Theorem etransclem48 38031

Description: _e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime p is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem48.q	|- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
etransclem48.qe0	|- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
etransclem48.a	|- A = (coeff ` Q )
etransclem48.a0	|- ( ph -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
etransclem48.m	|- M = (deg ` Q )
etransclem48.c	|- C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
etransclem48.s	|- S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
etransclem48.i	|- I = inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < )
etransclem48.t	|- T = sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
etransclem48	|- ( ph -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   A, n, j   C, i, n   i, I, n   j, M, k   n, M   Q, j   S, i   T, j, k   ph, i, n   ph, j, k

Allowed substitution hints:   A( i)   C( j, k)   Q( i, k, n)   S( j, k, n)   T( i, n)   I( j, k)   M( i)

Proof of Theorem etransclem48

Dummy variables x y z e p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem48.q	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
2	1	eldifad 3391	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. (Poly ` ZZ ) )
3		0zd 10900	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		etransclem48.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (coeff ` Q )
5	4	coef2 23127	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. (Poly ` ZZ ) /\ 0 e. ZZ ) -> A : NN0 --> ZZ )
6	2, 3, 5	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A : NN0 --> ZZ )
7		0nn0 10835	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
9	6, 8	ffvelrnd 5982	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. ZZ )
10		zabscl 13320	. . . . . . 7 |- ( ( A ` 0 ) e. ZZ -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ )
12		etransclem48.m	. . . . . . . . 9 |- M = (deg ` Q )
13		dgrcl 23129	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. (Poly ` ZZ ) -> (deg ` Q ) e. NN0 )
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (deg ` Q ) e. NN0 )
15	12, 14	syl5eqel 2510	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
16	15	faccld 37430	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
17	16	nnzd 10990	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. ZZ )
18		ssrab2 3489	. . . . . . . 8 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ NN0
19		nn0ssz 10909	. . . . . . . 8 |- NN0 C_ ZZ
20	18, 19	sstri 3416	. . . . . . 7 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ZZ
21		etransclem48.i	. . . . . . . 8 |- I = inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < )
22		nn0uz 11144	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
23	18, 22	sseqtri 3439	. . . . . . . . 9 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ( ZZ>= ` 0 )
24		1rp 11257	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
25		nfv 1755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ph
26		nfmpt1 4456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> C )
27		nfmpt1 4456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
28		etransclem48.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
29		nfmpt1 4456	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
30	28, 29	nfcxfr 2567	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n S
31		nn0ex 10826	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 e. _V
32	31	mptex 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> C ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> C ) e. _V )
34		etransclem48.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
35		fzfid 12136	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
36	6	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> ZZ )
37		elfznn0 11838	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
38	37	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
39	36, 38	ffvelrnd 5982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. ZZ )
40	39	zcnd 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
41		ere 14086	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _e e. RR
42	41	recni 9606	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- _e e. CC
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> _e e. CC )
44		elfzelz 11751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
45	44	zcnd 10992	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. CC )
46	45	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. CC )
47	43, 46	cxpcld 23595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
48	40, 47	mulcld 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) e. CC )
49	48	abscld 13441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. RR )
50	49	recnd 9620	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. CC )
51	15	nn0cnd 10878	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
52		peano2nn0 10861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
53	15, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 12366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
55	51, 54	mulcld 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
56	55	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
57	50, 56	mulcld 9614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
58	35, 57	fsumcl 13742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
59	34, 58	syl5eqel 2510	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
60		eqidd 2429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( n e. NN0 |-> C ) = ( n e. NN0 |-> C ) )
61		eqidd 2429	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ n = i ) -> C = C )
62		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
63	59	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> C e. CC )
64	60, 61, 62, 63	fvmptd 5914	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` i ) = C )
65	22, 3, 33, 59, 64	climconst 13550	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> C ) ~~> C )
66	31	mptex 6095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
67	28, 66	eqeltri 2502	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S e. _V
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. _V )
69		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
70	69	expfac 37621	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ~~> 0 )
71	54, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ~~> 0 )
72		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
73	59	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. CC )
74		eqid 2428	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 |-> C ) = ( n e. NN0 |-> C )
