn0 10806 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  NN0
87a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  e.  NN0 )
96, 8ffvelrnd 6008 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  ZZ )
10 zabscl 13231 . . . . . . 7  |-  ( ( A `  0 )  e.  ZZ  ->  ( abs `  ( A ` 
0 ) )  e.  ZZ )
119, 10syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A `  0 )
)  e.  ZZ )
12 etransclem48.m . . . . . . . . 9  |-  M  =  (deg `  Q )
13 dgrcl 22799 . . . . . . . . . 10  |-  ( Q  e.  (Poly `  ZZ )  ->  (deg `  Q
)  e.  NN0 )
142, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  (deg `  Q )  e.  NN0 )
1512, 14syl5eqel 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
1615faccld 31758 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  NN )
1716nnzd 10964 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  ZZ )
18 ssrab2 3571 . . . . . . . 8  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  NN0
19 nn0ssz 10881 . . . . . . . 8  |-  NN0  C_  ZZ
2018, 19sstri 3498 . . . . . . 7  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  ZZ
21 etransclem48.i . . . . . . . 8  |-  I  =  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )
22 nn0uz 11116 . . . . . . . . . 10  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2318, 22sseqtri 3521 . . . . . . . . 9  |-  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 }  C_  ( ZZ>= `  0
)
24 1rp 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR+
25 nfv 1712 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ n ph
26 nfmpt1 4528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  C )
27 nfmpt1 4528 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
28 etransclem48.s . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
29 nfmpt1 4528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
3028, 29nfcxfr 2614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n S
31 nn0ex 10797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  NN0  e.  _V
3231mptex 6118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  C )  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  e.  _V )
34 etransclem48.c . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  C  = 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )
35 fzfid 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( 0 ... M
)  e.  Fin )
366adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  A : NN0 --> ZZ )
37 elfznn0 11775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  NN0 )
3837adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  NN0 )
3936, 38ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  ZZ )
4039zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( A `  j )  e.  CC )
41 ere 13909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  _e  e.  RR
4241recni 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  _e  e.  CC
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  _e  e.  CC )
44 elfzelz 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  ZZ )
4544zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( j  e.  ( 0 ... M )  ->  j  e.  CC )
4645adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  j  e.  CC )
4743, 46cxpcld 23260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
_e  ^c  j )  e.  CC )
4840, 47mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) )  e.  CC )
4948abscld 13352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  RR )
5049recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( abs `  ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) ) )  e.  CC )
5115nn0cnd 10850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
52 peano2nn0 10832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  +  1 )  e. 
NN0 )
5315, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( M  +  1 )  e.  NN0 )
5451, 53expcld 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC )
5551, 54mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5655adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  CC )
5750, 56mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
5835, 57fsumcl 13640 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
5934, 58syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
60 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  =  ( n  e.  NN0  |->  C ) )
61 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  i  e.  NN0 )  /\  n  =  i )  ->  C  =  C )
62 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  i  e.  NN0 )
6359adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
6460, 61, 62, 63fvmptd 5936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  i  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 i )  =  C )
6522, 3, 33, 59, 64climconst 13451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  C )  ~~>  C )
6631mptex 6118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )  e.  _V
6728, 66eqeltri 2538 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S  e.  _V )
69 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )
7069expfac 31905 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  CC  ->  (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  ~~>  0 )
7154, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )  ~~>  0 )
72 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  n  e.  NN0 )
7359adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  C  e.  CC )
74 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN0  |->  C )  =  ( n  e. 
NN0  |->  C )
7574fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  C  e.  CC )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  C ) `  n )  =  C )
7672, 73, 75syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 n )  =  C )
7776, 73eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  C ) `
 n )  e.  CC )
78 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  e. 
_V
7969fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
)  e.  _V )  ->  ( ( n  e. 
NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) `  n )  =  ( ( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )
8078, 79mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8180adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  =  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) )
8254adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
8382, 72expcld 12295 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  e.  CC )
8472faccld 31758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  e.  NN )
8584nncnd 10547 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  e.  CC )
8684nnne0d 10576 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( ! `  n )  =/=  0
)
8783, 85, 86divcld 10316 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) )  e.  CC )
8881, 87eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n )  e.  CC )
89 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) )  e. 
