Theorem fsumcl 14311

Description: Closure of a finite sum of complex numbers 𝐴(𝑘). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumcl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3587	. . 3 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
3		addcl 9897	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
4	3	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
5		fsumcl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
6		fsumcl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
7		0cnd 9912	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 14310	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813   + caddc 9818  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  14343  fsum0diag2  14357  fsummulc1  14359  fsumdivc  14360  fsumneg  14361  fsumsub  14362  fsum2mul  14363  fsumabs  14374  telfsumo  14375  fsumparts  14379  o1fsum  14386  cvgcmpce  14391  climfsum  14393  fsumiun  14394  binom1dif  14404  incexclem  14407  incexc  14408  isumsplit  14411  arisum2  14432  geoserg  14437  pwm1geoser  14439  mertenslem1  14455  mertens  14457  binomfallfaclem2  14610  bpolycl  14622  bpolysum  14623  bpolydiflem  14624  fsumkthpow  14626  fprodefsum  14664  eirrlem  14771  pwp1fsum  14952  pcfac  15441  sylow2a  17857  itg1addlem5  23273  itgcl  23356  dvmptfsum  23542  dvfsumabs  23590  dvfsumlem1  23593  plyf  23758  plymullem1  23774  coeeulem  23784  coemullem  23810  plycjlem  23836  taylpf  23924  mtest  23962  mtestbdd  23963  pserdvlem2  23986  abelthlem6  23994  abelthlem7  23996  advlogexp  24201  log2tlbnd  24472  birthdaylem2  24479  fsumharmonic  24538  lgamcvg2  24581  ftalem1  24599  ftalem5  24603  sgmf  24671  chtdif  24684  fsumdvdscom  24711  fsumdvdsmul  24721  logexprlim  24750  dchrsum2  24793  sumdchr2  24795  rpvmasumlem  24976  dchrisumlem1  24978  dchrisumlem2  24979  dchrisum  24981  dchrmusum2  24983  dchrvmasum2if  24986  dchrvmasumlem3  24988  dchrvmasumiflem1  24990  dchrvmasumiflem2  24991  rpvmasum2  25001  dchrisum0lem1b  25004  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  dchrisum0lem2  25007  dchrisum0lem3  25008  dchrmusumlem  25011  dchrvmasumlem  25012  mudivsum  25019  mulogsumlem  25020  mulogsum  25021  mulog2sumlem1  25023  mulog2sumlem2  25024  mulog2sumlem3  25025  vmalogdivsum  25028  logsqvma  25031  selberglem1  25034  selberglem2  25035  selberg2lem  25039  selberg2  25040  selberg3lem1  25046  pntrsumo1  25054  pntrsumbnd  25055  selbergr  25057  selberg4r  25059  pntrlog2bndlem2  25067  pntrlog2bndlem4  25069  pntrlog2bndlem5  25070  pntlemo  25096  ax5seglem6  25614  axlowdimlem16  25637  dipcl  26951  esumcvg  29475  subfacval2  30423  subfaclim  30424  fwddifnp1  31442  knoppndvlem11  31683  jm2.23  36581  fsumclf  38633  fsumsermpt  38646  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  dvnprodlem1  38836  dvnprodlem2  38837  stoweidlem26  38919  dirkertrigeqlem2  38992  dirkeritg  38995  fourierdlem73  39072  fourierdlem83  39082  elaa2lem  39126  etransclem23  39150  etransclem27  39154  etransclem31  39158  etransclem33  39160  etransclem39  39166  etransclem46  39173  etransclem47  39174  etransclem48  39175  pwdif  40039  altgsumbcALT  41924  nn0sumshdiglemA  42211  amgmlemALT  42358