Theorem etransclem48 38186

Description: _e is transcendental. Section *5 of [Juillerat] p. 11 can be used as a reference for this proof. In this lemma, a large enough prime p is chosen: it will be used by subsequent lemmas. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.) (Revised by AV, 28-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem48.q	|- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
etransclem48.qe0	|- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
etransclem48.a	|- A = (coeff ` Q )
etransclem48.a0	|- ( ph -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
etransclem48.m	|- M = (deg ` Q )
etransclem48.c	|- C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
etransclem48.s	|- S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
etransclem48.i	|- I = inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < )
etransclem48.t	|- T = sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
etransclem48	|- ( ph -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )

Distinct variable groups:   A, j, k   A, n, j   C, i, n   i, I, n   j, M, k   n, M   Q, j   S, i   T, j, k   ph, i, n   ph, j, k

Allowed substitution hints:   A( i)   C( j, k)   Q( i, k, n)   S( j, k, n)   T( i, n)   I( j, k)   M( i)

Proof of Theorem etransclem48

Dummy variables x y z e p are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem48.q	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
2	1	eldifad 3428	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Q e. (Poly ` ZZ ) )
3		0zd 10978	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
4		etransclem48.a	. . . . . . . . . 10 |- A = (coeff ` Q )
5	4	coef2 23234	. . . . . . . . 9 |- ( ( Q e. (Poly ` ZZ ) /\ 0 e. ZZ ) -> A : NN0 --> ZZ )
6	2, 3, 5	syl2anc 671	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A : NN0 --> ZZ )
7		0nn0 10913	. . . . . . . . 9 |- 0 e. NN0
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 0 e. NN0 )
9	6, 8	ffvelrnd 6046	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. ZZ )
10		zabscl 13425	. . . . . . 7 |- ( ( A ` 0 ) e. ZZ -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ )
11	9, 10	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ )
12		etransclem48.m	. . . . . . . . 9 |- M = (deg ` Q )
13		dgrcl 23236	. . . . . . . . . 10 |- ( Q e. (Poly ` ZZ ) -> (deg ` Q ) e. NN0 )
14	2, 13	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> (deg ` Q ) e. NN0 )
15	12, 14	syl5eqel 2544	. . . . . . . 8 |- ( ph -> M e. NN0 )
16	15	faccld 37571	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. NN )
17	16	nnzd 11068	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. ZZ )
18		ssrab2 3526	. . . . . . . 8 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ NN0
19		nn0ssz 10987	. . . . . . . 8 |- NN0 C_ ZZ
20	18, 19	sstri 3453	. . . . . . 7 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ZZ
21		etransclem48.i	. . . . . . . 8 |- I = inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < )
22		nn0uz 11222	. . . . . . . . . 10 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
23	18, 22	sseqtri 3476	. . . . . . . . 9 |- { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ( ZZ>= ` 0 )
24		1rp 11335	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. RR+
25		nfv 1772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/ n ph
26		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> C )
27		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
28		etransclem48.s	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
29		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ n ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
30	28, 29	nfcxfr 2601	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ n S
31		nn0ex 10904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- NN0 e. _V
32	31	mptex 6161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> C ) e. _V
33	32	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> C ) e. _V )
34		etransclem48.c	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) )
35		fzfid 12218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( 0 ... M ) e. Fin )
36	6	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> A : NN0 --> ZZ )
37		elfznn0 11916	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. NN0 )
38	37	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. NN0 )
39	36, 38	ffvelrnd 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. ZZ )
40	39	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( A ` j ) e. CC )
41		ere 14192	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- _e e. RR
42	41	recni 9681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- _e e. CC
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> _e e. CC )
44		elfzelz 11829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. ZZ )
45	44	zcnd 11070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( j e. ( 0 ... M ) -> j e. CC )
46	45	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> j e. CC )
47	43, 46	cxpcld 23702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( _e ^c j ) e. CC )