_V
9028fvmpt2 5939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  NN0  /\  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  e.  _V )  ->  ( S `  n
)  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  / 
( ! `  n
) ) ) )
9189, 90mpan2 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN0  ->  ( S `
 n )  =  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) )
9291adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) )
9376, 81oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  C ) `  n
)  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) )
9492, 93eqtr4d 2498 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( ( ( n  e. 
NN0  |->  C ) `  n )  x.  (
( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
n )  /  ( ! `  n )
) ) `  n
) ) )
9525, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94climmulf 31852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( C  x.  0 ) )
9659mul01d 9768 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( C  x.  0 )  =  0 )
9795, 96breqtrd 4463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  ~~>  0 )
98 eqidd 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  n ) )
9977, 88mulcld 9605 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( (
( n  e.  NN0  |->  C ) `  n
)  x.  ( ( n  e.  NN0  |->  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) ) `
 n ) )  e.  CC )
10094, 99eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN0 )  ->  ( S `  n )  e.  CC )
10130, 22, 3, 68, 98, 100clim0cf 31902 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  ~~>  0  <->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )
)
10297, 101mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )
103 breq2 4443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( e  =  1  ->  (
( abs `  ( S `  n )
)  <  e  <->  ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
) )
104103rexralbidv 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( e  =  1  ->  ( E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  e  <->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
105104rspcva 3205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR+  /\  A. e  e.  RR+  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  e )  ->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
)
10624, 102, 105sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
)
107 rabn0 3804 . . . . . . . . . 10  |-  ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/)  <->  E. i  e.  NN0  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 )
108106, 107sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/) )
109 infmssuzcl 11166 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  C_  ( ZZ>= `  0 )  /\  { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 }  =/=  (/) )  ->  sup ( { i  e.  NN0  | 
A. n  e.  (
ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )  e.  { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 }
)
11023, 108, 109sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  sup ( { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } ,  RR ,  `'  <  )  e.  {
i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
11121, 110syl5eqel 2546 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  I  e.  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1 } )
11220, 111sseldi 3487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  I  e.  ZZ )
113 tpssi 4182 . . . . . 6  |-  ( ( ( abs `  ( A `  0 )
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  M )  e.  ZZ  /\  I  e.  ZZ )  ->  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I }  C_  ZZ )
11411, 17, 112, 113syl3anc 1226 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  ZZ )
115 etransclem48.t . . . . . 6  |-  T  =  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )
116 xrltso 11350 . . . . . . . 8  |-  <  Or  RR*
117116a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  <  Or  RR* )
118 tpfi 7788 . . . . . . . 8  |-  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I }  e.  Fin
119118a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  e.  Fin )
12011tpnzd 4138 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  =/=  (/) )
121 zssre 10867 . . . . . . . . 9  |-  ZZ  C_  RR
122 ressxr 9626 . . . . . . . . 9  |-  RR  C_  RR*
123121, 122sstri 3498 . . . . . . . 8  |-  ZZ  C_  RR*
124114, 123syl6ss 3501 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR* )
125 fisupcl 7919 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Or  RR*  /\  ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  e.  Fin  /\ 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  =/=  (/)  /\  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR* )
)  ->  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )  e.  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )
126117, 119, 120, 124, 125syl13anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  )  e.  { ( abs `  ( A `  0
) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
127115, 126syl5eqel 2546 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
128114, 127sseldd 3490 . . . 4  |-  ( ph  ->  T  e.  ZZ )
129 0red 9586 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
13016nnred 10546 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  e.  RR )
131128zred 10965 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
13216nngt0d 10575 . . . . 5  |-  ( ph  ->  0  <  ( ! `
 M ) )
133 fvex 5858 . . . . . . . 8  |-  ( ! `
 M )  e. 
