Theorem fsumcl 13567

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3518	. . 3 |- CC C_ CC
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> CC C_ CC )
3		addcl 9591	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
4	3	adantl 466	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7		0cnd 9606	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 13566	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1819   C_ wss 3471  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   + caddc 9512   sum_csu 13520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  13597  fsum0diag2  13610  fsummulc1  13612  fsumdivc  13613  fsumneg  13614  fsumsub  13615  fsum2mul  13616  fsumabs  13627  telfsumo  13628  fsumparts  13632  o1fsum  13639  cvgcmpce  13644  climfsum  13646  fsumiun  13647  binom1dif  13657  incexclem  13660  incexc  13661  isumsplit  13664  arisum2  13684  geoserg  13689  mertenslem1  13705  mertens  13707  fprodefsum  13842  eirrlem  13949  pcfac  14430  sylow2a  16766  itg1addlem5  22233  itgcl  22316  dvmptfsum  22502  dvfsumabs  22550  dvfsumlem1  22553  plyf  22721  plymullem1  22737  coeeulem  22747  coemullem  22773  plycjlem  22799  taylpf  22887  mtest  22925  mtestbdd  22926  pserdvlem2  22949  abelthlem6  22957  abelthlem7  22959  advlogexp  23162  log2tlbnd  23402  birthdaylem2  23408  fsumharmonic  23467  ftalem1  23472  ftalem5  23476  sgmf  23545  chtdif  23558  fsumdvdscom  23587  fsumdvdsmul  23597  logexprlim  23626  dchrsum2  23669  sumdchr2  23671  rpvmasumlem  23798  dchrisumlem1  23800  dchrisumlem2  23801  dchrisum  23803  dchrmusum2  23805  dchrvmasum2if  23808  dchrvmasumlem3  23810  dchrvmasumiflem1  23812  dchrvmasumiflem2  23813  rpvmasum2  23823  dchrisum0lem1b  23826  dchrisum0lem1  23827  dchrisum0lem2a  23828  dchrisum0lem2  23829  dchrisum0lem3  23830  dchrmusumlem  23833  dchrvmasumlem  23834  mudivsum  23841  mulogsumlem  23842  mulogsum  23843  mulog2sumlem1  23845  mulog2sumlem2  23846  mulog2sumlem3  23847  vmalogdivsum  23850  logsqvma  23853  selberglem1  23856  selberglem2  23857  selberg2lem  23861  selberg2  23862  selberg3lem1  23868  pntrsumo1  23876  pntrsumbnd  23877  selbergr  23879  selberg4r  23881  pntrlog2bndlem2  23889  pntrlog2bndlem4  23891  pntrlog2bndlem5  23892  pntlemo  23918  ax5seglem6  24364  axlowdimlem16  24387  dipcl  25752  esumcvg  28258  lgamcvg2  28794  subfacval2  28828  subfaclim  28829  binomfallfaclem2  29380  bpolycl  30019  bpolysum  30020  bpolydiflem  30021  fsumkthpow  30023  jm2.23  31142  fsumclf  31770  sumnnodd  31839  dvnmul  31943  dvnprodlem1  31946  dvnprodlem2  31947  stoweidlem26  32011  dirkertrigeqlem2  32084  dirkeritg  32087  fourierdlem73  32165  fourierdlem83  32175  elaa2lem  32219  etransclem23  32243  etransclem27  32247  etransclem31  32251  etransclem33  32253  etransclem39  32259  etransclem46  32266  etransclem47  32267  etransclem48  32268  altgsumbcALT  33086