48	40, 47	mulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) e. CC )
49	48	abscld 13547	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. RR )
50	49	recnd 9695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) e. CC )
51	15	nn0cnd 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> M e. CC )
52		peano2nn0 10939	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( M e. NN0 -> ( M + 1 ) e. NN0 )
53	15, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( M + 1 ) e. NN0 )
54	51, 53	expcld 12448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
55	51, 54	mulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
56	55	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. CC )
57	50, 56	mulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
58	35, 57	fsumcl 13848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
59	34, 58	syl5eqel 2544	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> C e. CC )
60		eqidd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( n e. NN0 |-> C ) = ( n e. NN0 |-> C ) )
61		eqidd 2463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ i e. NN0 ) /\ n = i ) -> C = C )
62		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> i e. NN0 )
63	59	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> C e. CC )
64	60, 61, 62, 63	fvmptd 5977	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ i e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` i ) = C )
65	22, 3, 33, 59, 64	climconst 13656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> C ) ~~> C )
66	31	mptex 6161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) e. _V
67	28, 66	eqeltri 2536	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- S e. _V
68	67	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> S e. _V )
69		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
70	69	expfac 37776	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ~~> 0 )
71	54, 70	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ~~> 0 )
72		simpr 467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> n e. NN0 )
73	59	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> C e. CC )
74		eqid 2462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n e. NN0 |-> C ) = ( n e. NN0 |-> C )
75	74	fvmpt2 5980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( n e. NN0 /\ C e. CC ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) = C )
76	72, 73, 75	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) = C )
77	76, 73	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) e. CC )
78		ovex 6343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. _V
79	69	fvmpt2 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
80	78, 79	mpan2 682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
81	80	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) )
82	54	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
83	82, 72	expcld 12448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) e. CC )
84	72	faccld 37571	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) e. NN )
85	84	nncnd 10653	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) e. CC )
86	84	nnne0d 10682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ! ` n ) =/= 0 )
87	83, 85, 86	divcld 10411	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) e. CC )
88	81, 87	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) e. CC )
89		ovex 6343	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V
90	28	fvmpt2 5980	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( n e. NN0 /\ ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) e. _V ) -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
91	89, 90	mpan2 682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN0 -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
92	91	adantl 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
93	76, 81	oveq12d 6333	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) )
94	92, 93	eqtr4d 2499	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) )
95	25, 26, 27, 30, 22, 3, 65, 68, 71, 77, 88, 94	climmulf 37720	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S ~~> ( C x. 0 ) )
96	59	mul01d 9858	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( C x. 0 ) = 0 )
97	95, 96	breqtrd 4441	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> S ~~> 0 )
98		eqidd 2463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) = ( S ` n ) )
99	77, 88	mulcld 9689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( ( ( n e. NN0 |-> C ) ` n ) x. ( ( n e. NN0 |-> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ` n ) ) e. CC )
100	94, 99	eqeltrd 2540	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN0 ) -> ( S ` n ) e. CC )
101	30, 22, 3, 68, 98, 100	clim0cf 37773	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( S ~~> 0 <-> A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e ) )
102	97, 101	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e )
