Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  binomfallfaclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem binomfallfaclem2 14610
 Description: Lemma for binomfallfac 14611. Inductive step. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
binomfallfaclem.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
binomfallfaclem.3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
binomfallfaclem.4 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Assertion
Ref Expression
binomfallfaclem2 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑘   𝑘,𝑁   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜓(𝑘)

Proof of Theorem binomfallfaclem2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 binomfallfaclem.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
2 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 bccl 12971 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
41, 2, 3syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
54nn0cnd 11230 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
6 binomfallfaclem.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
7 fznn0sub 12244 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℕ0)
8 fallfaccl 14586 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
96, 7, 8syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
10 binomfallfaclem.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
11 elfznn0 12302 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℕ0)
12 fallfaccl 14586 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
1310, 11, 12syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
149, 13mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
156, 10addcld 9938 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ)
161nn0cnd 11230 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
1715, 16subcld 10271 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
1817adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) ∈ ℂ)
195, 14, 18mulassd 9942 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))))
207nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑘) ∈ ℂ)
21 subcl 10159 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℂ) → (𝐴 − (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
226, 20, 21syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁𝑘)) ∈ ℂ)
2311nn0cnd 11230 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → 𝑘 ∈ ℂ)
24 subcl 10159 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℂ) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2510, 23, 24syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵𝑘) ∈ ℂ)
2614, 22, 25adddid 9943 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁𝑘)) + (𝐵𝑘))) = ((((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵𝑘))))
276adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2816adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑁 ∈ ℂ)
2927, 28subcld 10271 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
3023adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ ℂ)
3110adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
3229, 30, 31ppncand 10311 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴𝑁) + 𝑘) + (𝐵𝑘)) = ((𝐴𝑁) + 𝐵))
3327, 28, 30subsubd 10299 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 − (𝑁𝑘)) = ((𝐴𝑁) + 𝑘))
3433oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁𝑘)) + (𝐵𝑘)) = (((𝐴𝑁) + 𝑘) + (𝐵𝑘)))
3527, 31, 28addsubd 10292 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁) = ((𝐴𝑁) + 𝐵))
3632, 34, 353eqtr4d 2654 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 − (𝑁𝑘)) + (𝐵𝑘)) = ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))
3736oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 − (𝑁𝑘)) + (𝐵𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
389, 13, 22mul32d 10125 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) = (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
39 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
4028, 39, 30addsubd 10292 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁𝑘) + 1))
4140oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁𝑘) + 1)))
42 fallfacp1 14600 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))))
436, 7, 42syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁𝑘) + 1)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))))
4441, 43eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))))
4544oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
4638, 45eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
479, 13, 25mulassd 9942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵𝑘))))
48 fallfacp1 14600 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵𝑘)))
4910, 11, 48syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵𝑘)))
5049oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · ((𝐵 FallFac 𝑘) · (𝐵𝑘))))
5147, 50eqtr4d 2647 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵𝑘)) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))
5246, 51oveq12d 6567 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐴 − (𝑁𝑘))) + (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · (𝐵𝑘))) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
5326, 37, 523eqtr3d 2652 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
5453oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁))) = ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
551nn0zd 11356 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
56 uzid 11578 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
57 peano2uz 11617 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁))
58 fzss2 12252 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
5955, 56, 57, 584syl 19 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0...𝑁) ⊆ (0...(𝑁 + 1)))
6059sselda 3568 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)))
61 fznn0sub 12244 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0)
62 fallfaccl 14586 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ ((𝑁 + 1) − 𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
636, 61, 62syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
6460, 63syldan 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) ∈ ℂ)
6564, 13mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
66 peano2nn0 11210 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
6711, 66syl 17 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
68 fallfaccl 14586 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
6910, 67, 68syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
709, 69mulcld 9939 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) ∈ ℂ)
715, 65, 70adddid 9943 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · (((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) + ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
