Theorem fsumcl 13504

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3516	. . 3 |- CC C_ CC
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> CC C_ CC )
3		addcl 9563	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
4	3	adantl 466	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7		0cnd 9578	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 13503	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1762   C_ wss 3469  (class class class)co 6275   Fincfn 7506   CCcc 9479   + caddc 9484   sum_csu 13457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  13534  fsum0diag2  13547  fsummulc1  13549  fsumdivc  13550  fsumneg  13551  fsumsub  13552  fsum2mul  13553  fsumabs  13564  telfsumo  13565  fsumparts  13569  o1fsum  13576  cvgcmpce  13581  climfsum  13583  fsumiun  13584  binom1dif  13597  incexclem  13600  incexc  13601  isumsplit  13604  arisum2  13624  geoserg  13629  mertenslem1  13645  mertens  13647  eirrlem  13787  pcfac  14266  sylow2a  16428  itg1addlem5  21835  itgcl  21918  dvmptfsum  22104  dvfsumabs  22152  dvfsumlem1  22155  plyf  22323  plymullem1  22339  coeeulem  22349  coemullem  22374  plycjlem  22400  taylpf  22488  mtest  22526  mtestbdd  22527  pserdvlem2  22550  abelthlem6  22558  abelthlem7  22560  advlogexp  22757  log2tlbnd  22997  birthdaylem2  23003  fsumharmonic  23062  ftalem1  23067  ftalem5  23071  sgmf  23140  chtdif  23153  fsumdvdscom  23182  fsumdvdsmul  23192  logexprlim  23221  dchrsum2  23264  sumdchr2  23266  rpvmasumlem  23393  dchrisumlem1  23395  dchrisumlem2  23396  dchrisum  23398  dchrmusum2  23400  dchrvmasum2if  23403  dchrvmasumlem3  23405  dchrvmasumiflem1  23407  dchrvmasumiflem2  23408  rpvmasum2  23418  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem1  23422  dchrisum0lem2a  23423  dchrisum0lem2  23424  dchrisum0lem3  23425  dchrmusumlem  23428  dchrvmasumlem  23429  mudivsum  23436  mulogsumlem  23437  mulogsum  23438  mulog2sumlem1  23440  mulog2sumlem2  23441  mulog2sumlem3  23442  vmalogdivsum  23445  logsqvma  23448  selberglem1  23451  selberglem2  23452  selberg2lem  23456  selberg2  23457  selberg3lem1  23463  pntrsumo1  23471  pntrsumbnd  23472  selbergr  23474  selberg4r  23476  pntrlog2bndlem2  23484  pntrlog2bndlem4  23486  pntrlog2bndlem5  23487  pntlemo  23513  ax5seglem6  23906  axlowdimlem16  23929  dipcl  25287  esumcvg  27718  lgamcvg2  28223  subfacval2  28257  subfaclim  28258  fprodefsum  28667  binomfallfaclem2  28725  bpolycl  29377  bpolysum  29378  bpolydiflem  29379  fsumkthpow  29381  jm2.23  30531  sumnnodd  31127  stoweidlem26  31281  dirkertrigeqlem2  31354  dirkeritg  31357  fourierdlem73  31435  fourierdlem83  31445  altgsumbcALT  31881