103		breq2 4420	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( e = 1 -> ( ( abs ` ( S ` n ) ) < e <-> ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
104	103	rexralbidv 2921	. . . . . . . . . . . 12 |- ( e = 1 -> ( E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e <-> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
105	104	rspcva 3160	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1 e. RR+ /\ A. e e. RR+ E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < e ) -> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
106	24, 102, 105	sylancr 674	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
107		rabn0 3764	. . . . . . . . . 10 |- ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) <-> E. i e. NN0 A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
108	106, 107	sylibr 217	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) )
109		infssuzcl 11274	. . . . . . . . 9 |- ( ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } C_ ( ZZ>= ` 0 ) /\ { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } =/= (/) ) -> inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < ) e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
110	23, 108, 109	sylancr 674	. . . . . . . 8 |- ( ph -> inf ( { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } , RR , < ) e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
111	21, 110	syl5eqel 2544	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
112	20, 111	sseldi 3442	. . . . . 6 |- ( ph -> I e. ZZ )
113		tpssi 4151	. . . . . 6 |- ( ( ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. ZZ /\ ( ! ` M ) e. ZZ /\ I e. ZZ ) -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ ZZ )
114	11, 17, 112, 113	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ ZZ )
115		etransclem48.t	. . . . . 6 |- T = sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < )
116		xrltso 11469	. . . . . . . 8 |- < Or RR*
117	116	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> < Or RR* )
118		tpfi 7873	. . . . . . . 8 |- { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin
119	118	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin )
120	11	tpnzd 4107	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } =/= (/) )
121		zssre 10973	. . . . . . . . 9 |- ZZ C_ RR
122		ressxr 9710	. . . . . . . . 9 |- RR C_ RR*
123	121, 122	sstri 3453	. . . . . . . 8 |- ZZ C_ RR*
124	114, 123	syl6ss 3456	. . . . . . 7 |- ( ph -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* )
125		fisupcl 8011	. . . . . . 7 |- ( ( < Or RR* /\ ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } e. Fin /\ { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } =/= (/) /\ { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* ) ) -> sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
126	117, 119, 120, 124, 125	syl13anc 1278	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
127	115, 126	syl5eqel 2544	. . . . 5 |- ( ph -> T e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
128	114, 127	sseldd 3445	. . . 4 |- ( ph -> T e. ZZ )
129		0red 9670	. . . . 5 |- ( ph -> 0 e. RR )
130	16	nnred 10652	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) e. RR )
131	128	zred 11069	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
132	16	nngt0d 10681	. . . . 5 |- ( ph -> 0 < ( ! ` M ) )
133		fvex 5898	. . . . . . . 8 |- ( ! ` M ) e. _V
134	133	tpid2 4099	. . . . . . 7 |- ( ! ` M ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I }
135		supxrub 11639	. . . . . . 7 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ ( ! ` M ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> ( ! ` M ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
136	124, 134, 135	sylancl 673	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ! ` M ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
137	136, 115	syl6breqr 4457	. . . . 5 |- ( ph -> ( ! ` M ) <_ T )
138	129, 130, 131, 132, 137	ltletrd 9821	. . . 4 |- ( ph -> 0 < T )
139		elnnz 10976	. . . 4 |- ( T e. NN <-> ( T e. ZZ /\ 0 < T ) )
140	128, 138, 139	sylanbrc 675	. . 3 |- ( ph -> T e. NN )
141		prmunb 14907	. . 3 |- ( T e. NN -> E. p e. Prime T < p )
142	140, 141	syl 17	. 2 |- ( ph -> E. p e. Prime T < p )
143	1	3ad2ant1 1035	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> Q e. ( (Poly ` ZZ ) \ { 0p } ) )
144		etransclem48.qe0	. . . . 5 |- ( ph -> ( Q ` _e ) = 0 )
145	144	3ad2ant1 1035	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( Q ` _e ) = 0 )
146		etransclem48.a0	. . . . 5 |- ( ph -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
147	146	3ad2ant1 1035	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( A ` 0 ) =/= 0 )
148		simp2 1015	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. Prime )
149	9	zcnd 11070	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( A ` 0 ) e. CC )
150	149	3ad2ant1 1035	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( A ` 0 ) e. CC )
151	150	abscld 13547	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. RR )
152	131	3ad2ant1 1035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> T e. RR )