7219, 54, 713eqtrd 2648 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
7372sumeq2dv 14281 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
7473adantr 480 . 2 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
7515, 1fallfacp1d 14602 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
76 binomfallfaclem.4 . . . . 5 (𝜓 → ((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
7776oveq1d 6564 . . . 4 (𝜓 → (((𝐴 + 𝐵) FallFac 𝑁) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
7875, 77sylan9eq 2664 . . 3 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
79 fzfid 12634 . . . . 5 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
805, 14mulcld 9939 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
8179, 17, 80fsummulc1 14359 . . . 4 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
8281adantr 480 . . 3 ((𝜑𝜓) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
8378, 82eqtrd 2644 . 2 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) · ((𝐴 + 𝐵) − 𝑁)))
84 elfzelz 12213 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
85 bcpasc 12970 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑘 ∈ ℤ) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
861, 84, 85syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) = ((𝑁 + 1)C𝑘))
8786oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
881, 84, 3syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℕ0)
8988nn0cnd 11230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C𝑘) ∈ ℂ)
90 peano2zm 11297 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℤ → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
9184, 90syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → (𝑘 − 1) ∈ ℤ)
92 bccl 12971 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑘 − 1) ∈ ℤ) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
931, 91, 92syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℕ0)
9493nn0cnd 11230 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑘 − 1)) ∈ ℂ)
95 elfznn0 12302 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
9610, 95, 12syl2an 493 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac 𝑘) ∈ ℂ)
9763, 96mulcld 9939 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) ∈ ℂ)
9889, 94, 97adddird 9944 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁C𝑘) + (𝑁C(𝑘 − 1))) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
9987, 98eqtr3d 2646 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → (((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
10099sumeq2dv 14281 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
101 nn0uz 11598 . . . . . . . . 9 0 = (ℤ‘0)
1021, 101syl6eleq 2698 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
10389, 97mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
104 oveq2 6557 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝑁C𝑘) = (𝑁C(𝑁 + 1)))
105 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)))
106105oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))))
107 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝑁 + 1) → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))
108106, 107oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))
109104, 108oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑘 = (𝑁 + 1) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
110102, 103, 109fsump1 14329 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))))
111 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
1121, 111syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
113112nn0zd 11356 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1141nn0red 11229 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
115114ltp1d 10833 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 < (𝑁 + 1))
116115olcd 407 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1)))
117 bcval4 12956 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ ((𝑁 + 1) < 0 ∨ 𝑁 < (𝑁 + 1))) → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
1181, 113, 116, 117syl3anc 1318 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C(𝑁 + 1)) = 0)
119118oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))))
120112nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
121120subidd 10259 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1)) = 0)
122121oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) = (𝐴 FallFac 0))
123 0nn0 11184 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
124 fallfaccl 14586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
1256, 123, 124sylancl 693 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 FallFac 0) ∈ ℂ)
126122, 125eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
127 fallfaccl 14586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
12810, 112, 127syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
129126, 128mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))) ∈ ℂ)
130129mul02d 10113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
131119, 130eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1)))) = 0)
132131oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑁 + 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − (𝑁 + 1))) · (𝐵 FallFac (𝑁 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0))
13360, 103syldan 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
13479, 133fsumcl 14311 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
135134addid1d 10115 . . . . . . 7 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + 0) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
136110, 132, 1353eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
137112, 101syl6eleq 2698 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
13894, 97mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) ∈ ℂ)
139 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = (0 − 1))
140 df-neg 10148 . . . . . . . . . . 11 -1 = (0 − 1)
141139, 140syl6eqr 2662 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝑘 − 1) = -1)
142141oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑁C(𝑘 − 1)) = (𝑁C-1))
143 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 0 → ((𝑁 + 1) − 𝑘) = ((𝑁 + 1) − 0))
144143oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)))
145 oveq2 6557 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 0 → (𝐵 FallFac 𝑘) = (𝐵 FallFac 0))
146144, 145oveq12d 6567 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)))
147142, 146oveq12d 6567 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
148137, 138, 147fsum1p 14326 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
149 neg1z 11290 . . . . . . . . . . . 12 -1 ∈ ℤ
150 neg1lt0 11004 . . . . . . . . . . . . 13 -1 < 0
151150orci 404 . . . . . . . . . . . 12 (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)
152 bcval4 12956 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ -1 ∈ ℤ ∧ (-1 < 0 ∨ 𝑁 < -1)) → (𝑁C-1) = 0)
