MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fisupcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fisupcl 8258
Description: A nonempty finite set contains its supremum. (Contributed by Jeff Madsen, 9-May-2011.)
Assertion
Ref Expression
fisupcl ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem fisupcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 472 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑅 Or 𝐴)
21supval2 8244 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
3 simpr3 1062 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵𝐴)
4 breq2 4587 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑧𝑦𝑅𝑥))
54rspcev 3282 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐵𝑦𝑅𝑥) → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
65ex 449 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐵 → (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
76ralrimivw 2950 . . . . . . . 8 (𝑥𝐵 → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
87a1d 25 . . . . . . 7 (𝑥𝐵 → (∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) → ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
98anim2d 587 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
109rgen 2906 . . . . 5 𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1110a1i 11 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∀𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
12 soss 4977 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐵))
133, 1, 12sylc 63 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝑅 Or 𝐵)
14 simpr1 1060 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ∈ Fin)
15 simpr2 1061 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → 𝐵 ≠ ∅)
16 fisupg 8093 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐵𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1318 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
18 fisup2g 8257 . . . . . 6 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
19 ssrexv 3630 . . . . . 6 (𝐵𝐴 → (∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
203, 18, 19sylc 63 . . . . 5 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
211, 20supeu 8243 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
22 riotass2 6537 . . . 4 (((𝐵𝐴 ∧ ∀𝑥𝐵 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))) ∧ (∃𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ∧ ∃!𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
233, 11, 17, 21, 22syl22anc 1319 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
2413, 17supeu 8243 . . . 4 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
25 riotacl 6525 . . . 4 (∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
2624, 25syl 17 . . 3 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐵 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐵 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
2723, 26eqeltrrd 2689 . 2 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) ∈ 𝐵)
282, 27eqeltrd 2688 1 ((𝑅 Or 𝐴 ∧ (𝐵 ∈ Fin ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ 𝐵𝐴)) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wne 2780  wral 2896  wrex 2897  ∃!wreu 2898  wss 3540  c0 3874   class class class wbr 4583   Or wor 4958  crio 6510  Fincfn 7841  supcsup 8229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-om 6958  df-1o 7447  df-er 7629  df-en 7842  df-fin 7845  df-sup 8231
This theorem is referenced by:  supgtoreq  8259  fiinfcl  8290  supfirege  10886  fseqsupcl  12638  fsuppmapnn0fiublem  12651  isercolllem2  14244  fsumcvg3  14307  mertenslem2  14456  prdsmet  21985  prdsbl  22106  mdegldg  23630  mdegcl  23633  aannenlem2  23888  ssnnssfz  28937  oddpwdc  29743  erdszelem5  30431  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  totbndbnd  32758  prdsbnd  32762  rencldnfilem  36402  aomclem2  36643  fourierdlem25  39025  fourierdlem31  39031  fourierdlem37  39037  etransclem48  39175  hoicvr  39438  ssnn0ssfz  41920
  Copyright terms: Public domain W3C validator