153		prmz 14675	. . . . . . 7 |- ( p e. Prime -> p e. ZZ )
154	153	zred 11069	. . . . . 6 |- ( p e. Prime -> p e. RR )
155	154	3ad2ant2 1036	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. RR )
156	124	adantr 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* )
157		fvex 5898	. . . . . . . . 9 |- ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. _V
158	157	tpid1 4098	. . . . . . . 8 |- ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I }
159		supxrub 11639	. . . . . . . 8 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ ( abs ` ( A ` 0 ) ) e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
160	156, 158, 159	sylancl 673	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
161	160, 115	syl6breqr 4457	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ T )
162	161	3adant3 1034	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) <_ T )
163		simp3 1016	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> T < p )
164	151, 152, 155, 162, 163	lelttrd 9819	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( A ` 0 ) ) < p )
165	130	3ad2ant1 1035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) e. RR )
166	137	3ad2ant1 1035	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) <_ T )
167	165, 152, 155, 166, 163	lelttrd 9819	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ! ` M ) < p )
168	28	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> S = ( n e. NN0 |-> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) ) )
169	34	a1i 11	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> C = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) )
170		oveq2 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) = ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) )
171		fveq2 5888	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ! ` n ) = ( ! ` ( p - 1 ) ) )
172	170, 171	oveq12d 6333	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) = ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) )
173	169, 172	oveq12d 6333	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
174	173	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ n = ( p - 1 ) ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
175		prmnn 14674	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> p e. NN )
176		nnm1nn0 10940	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. NN -> ( p - 1 ) e. NN0 )
177	175, 176	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( p e. Prime -> ( p - 1 ) e. NN0 )
178	177	adantl 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( p - 1 ) e. NN0 )
179	58	adantr 471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. CC )
180	54	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. CC )
181	180, 178	expcld 12448	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) e. CC )
182	177	faccld 37571	. . . . . . . . . . . 12 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. NN )
183	182	nncnd 10653	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. CC )
184	183	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. CC )
185	182	nnne0d 10682	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) =/= 0 )
186	185	adantl 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) =/= 0 )
187	181, 184, 186	divcld 10411	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) e. CC )
188	179, 187	mulcld 9689	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. CC )
189	168, 174, 178, 188	fvmptd 5977	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
190	189	eqcomd 2468	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
191	190	3adant3 1034	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
192	112	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. ZZ )
193		1zzd 10997	. . . . . . . . . . 11 |- ( p e. Prime -> 1 e. ZZ )
194	153, 193	zsubcld 11074	. . . . . . . . . 10 |- ( p e. Prime -> ( p - 1 ) e. ZZ )
195	194	3ad2ant2 1036	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( p - 1 ) e. ZZ )
196	192	zred 11069	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. RR )
197		tpid3g 4100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. ZZ -> I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
198	112, 197	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } )
199		supxrub 11639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } C_ RR* /\ I e. { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } ) -> I <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
200	124, 198, 199	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> I <_ sup ( { ( abs ` ( A ` 0 ) ) , ( ! ` M ) , I } , RR* , < ) )
201	200, 115	syl6breqr 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> I <_ T )
202	201	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I <_ T )
203	196, 152, 155, 202, 163	lelttrd 9819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I < p )
204	153	3ad2ant2 1036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> p e. ZZ )
205		zltlem1 11018	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. ZZ /\ p e. ZZ ) -> ( I < p <-> I <_ ( p - 1 ) ) )