153149, 151, 152mp3an23 1408 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁C-1) = 0)
1541, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁C-1) = 0)
155154oveq1d 6564 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))))
156120subid1d 10260 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 0) = (𝑁 + 1))
157156oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) = (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)))
158 fallfaccl 14586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
1596, 112, 158syl2anc 691 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 FallFac (𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
160157, 159eqeltrd 2688 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) ∈ ℂ)
161 fallfaccl 14586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
16210, 123, 161sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 FallFac 0) ∈ ℂ)
163160, 162mulcld 9939 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0)) ∈ ℂ)
164163mul02d 10113 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (0 · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
165155, 164eqtrd 2644 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) = 0)
166 1zzd 11285 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
167 0zd 11266 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
1686, 10, 1binomfallfaclem1 14609 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) ∈ ℂ)
169 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁C𝑗) = (𝑁C(𝑘 − 1)))
170 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑁𝑗) = (𝑁 − (𝑘 − 1)))
171170oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) = (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))))
172 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝑗 + 1) = ((𝑘 − 1) + 1))
173172oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑘 − 1) → (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)) = (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))
174171, 173oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))))
175169, 174oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 = (𝑘 − 1) → ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
176166, 167, 55, 168, 175fsumshft 14354 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))))
17716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ ℂ)
178 elfzelz 12213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1)) → 𝑘 ∈ ℤ)
179178adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℤ)
180179zcnd 11359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ ℂ)
181 1cnd 9935 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
182177, 180, 181subsub3d 10301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝑁 − (𝑘 − 1)) = ((𝑁 + 1) − 𝑘))
183182oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) = (𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)))
184180, 181npcand 10275 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑘 − 1) + 1) = 𝑘)
185184oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)) = (𝐵 FallFac 𝑘))
186183, 185oveq12d 6567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1))) = ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))
187186oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))) → ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
188187sumeq2dv 14281 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac (𝑁 − (𝑘 − 1))) · (𝐵 FallFac ((𝑘 − 1) + 1)))) = Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
189176, 188eqtr2d 2645 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
190 oveq2 6557 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → (𝑁C𝑘) = (𝑁C𝑗))
191 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑁𝑘) = (𝑁𝑗))
192191oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) = (𝐴 FallFac (𝑁𝑗)))
193 oveq1 6556 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑗 → (𝑘 + 1) = (𝑗 + 1))
194193oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑗 → (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)) = (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))
195192, 194oveq12d 6567 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑗 → ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))) = ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
196190, 195oveq12d 6567 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑗 → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = ((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1)))))
197196cbvsumv 14274 . . . . . . . . 9 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) = Σ𝑗 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑗) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑗)) · (𝐵 FallFac (𝑗 + 1))))
198189, 197syl6eqr 2662 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
199165, 198oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑁C-1) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 0)) · (𝐵 FallFac 0))) + Σ𝑘 ∈ ((0 + 1)...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
2006, 10, 1binomfallfaclem1 14609 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
20179, 200fsumcl 14311 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))) ∈ ℂ)
202201addid2d 10116 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
203148, 199, 2023eqtrd 2648 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1)))))
204136, 203oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
205 fzfid 12634 . . . . . 6 (𝜑 → (0...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
206205, 103, 138fsumadd 14317 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = (Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))))
20779, 133, 200fsumadd 14317 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
208204, 206, 2073eqtr4d 2654 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C(𝑘 − 1)) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
209100, 208eqtrd 2644 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
210209adantr 480 . 2 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)(((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))) + ((𝑁C𝑘) · ((𝐴 FallFac (𝑁𝑘)) · (𝐵 FallFac (𝑘 + 1))))))
21174, 83, 2103eqtr4d 2654 1 ((𝜑𝜓) → ((𝐴 + 𝐵) FallFac (𝑁 + 1)) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑁 + 1))(((𝑁 + 1)C𝑘) · ((𝐴 FallFac ((𝑁 + 1) − 𝑘)) · (𝐵 FallFac 𝑘))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   < clt 9953   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  Ccbc 12951  Σcsu 14264   FallFac cfallfac 14574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-fac 12923  df-bc 12952  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-prod 14475  df-fallfac 14577 This theorem is referenced by:  binomfallfac  14611
 Copyright terms: Public domain W3C validator