_V
134133tpid2 4130 . . . . . . 7  |-  ( ! `
 M )  e. 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }
135 supxrub 11519 . . . . . . 7  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  ( ! `  M )  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  -> 
( ! `  M
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
136124, 134, 135sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
137136, 115syl6breqr 4479 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ! `  M
)  <_  T )
138129, 130, 131, 132, 137ltletrd 9731 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  <  T )
139 elnnz 10870 . . . 4  |-  ( T  e.  NN  <->  ( T  e.  ZZ  /\  0  < 
T ) )
140128, 138, 139sylanbrc 662 . . 3  |-  ( ph  ->  T  e.  NN )
141 prmunb 14519 . . 3  |-  ( T  e.  NN  ->  E. p  e.  Prime  T  <  p
)
142140, 141syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  E. p  e.  Prime  T  <  p )
14313ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  Q  e.  ( (Poly `  ZZ )  \  { 0p }
) )
144 etransclem48.qe0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
1451443ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( Q `  _e )  =  0 )
146 etransclem48.a0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  =/=  0 )
1471463ad2ant1 1015 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( A `  0 )  =/=  0 )
148 simp2 995 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  Prime )
1499zcnd 10966 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A `  0
)  e.  CC )
1501493ad2ant1 1015 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( A `  0 )  e.  CC )
151150abscld 13352 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  RR )
1521313ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  T  e.  RR )
153 prmz 14308 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  ZZ )
154153zred 10965 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  RR )
1551543ad2ant2 1016 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  RR )
156124adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  { ( abs `  ( A ` 
0 ) ) ,  ( ! `  M
) ,  I }  C_ 
RR* )
157 fvex 5858 . . . . . . . . 9  |-  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  _V
158157tpid1 4129 . . . . . . . 8  |-  ( abs `  ( A `  0
) )  e.  {
( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }
159 supxrub 11519 . . . . . . . 8  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  ( abs `  ( A ` 
0 ) )  e. 
{ ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  -> 
( abs `  ( A `  0 )
)  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
160156, 158, 159sylancl 660 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
161160, 115syl6breqr 4479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  T
)
1621613adant3 1014 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <_  T
)
163 simp3 996 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  T  <  p )
164151, 152, 155, 162, 163lelttrd 9729 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( A `  0
) )  <  p
)
1651303ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  e.  RR )
1661373ad2ant1 1015 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  <_  T
)
167165, 152, 155, 166, 163lelttrd 9729 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ! `  M )  <  p
)
16828a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  S  =  ( n  e.  NN0  |->  ( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) ) ) )
16934a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  C  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) ) )
170 oveq2 6278 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  =  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) ) )
171 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( ! `  n )  =  ( ! `  ( p  -  1
) ) )
172170, 171oveq12d 6288 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) )  =  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) )
173169, 172oveq12d 6288 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( C  x.  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
174173adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  n  =  ( p  - 
1 ) )  -> 
( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
175 prmnn 14307 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e.  NN )
176 nnm1nn0 10833 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  NN  ->  (
p  -  1 )  e.  NN0 )
177175, 176syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  -  1 )  e. 
NN0 )
178177adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  -  1 )  e. 
NN0 )
17958adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( abs `  ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  CC )
18054adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  CC )
181180, 178expcld 12295 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  e.  CC )
182177faccld 31758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  NN )
183182nncnd 10547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  CC )
184183adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  e.  CC )
185182nnne0d 10576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  =/=  0 )
186185adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  =/=  0
)
187181, 184, 186divcld 10316 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )  e.  CC )
188179, 187mulcld 9605 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  e.  CC )
189168, 174, 178, 188fvmptd 5936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  =  (
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
190189eqcomd 2462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
1911903adant3 1014 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
1921123ad2ant1 1015 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  ZZ )
193 1zzd 10891 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  1  e.  ZZ )
194153, 193zsubcld 10970 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p  -  1 )  e.  ZZ )
1951943ad2ant2 1016 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( p  -  1 )  e.  ZZ )
196192zred 10965 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  RR )
197 tpid3g 4131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( I  e.  ZZ  ->  I  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )
198112, 197syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  I  e.  { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } )
199 supxrub 11519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I }  C_  RR*  /\  I  e.  { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } )  ->  I  <_  sup ( { ( abs `  ( A `
 0 ) ) ,  ( ! `  M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
200124, 198, 199syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  I  <_  sup ( { ( abs `  ( A `  0 )
) ,  ( ! `
 M ) ,  I } ,  RR* ,  <  ) )
201200, 115syl6breqr 4479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  I  <_  T )
2022013ad2ant1 1015 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <_  T )
203196, 152, 155, 202, 163lelttrd 9729 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <  p )
2041533ad2ant2 1016 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  p  e.  ZZ )
205 zltlem1 10912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  ZZ  /\  p  e.  ZZ )  ->  ( I  <  p  <->  I  <_  ( p  - 
1 ) ) )
206192, 204, 205syl2anc 659 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( I  <  p  <->  I  <_  ( p  -  1 ) ) )
207203, 206mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  <_  ( p  -  1 ) )
208 eluz2 11088 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I
)  <->  ( I  e.  ZZ  /\  ( p  -  1 )  e.  ZZ  /\  I  <_ 
( p  -  1 ) ) )
209192, 195, 207, 208syl3anbrc 1178 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I )
)
2101113ad2ant1 1015 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  I  e.  { i  e.  NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1 } )
211 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( i  =  I  ->  ( ZZ>=
`  i )  =  ( ZZ>= `  I )
)
212211raleqd 31683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  =  I  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>=
`  i ) ( abs `  ( S `
 n ) )  <  1  <->  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
213212elrab 3254 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  e.  { i  e. 