206	192, 204, 205	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( I < p <-> I <_ ( p - 1 ) ) )
207	203, 206	mpbid 215	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I <_ ( p - 1 ) )
208		eluz2 11194	. . . . . . . . 9 |- ( ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) <-> ( I e. ZZ /\ ( p - 1 ) e. ZZ /\ I <_ ( p - 1 ) ) )
209	192, 195, 207, 208	syl3anbrc 1198	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) )
210	111	3ad2ant1 1035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } )
211		fveq2 5888	. . . . . . . . . . . 12 |- ( i = I -> ( ZZ>= ` i ) = ( ZZ>= ` I ) )
212	211	raleqdv 3005	. . . . . . . . . . 11 |- ( i = I -> ( A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 <-> A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
213	212	elrab 3208	. . . . . . . . . 10 |- ( I e. { i e. NN0 | A. n e. ( ZZ>= ` i ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 } <-> ( I e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
214	210, 213	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( I e. NN0 /\ A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 ) )
215	214	simprd 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 )
216		nfcv 2603	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n abs
217		nfcv 2603	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ n ( p - 1 )
218	30, 217	nffv 5895	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ n ( S ` ( p - 1 ) )
219	216, 218	nffv 5895	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) )
220		nfcv 2603	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n <
221		nfcv 2603	. . . . . . . . . 10 |- F/_ n 1
222	219, 220, 221	nfbr 4461	. . . . . . . . 9 |- F/ n ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1
223		fveq2 5888	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( S ` n ) = ( S ` ( p - 1 ) ) )
224	223	fveq2d 5892	. . . . . . . . . 10 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( abs ` ( S ` n ) ) = ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) )
225	224	breq1d 4426	. . . . . . . . 9 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 <-> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 ) )
226	222, 225	rspc 3156	. . . . . . . 8 |- ( ( p - 1 ) e. ( ZZ>= ` I ) -> ( A. n e. ( ZZ>= ` I ) ( abs ` ( S ` n ) ) < 1 -> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 ) )
227	209, 215, 226	sylc 62	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 )
228	172	oveq2d 6331	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = ( p - 1 ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
229	228	adantl 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ p e. Prime ) /\ n = ( p - 1 ) ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ n ) / ( ! ` n ) ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
230		ovex 6343	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. _V
231	230	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. _V )
232	168, 229, 178, 231	fvmptd 5977	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) = ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) )
233	15	nn0red 10955	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> M e. RR )
234	233, 53	reexpcld 12465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
235	233, 234	remulcld 9697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
236	235	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) e. RR )
237	49, 236	remulcld 9697	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ j e. ( 0 ... M ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
238	35, 237	fsumrecl 13849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) e. RR )
239	34, 238	syl5eqel 2544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> C e. RR )
240	239	adantr 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> C e. RR )
241	234	adantr 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( M ^ ( M + 1 ) ) e. RR )
242	241, 178	reexpcld 12465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) e. RR )
243	182	nnred 10652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( p e. Prime -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. RR )
244	243	adantl 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ! ` ( p - 1 ) ) e. RR )
245	242, 244, 186	redivcld 10463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) e. RR )
246	240, 245	remulcld 9697	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( C x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) e. RR )
247	232, 246	eqeltrd 2540	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ p e. Prime ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) e. RR )
248	247	3adant3 1034	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) e. RR )
249		1red 9684	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> 1 e. RR )
250	248, 249	absltd 13540	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( ( abs ` ( S ` ( p - 1 ) ) ) < 1 <-> ( -u 1 < ( S ` ( p - 1 ) ) /\ ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 ) ) )
