Theorem pwm1geoser 14439

Description: The n-th power of a number decreased by 1 expressed by the finite geometric series 1 + 𝐴↑1 + 𝐴↑2 +... + 𝐴↑(𝑁 − 1). (Contributed by AV, 14-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
pwm1geoser.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
pwm1geoser.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
pwm1geoser	⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Proof of Theorem pwm1geoser

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1m1e0 10966	. . . 4 ⊢ (1 − 1) = 0
2		pwm1geoser.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	2	nn0zd 11356	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		1exp 12751	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (1↑𝑁) = 1)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (1↑𝑁) = 1)
6	5	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (1 − 1))
7		fzfid 12634	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
8		1cnd 9935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 1 ∈ ℂ)
9		elfznn0 12302	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
10	9	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11	8, 10	expcld 12870	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (1↑𝑘) ∈ ℂ)
12	7, 11	fsumcl 14311	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘) ∈ ℂ)
13	12	mul02d 10113	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)) = 0)
14	1, 6, 13	3eqtr4a 2670	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
15		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑁) = (1↑𝑁))
16	15	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((1↑𝑁) − 1))
17		oveq1 6556	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = (1 − 1))
18	17, 1	syl6eq 2660	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴 − 1) = 0)
19		oveq1 6556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝐴↑𝑘) = (1↑𝑘))
20	19	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 1 ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) = (1↑𝑘))
21	20	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 1 → ∀𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = (1↑𝑘))
22	21	sumeq2d 14280	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 1 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))
23	18, 22	oveq12d 6567	. . . 4 ⊢ (𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘)))
24	16, 23	eqeq12d 2625	. . 3 ⊢ (𝐴 = 1 → (((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)) ↔ ((1↑𝑁) − 1) = (0 · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(1↑𝑘))))
25	14, 24	syl5ibr 235	. 2 ⊢ (𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
26		pwm1geoser.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
27	26	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ∈ ℂ)
28		neqne 2790	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 = 1 → 𝐴 ≠ 1)
29	28	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝐴 ≠ 1)
30	2	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 𝑁 ∈ ℕ0)
31	27, 29, 30	geoser 14438	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)))
32		eqcom 2617	. . . . 5 ⊢ (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))
33		1cnd 9935	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ∈ ℂ)
34	26, 2	expcld 12870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
35	34	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)
36		nesym 2838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 ≠ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 = 1)
37	36	biimpri 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝐴 = 1 → 1 ≠ 𝐴)
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → 1 ≠ 𝐴)
39	33, 35, 33, 27, 38	div2subd 10730	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)))
40	39	eqeq1d 2612	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ (((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
41		peano2cnm 10226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℂ → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
42	34, 41	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
43	42	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ)
44		fzfid 12634	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (0...(𝑁 − 1)) ∈ Fin)
45	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
46	9	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
47	45, 46	expcld 12870	. . . . . . . 8 ⊢ (((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
48	44, 47	fsumcl 14311	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
49		peano2cnm 10226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
51		simpl 472	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ∈ ℂ)
52		1cnd 9935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 1 ∈ ℂ)
53	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → 𝐴 ≠ 1)
54	51, 52, 53	subne0d 10280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → (𝐴 − 1) ≠ 0)
55	50, 54	jca 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ¬ 𝐴 = 1) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
56	55	ex 449	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
57	26, 56	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝐴 = 1 → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)))
58	57	impcom 445	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0))
59		divmul2 10568	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴↑𝑁) − 1) ∈ ℂ ∧ Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ∈ ℂ ∧ ((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ (𝐴 − 1) ≠ 0)) → ((((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
60	43, 48, 58, 59	syl3anc 1318	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((((𝐴↑𝑁) − 1) / (𝐴 − 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
61	40, 60	bitrd 267	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
62	32, 61	syl5bb 271	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘) = ((1 − (𝐴↑𝑁)) / (1 − 𝐴)) ↔ ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
63	31, 62	mpbid 221	. . 3 ⊢ ((¬ 𝐴 = 1 ∧ 𝜑) → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))
64	63	ex 449	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 = 1 → (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘))))
65	25, 64	pm2.61i 175	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴↑𝑁) − 1) = ((𝐴 − 1) · Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 − 1))(𝐴↑𝑘)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   − cmin 10145   / cdiv 10563  ℕ₀cn0 11169  ℤcz 11254  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  lighneallem3  40062