NN0  |  A. n  e.  ( ZZ>= `  i )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 }  <->  ( I  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  I ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1
) )
214210, 213sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( I  e.  NN0  /\  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 ) )
215214simprd 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  A. n  e.  ( ZZ>= `  I )
( abs `  ( S `  n )
)  <  1 )
216 nfcv 2616 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n abs
217 nfcv 2616 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n
( p  -  1 )
21830, 217nffv 5855 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n
( S `  (
p  -  1 ) )
219216, 218nffv 5855 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )
220 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n  <
221 nfcv 2616 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
1
222219, 220, 221nfbr 4483 . . . . . . . . 9  |-  F/ n
( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )  <  1
223 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( S `  n )  =  ( S `  ( p  -  1
) ) )
224223fveq2d 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( abs `  ( S `  n ) )  =  ( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) ) )
225224breq1d 4449 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  (
( abs `  ( S `  n )
)  <  1  <->  ( abs `  ( S `  (
p  -  1 ) ) )  <  1
) )
226222, 225rspc 3201 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  -  1 )  e.  ( ZZ>= `  I
)  ->  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  I ) ( abs `  ( S `  n
) )  <  1  ->  ( abs `  ( S `  ( p  -  1 ) ) )  <  1 ) )
227209, 215, 226sylc 60 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( abs `  ( S `  (
p  -  1 ) ) )  <  1
)
228172oveq2d 6286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( p  - 
1 )  ->  ( C  x.  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ n )  /  ( ! `  n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) ) )
229228adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  p  e.  Prime )  /\  n  =  ( p  - 
1 ) )  -> 
( C  x.  (
( ( M ^
( M  +  1 ) ) ^ n
)  /  ( ! `
 n ) ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) ) )
230 ovex 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  - 
1 ) )  / 
( ! `  (
p  -  1 ) ) ) )  e. 
_V
231230a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) )  e.  _V )
232168, 229, 178, 231fvmptd 5936 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  =  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) ) )
23315nn0red 10849 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
234233, 53reexpcld 12312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M ^ ( M  +  1 ) )  e.  RR )
235233, 234remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  RR )
236235adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) )  e.  RR )
23749, 236remulcld 9613 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  j  e.  ( 0 ... M
) )  ->  (
( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
23835, 237fsumrecl 13641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  e.  RR )
23934, 238syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
240239adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  C  e.  RR )
241234adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( M ^ ( M  + 
1 ) )  e.  RR )
242241, 178reexpcld 12312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  e.  RR )
243182nnred 10546 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( ! `
 ( p  - 
1 ) )  e.  RR )
244243adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ! `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
245242, 244, 186redivcld 10368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( (
( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )  e.  RR )
246240, 245remulcld 9613 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( C  x.  ( ( ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ^
( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1 ) ) ) )  e.  RR )
247232, 246eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime )  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
2482473adant3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  e.  RR )
249 1red 9600 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  1  e.  RR )
250248, 249absltd 13346 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( ( abs `  ( S `  ( p  -  1
) ) )  <  1  <->  ( -u 1  <  ( S `  (
p  -  1 ) )  /\  ( S `
 ( p  - 
1 ) )  <  1 ) ) )
251227, 250mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( -u 1  <  ( S `  (
p  -  1 ) )  /\  ( S `
 ( p  - 
1 ) )  <  1 ) )
252251simprd 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( S `  ( p  -  1 ) )  <  1
)
253191, 252eqbrtrd 4459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( abs `  (
( A `  j
)  x.  ( _e 
^c  j ) ) )  x.  ( M  x.  ( M ^ ( M  + 
1 ) ) ) )  x.  ( ( ( M ^ ( M  +  1 ) ) ^ ( p  -  1 ) )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) ) )  <  1 )
254 etransclem6 32265 . . . 4  |-  ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p
) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( ( x ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ j  e.  ( 1 ... M ) ( ( x  -  j ) ^ p ) ) )
255 eqid 2454 . . . 4  |-  sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )  =  sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `
 j )  x.  ( _e  ^c 
j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )
256 eqid 2454 . . . 4  |-  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M ) ( ( ( A `  j )  x.  (
_e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  ( ( y  e.  RR  |->  ( ( y ^ ( p  - 
1 ) )  x. 