75	74	fvmpt2 5917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) = C )
76	72, 73, 75	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) = C )
77	76, 73	eqeltrd 2506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) e. CC )
78		ovex 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. _V
79	69	fvmpt2 5917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
80	78, 79	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
81	80	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
82	54	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
83	82, 72	expcld 12366	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) e. CC )
84	72	faccld 37430	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) e. NN )
85	84	nncnd 10576	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) e. CC )
86	84	nnne0d 10605	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) =/= 0 )
87	83, 85, 86	divcld 10334	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. CC )
88	81, 87	eqeltrd 2506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) e. CC )
89		ovex 6277	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
90	28	fvmpt2 5917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V ) -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
91	89, 90	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
92	91	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
93	76, 81	oveq12d 6267	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
94	92, 93	eqtr4d 2465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) )
95	25, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94	climmulf 37565	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S ~~> ( C x. 0 ) )
96	59	mul01d 9783	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C x. 0 ) = 0 )
97	95, 96	breqtrd 4391	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S ~~> 0 )
98		eqidd 2429	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( S ` n ) )
99	77, 88	mulcld 9614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) e. CC )
100	94, 99	eqeltrd 2506	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) e. CC )
101	30, 22, 3, 68, 98, 100	clim0cf 37618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e ) )
102	97, 101	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e )
103		breq2 4370	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = 1 -> ( ( abs ` ( S ` n ) ) < e <-> ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
104	103	rexralbidv 2886	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = 1 -> ( E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e <-> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
105	104	rspcva 3123	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e ) -> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
106	24, 102, 105	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
107		rabn0 3725	. . . . . . . . . 10 |- ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) <-> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
108	106, 107	sylibr 215	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) )
109		infssuzcl 11196	. . . . . . . . 9 |- ( ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) ) -> inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < ) e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
110	23, 108, 109	sylancr 667	. . . . . . . 8 |- ( ph -> inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < ) e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
111	21, 110	syl5eqel 2510	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
112	20, 111	sseldi 3405	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ZZ )
113		tpssi 4109	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` M ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ ZZ )
114	11, 17, 112, 113	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ ZZ )
115		etransclem48.t	. . . . . 6 |- T = sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < )
116		xrltso 11391	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> < Or RR* )
118		tpfi 7800	. . . . . . . 8 |- { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin )
120	11	tpnzd 4065	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } =/= (/) )
121		zssre 10895	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
122		ressxr 9635	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR*
123	121, 122	sstri 3416	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR*
124	114, 123	syl6ss 3419	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* )
125		fisupcl 7938	. . . . . . 7 |- ( ( < Or RR* /\ ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin /\ { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } =/= (/) /\ { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* ) ) -> sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
126	117, 119, 120, 124, 125	syl13anc 1266	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
127	115, 126	syl5eqel 2510	. . . . 5 |- ( ph -> T e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
128	114, 127	sseldd 3408	. . . 4 |- ( ph -> T e. ZZ )
129		0red 9595	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
130	16	nnred 10575	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. RR )
131	128	zred 10991	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
132	16	nngt0d 10604	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( ! ` M ) )
133		fvex 5835	. . . . . . . 8 |- ( ! ` M ) e. _V
134	133	tpid2 4057	. . . . . . 7 |- ( ! ` M ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I }
135		supxrub 11561	. . . . . . 7 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ ( ! ` M ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> ( ! ` M ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
136	124, 134, 135	sylancl 666	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` M ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
137	136, 115	syl6breqr 4407	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) <_ T )
138	129, 130, 131, 132, 137	ltletrd 9746	. . . 4 |- ( ph -> 0 < T )
139		elnnz 10898	. . . 4 |- ( T e. NN <-> ( T e. ZZ /\ 0 < T ) )
140	128, 138, 139	sylanbrc 668	. . 3 |- ( ph -> T e. NN )
141		prmunb 14801	. . 3 |- ( T e. NN -> E. p e. Prime T < p )
142	140, 141	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. p e. Prime T < p )
143	1	3ad2ant1 1026	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
144		etransclem48.qe0	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
145	144	3ad2ant1 1026	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( Q ` _e ) = 0 )
146		etransclem48.a0	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
147	146	3ad2ant1 1026	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
