Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumsermpt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumsermpt 38646
 Description: A finite sum expressed in terms of a partial sum of an infinite series. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumsermpt.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
fsumsermpt.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
fsumsermpt.a ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumsermpt.f 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
fsumsermpt.g 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))
Assertion
Ref Expression
fsumsermpt (𝜑𝐹 = 𝐺)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑍,𝑛   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑘)   𝐹(𝑘,𝑛)   𝐺(𝑘,𝑛)

Proof of Theorem fsumsermpt
Dummy variables 𝑗 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 12634 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀...𝑚) ∈ Fin)
2 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
3 elfzuz 12209 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
4 fsumsermpt.z . . . . . . . . 9 𝑍 = (ℤ𝑀)
53, 4syl6eleqr 2699 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑘𝑍)
65adantl 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑘𝑍)
7 fsumsermpt.a . . . . . . 7 ((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ)
82, 6, 7syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝐴 ∈ ℂ)
91, 8fsumcl 14311 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
1110ralrimiva 2949 . . 3 (𝜑 → ∀𝑚𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ)
12 fsumsermpt.f . . . . 5 𝐹 = (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴)
13 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑀...𝑛) = (𝑀...𝑚))
1413sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1514cbvmptv 4678 . . . . 5 (𝑛𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑛)𝐴) = (𝑚𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1612, 15eqtri 2632 . . . 4 𝐹 = (𝑚𝑍 ↦ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
1716fnmpt 5933 . . 3 (∀𝑚𝑍 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ → 𝐹 Fn 𝑍)
1811, 17syl 17 . 2 (𝜑𝐹 Fn 𝑍)
19 fsumsermpt.m . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
20 simpr 476 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗𝑍)
21 nfv 1830 . . . . . . . . 9 𝑘(𝜑𝑗𝑍)
22 nfcv 2751 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑗
2322nfcsb1 3514 . . . . . . . . . 10 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴
2423nfel1 2765 . . . . . . . . 9 𝑘𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ
2521, 24nfim 1813 . . . . . . . 8 𝑘((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
26 eleq1 2676 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘𝑍𝑗𝑍))
2726anbi2d 736 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → ((𝜑𝑘𝑍) ↔ (𝜑𝑗𝑍)))
28 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗𝐴 = 𝑗 / 𝑘𝐴)
2928eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ))
3027, 29imbi12d 333 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑗 → (((𝜑𝑘𝑍) → 𝐴 ∈ ℂ) ↔ ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)))
3125, 30, 7chvar 2250 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗𝑍) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
32 eqid 2610 . . . . . . . 8 (𝑘𝑍𝐴) = (𝑘𝑍𝐴)
3322, 23, 28, 32fvmptf 6209 . . . . . . 7 ((𝑗𝑍𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3420, 31, 33syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
3534, 31eqeltrd 2688 . . . . 5 ((𝜑𝑗𝑍) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) ∈ ℂ)
36 addcl 9897 . . . . . 6 ((𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
3736adantl 481 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑗 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑗 + 𝑥) ∈ ℂ)
384, 19, 35, 37seqf 12684 . . . 4 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)):𝑍⟶ℂ)
39 ffn 5958 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)):𝑍⟶ℂ → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍)
4038, 39syl 17 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍)
41 fsumsermpt.g . . . . 5 𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))
4241a1i 11 . . . 4 (𝜑𝐺 = seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)))
4342fneq1d 5895 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Fn 𝑍 ↔ seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴)) Fn 𝑍))
4440, 43mpbird 246 . 2 (𝜑𝐺 Fn 𝑍)
45 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚𝑍)
4616fvmpt2 6200 . . . . 5 ((𝑚𝑍 ∧ Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 ∈ ℂ) → (𝐹𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
4745, 10, 46syl2anc 691 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴)
48 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑗(𝑀...𝑚)
49 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑘(𝑀...𝑚)
50 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑗𝐴
5128, 48, 49, 50, 23cbvsum 14273 . . . . 5 Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴
5251a1i 11 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...𝑚)𝐴 = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴)
5347, 52eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴)
54 simpl 472 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝜑)
55 elfzuz 12209 . . . . . . . 8 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
5655, 4syl6eleqr 2699 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑚) → 𝑗𝑍)
5756adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗𝑍)
5854, 57, 34syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
5958adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → ((𝑘𝑍𝐴)‘𝑗) = 𝑗 / 𝑘𝐴)
60 id 22 . . . . . 6 (𝑚𝑍𝑚𝑍)
6160, 4syl6eleq 2698 . . . . 5 (𝑚𝑍𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6261adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑚𝑍) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
6354, 57, 31syl2anc 691 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
6463adantlr 747 . . . 4 (((𝜑𝑚𝑍) ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)) → 𝑗 / 𝑘𝐴 ∈ ℂ)
6559, 62, 64fsumser 14308 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → Σ𝑗 ∈ (𝑀...𝑚)𝑗 / 𝑘𝐴 = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚))
6641fveq1i 6104 . . . . 5 (𝐺𝑚) = (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚)
6766eqcomi 2619 . . . 4 (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚)
6867a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑚𝑍) → (seq𝑀( + , (𝑘𝑍𝐴))‘𝑚) = (𝐺𝑚))
6953, 65, 683eqtrd 2648 . 2 ((𝜑𝑚𝑍) → (𝐹𝑚) = (𝐺𝑚))
7018, 44, 69eqfnfvd 6222 1 (𝜑𝐹 = 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ⦋csb 3499   ↦ cmpt 4643   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813   + caddc 9818  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  ovolval2lem  39533
 Copyright terms: Public domain W3C validator