251	227, 250	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( -u 1 < ( S ` ( p - 1 ) ) /\ ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 ) )
252	251	simprd 469	. . . . 5 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( S ` ( p - 1 ) ) < 1 )
253	191, 252	eqbrtrd 4437	. . . 4 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( abs ` ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) ) x. ( M x. ( M ^ ( M + 1 ) ) ) ) x. ( ( ( M ^ ( M + 1 ) ) ^ ( p - 1 ) ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) ) < 1 )
254		etransclem6 38143	. . . 4 |- ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) = ( x e. RR |-> ( ( x ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ j e. ( 1 ... M ) ( ( x - j ) ^ p ) ) )
255		eqid 2462	. . . 4 |- sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) = sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x )
256		eqid 2462	. . . 4 |- ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) ) = ( sum_ j e. ( 0 ... M ) ( ( ( A ` j ) x. ( _e ^c j ) ) x. S. ( 0 (,) j ) ( ( _e ^c -u x ) x. ( ( y e. RR |-> ( ( y ^ ( p - 1 ) ) x. prod_ z e. ( 1 ... M ) ( ( y - z ) ^ p ) ) ) ` x ) ) _d x ) / ( ! ` ( p - 1 ) ) )
257	143, 145, 4, 147, 12, 148, 164, 167, 253, 254, 255, 256	etransclem47 38184	. . 3 |- ( ( ph /\ p e. Prime /\ T < p ) -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )
258	257	rexlimdv3a 2893	. 2 |- ( ph -> ( E. p e. Prime T < p -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) ) )
259	142, 258	mpd 15	1 |- ( ph -> E. k e. ZZ ( k =/= 0 /\ ( abs ` k ) < 1 ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   A.wral 2749   E.wrex 2750   {crab 2753   _Vcvv 3057   \ cdif 3413   C_ wss 3416   (/)c0 3743   {csn 3980   {ctp 3984   class class class wbr 4416   |-> cmpt 4475   Or wor 4773   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   Fincfn 7595   supcsup 7980  infcinf 7981   CCcc 9563   RRcr 9564   0cc0 9565   1c1 9566   + caddc 9568   x. cmul 9570   RR*cxr 9700   < clt 9701   <_ cle 9702   - cmin 9886   -ucneg 9887   / cdiv 10297   NNcn 10637   NN0cn0 10898   ZZcz 10966   ZZ>=cuz 11188   RR+crp 11331   (,)cioo 11664   ...cfz 11813   ^cexp 12304   !cfa 12491   abscabs 13346   ~~> cli 13597   sum_csu 13801   prod_cprod 14008   _eceu 14164   Primecprime 14671   S.citg 22625   0pc0p 22676  Polycply 23187  coeffccoe 23189  degcdgr 23190   ^c ccxp 23554

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-inf2 8172  ax-cc 8891  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642  ax-pre-sup 9643  ax-addf 9644  ax-mulf 9645

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-fal 1461  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-disj 4388  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-of 6558  df-ofr 6559  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-supp 6942  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-omul 7213  df-er 7389  df-map 7500  df-pm 7501  df-ixp 7549  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-fsupp 7910  df-fi 7951  df-sup 7982  df-inf 7983  df-oi 8051  df-card 8399  df-acn 8402  df-cda 8624  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-div 10298  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-10 10704  df-n0 10899  df-z 10967  df-dec 11081  df-uz 11189  df-q 11294  df-rp 11332  df-xneg 11438  df-xadd 11439  df-xmul 11440  df-ioo 11668  df-ioc 11669  df-ico 11670  df-icc 11671  df-fz 11814  df-fzo 11947  df-fl 12060  df-mod 12129  df-seq 12246  df-exp 12305  df-fac 12492  df-bc 12520  df-hash 12548  df-shft 13179  df-cj 13211  df-re 13212  df-im 13213  df-sqrt 13347  df-abs 13348  df-limsup 13575  df-clim 13601  df-rlim 13602  df-sum 13802  df-prod 14009  df-ef 14170  df-e 14171  df-sin 14172  df-cos 14173  df-tan 14174  df-pi 14175  df-dvds 14355  df-gcd 14518  df-prm 14672  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-mulr 15253  df-starv 15254  df-sca 15255  df-vsca 15256  df-ip 15257  df-tset 15258  df-ple 15259  df-ds 15261  df-unif 15262  df-hom 15263  df-cco 15264  df-rest 15370  df-topn 15371  df-0g 15389  df-gsum 15390  df-topgen 15391  df-pt 15392  df-prds 15395  df-xrs 15449  df-qtop 15455  df-imas 15456  df-xps 15459  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-mulg 16725  df-cntz 17020  df-cmn 17481  df-psmet 19011  df-xmet 19012  df-met 19013  df-bl 19014  df-mopn 19015  df-fbas 19016  df-fg 19017  df-cnfld 19020  df-top 19970  df-bases 19971  df-topon 19972  df-topsp 19973  df-cld 20083  df-ntr 20084  df-cls 20085  df-nei 20163  df-lp 20201  df-perf 20202  df-cn 20292  df-cnp 20293  df-haus 20380  df-cmp 20451  df-tx 20626  df-hmeo 20819  df-fil 20910  df-fm 21002  df-flim 21003  df-flf 21004  df-xms 21384  df-ms 21385  df-tms 21386  df-cncf 21959  df-ovol 22465  df-vol 22467  df-mbf 22626  df-itg1 22627  df-itg2 22628  df-ibl 22629  df-itg 22630  df-0p 22677  df-limc 22870  df-dv 22871  df-dvn 22872  df-ply 23191  df-coe 23193  df-dgr 23194  df-log 23555  df-cxp 23556

This theorem is referenced by:  etransc  38187