148		simp2 1006	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. Prime )
149	9	zcnd 10992	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. CC )
150	149	3ad2ant1 1026	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
151	150	abscld 13441	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. RR )
152	131	3ad2ant1 1026	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> T e. RR )
153		prmz 14569	. . . . . . 7 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
154	153	zred 10991	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
155	154	3ad2ant2 1027	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. RR )
156	124	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* )
157		fvex 5835	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. _V
158	157	tpid1 4056	. . . . . . . 8 |- ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I }
159		supxrub 11561	. . . . . . . 8 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
160	156, 158, 159	sylancl 666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
161	160, 115	syl6breqr 4407	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ T )
162	161	3adant3 1025	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ T )
163		simp3 1007	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> T < p )
164	151, 152, 155, 162, 163	lelttrd 9744	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) < p )
165	130	3ad2ant1 1026	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) e. RR )
166	137	3ad2ant1 1026	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) <_ T )
167	165, 152, 155, 166, 163	lelttrd 9744	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) < p )
168	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) )
169	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
170		oveq2 6257	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) )
171		fveq2 5825	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( p - 1 ) ) )
172	170, 171	oveq12d 6267	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) )
173	169, 172	oveq12d 6267	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
174	173	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ n = ( p - 1 ) ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
175		prmnn 14568	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
176		nnm1nn0 10862	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. NN -> ( p - 1 ) e. NN0 )
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> ( p - 1 ) e. NN0 )
178	177	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) e. NN0 )
179	58	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
180	54	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
181	180, 178	expcld 12366	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) e. CC )
182	177	faccld 37430	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. NN )
183	182	nncnd 10576	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. CC )
184	183	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. CC )
185	182	nnne0d 10605	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) =/= 0 )
186	185	adantl 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) =/= 0 )
187	181, 184, 186	divcld 10334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) e. CC )
188	179, 187	mulcld 9614	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. CC )
189	168, 174, 178, 188	fvmptd 5914	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
190	189	eqcomd 2434	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
191	190	3adant3 1025	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
192	112	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. ZZ )
193		1zzd 10919	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> 1 e. ZZ )
194	153, 193	zsubcld 10996	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> ( p - 1 ) e. ZZ )
195	194	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( p - 1 ) e. ZZ )
196	192	zred 10991	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. RR )
197		tpid3g 4058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. ZZ -> I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
198	112, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
199		supxrub 11561	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> I <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
200	124, 198, 199	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
201	200, 115	syl6breqr 4407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I <_ T )
202	201	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I <_ T )
203	196, 152, 155, 202, 163	lelttrd 9744	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I < p )
204	153	3ad2ant2 1027	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. ZZ )
205		zltlem1 10940	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( I < p <-> I <_ ( p - 1 ) ) )
206	192, 204, 205	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( I < p <-> I <_ ( p - 1 ) ) )
207	203, 206	mpbid 213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I <_ ( p - 1 ) )
208		eluz2 11116	. . . . . . . . 9 |- ( ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) <-> ( I e. ZZ /\ ( p - 1 ) e. ZZ /\ I <_ ( p - 1 ) ) )
209	192, 195, 207, 208	syl3anbrc 1189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
210	111	3ad2ant1 1026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
211		fveq2 5825	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` I ) )
212	211	raleqdv 2970	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> ( A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 <-> A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
213	212	elrab 3171	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } <-> ( I e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
214	210, 213	sylib 199	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( I e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
215	214	simprd 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
216		nfcv 2569	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n abs
217		nfcv 2569	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( p - 1 )
218	30, 217	nffv 5832	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( S ` ( p - 1 ) )
219	216, 218	nffv 5832	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) )
220		nfcv 2569	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n <
221		nfcv 2569	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n 1
222	219, 220, 221	nfbr 4411	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1
223		fveq2 5825	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( S ` n ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