prod_ z  e.  (
1 ... M ) ( ( y  -  z
) ^ p ) ) ) `  x
) )  _d x )  /  ( ! `
 ( p  - 
1 ) ) )  =  ( sum_ j  e.  ( 0 ... M
) ( ( ( A `  j )  x.  ( _e  ^c  j ) )  x.  S. ( 0 (,) j ) ( ( _e  ^c  -u x )  x.  (
( y  e.  RR  |->  ( ( y ^
( p  -  1 ) )  x.  prod_ z  e.  ( 1 ... M ) ( ( y  -  z ) ^ p ) ) ) `  x ) )  _d x )  /  ( ! `  ( p  -  1
) ) )
257143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256etransclem47 32306 . . 3  |-  ( (
ph  /\  p  e.  Prime  /\  T  <  p
)  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k )  <  1
) )
258257rexlimdv3a 2948 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. p  e. 
Prime  T  <  p  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) ) )
259142, 258mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. k  e.  ZZ  ( k  =/=  0  /\  ( abs `  k
)  <  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    \ cdif 3458    C_ wss 3461   (/)c0 3783   {csn 4016   {ctp 4020   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    Or wor 4788   `'ccnv 4987   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Fincfn 7509   supcsup 7892   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797    / cdiv 10202   NNcn 10531   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   ...cfz 11675   ^cexp 12151   !cfa 12338   abscabs 13152    ~~> cli 13392   sum_csu 13593   prod_cprod 13797   _eceu 13883   Primecprime 14304   S.citg 22196   0pc0p 22245  Polycply 22750  coeffccoe 22752  degcdgr 22753    ^c ccxp 23112
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12093  df-exp 12152  df-fac 12339  df-bc 12366  df-hash 12391  df-shft 12985  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-limsup 13379  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-prod 13798  df-ef 13888  df-e 13889  df-sin 13890  df-cos 13891  df-tan 13892  df-pi 13893  df-dvds 14074  df-gcd 14232  df-prm 14305  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-rest 14915  df-topn 14916  df-0g 14934  df-gsum 14935  df-topgen 14936  df-pt 14937  df-prds 14940  df-xrs 14994  df-qtop 14999  df-imas 15000  df-xps 15002  df-mre 15078  df-mrc 15079  df-acs 15081  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-submnd 16169  df-mulg 16262  df-cntz 16557  df-cmn 17002  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-fbas 18614  df-fg 18615  df-cnfld 18619  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-topsp 19573  df-cld 19690  df-ntr 19691  df-cls 19692  df-nei 19769  df-lp 19807  df-perf 19808  df-cn 19898  df-cnp 19899  df-haus 19986  df-cmp 20057  df-tx 20232  df-hmeo 20425  df-fil 20516  df-fm 20608  df-flim 20609  df-flf 20610  df-xms 20992  df-ms 20993  df-tms 20994  df-cncf 21551  df-ovol 22045  df-vol 22046  df-mbf 22197  df-itg1 22198  df-itg2 22199  df-ibl 22200  df-itg 22201  df-0p 22246  df-limc 22439  df-dv 22440  df-dvn 22441  df-ply 22754  df-coe 22756  df-dgr 22757  df-log 23113  df-cxp 23114
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