224	223	fveq2d 5829	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( abs ` ( S ` n ) ) = ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) )
225	224	breq1d 4376	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 <-> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 ) )
226	222, 225	rspc 3119	. . . . . . . 8 |- ( ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 -> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 ) )
227	209, 215, 226	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 )
228	172	oveq2d 6265	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
229	228	adantl 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ n = ( p - 1 ) ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
230		ovex 6277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. _V
231	230	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. _V )
232	168, 229, 178, 231	fvmptd 5914	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
233	15	nn0red 10877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. RR )
234	233, 53	reexpcld 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
235	233, 234	remulcld 9622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
236	235	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
237	49, 236	remulcld 9622	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
238	35, 237	fsumrecl 13743	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
239	34, 238	syl5eqel 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
240	239	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> C e. RR )
241	234	adantr 466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
242	241, 178	reexpcld 12383	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) e. RR )
243	182	nnred 10575	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. RR )
244	243	adantl 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. RR )
245	242, 244, 186	redivcld 10386	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) e. RR )
246	240, 245	remulcld 9622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. RR )
247	232, 246	eqeltrd 2506	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) e. RR )
248	247	3adant3 1025	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) e. RR )
249		1red 9609	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> 1 e. RR )
250	248, 249	absltd 13435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( S ` ( p - 1 ) ) /\ ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 ) ) )
251	227, 250	mpbid 213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( -u 1 < ( S ` ( p - 1 ) ) /\ ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 ) )
252	251	simprd 464	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 )
253	191, 252	eqbrtrd 4387	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) < 1 )
254		etransclem6 37988	. . . 4 |- ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ p ) ) )
255		eqid 2428	. . . 4 |- sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x )
256		eqid 2428	. . . 4 |- ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) )
257	143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256	etransclem47 38029	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )
258	257	rexlimdv3a 2858	. 2 |- ( ph -> ( E. p e. Prime T < p -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) ) )
259	142, 258	mpd 15	1 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2599   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 3022   \ cdif 3376   C_ wss 3379   (/)c0 3704   {csn 3941   {ctp 3945   class class class wbr 4366   |-> cmpt 4425   Or wor 4716   -->wf 5540   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   supcsup 7907  infcinf 7908   CCcc 9488   RRcr 9489   0cc0 9490   1c1 9491   + caddc 9493   x. cmul 9495   RR*cxr 9625   < clt 9626   <_ cle 9627   - cmin 9811   -ucneg 9812   / cdiv 10220   NNcn 10560   NN0cn0 10820   ZZcz 10888   ZZ>=cuz 11110   RR+crp 11253   (,)cioo 11586   ...cfz 11735   ^cexp 12222   !cfa 12409   abscabs 13241   ~~> cli 13491   sum_csu 13695   prod_cprod 13902   _eceu 14058   Primecprime 14565   S.citg 22518   0pc0p 22569  Polycply 23080  coeffccoe 23082  degcdgr 23083   ^c ccxp 23447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cc 8816  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-iin 4245  df-disj 4338  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-of 6489  df-ofr 6490  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-supp 6870  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-2o 7138  df-oadd 7141  df-omul 7142  df-er 7318  df-map 7429  df-pm 7430  df-ixp 7478  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-fsupp 7837  df-fi 7878  df-sup 7909  df-inf 7910  df-oi 7978  df-card 8325  df-acn 8328  df-cda 8549  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-ioo 11590  df-ioc 11591  df-ico 11592  df-icc 11593  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-fl 11978  df-mod 12047  df-seq 12164  df-exp 12223  df-fac 12410  df-bc 12438  df-hash 12466  df-shft 13074  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-limsup 13469  df-clim 13495  df-rlim 13496  df-sum 13696  df-prod 13903  df-ef 14064  df-e 14065  df-sin 14066  df-cos 14067  df-tan 14068  df-pi 14069  df-dvds 14249  df-gcd 14412  df-prm 14566  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-starv 15148  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-unif 15156  df-hom 15157  df-cco 15158  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-gsum 15284  df-topgen 15285  df-pt 15286  df-prds 15289  df-xrs 15343  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-xps 15353  df-mre 15435  df-mrc 15436  df-acs 15438  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-submnd 16526  df-mulg 16619  df-cntz 16914  df-cmn 17375  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-met 18907  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-fbas 18910  df-fg 18911  df-cnfld 18914  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cld 19976  df-ntr 19977  df-cls 19978  df-nei 20056  df-lp 20094  df-perf 20095  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-haus 20273  df-cmp 20344  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-fil 20803  df-fm 20895  df-flim 20896  df-flf 20897  df-xms 21277  df-ms 21278  df-tms 21279  df-cncf 21852  df-ovol 22358  df-vol 22360  df-mbf 22519  df-itg1 22520  df-itg2 22521  df-ibl 22522  df-itg 22523  df-0p 22570  df-limc 22763  df-dv 22764  df-dvn 22765  df-ply 23084  df-coe 23086  df-dgr 23087  df-log 23448  df-cxp 23449

This theorem is referenced by:  etransc  38032