Theorem fsumcl 12482

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3327	. . 3 |- CC C_ CC
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> CC C_ CC )
3		addcl 9028	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
4	3	adantl 453	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7		0cn 9040	. . 3 |- 0 e. CC
8	7	a1i 11	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
9	2, 4, 5, 6, 8	fsumcllem 12481	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 359   e. wcel 1721   C_ wss 3280  (class class class)co 6040   Fincfn 7068   CCcc 8944   0cc0 8946   + caddc 8949   sum_csu 12434

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  12509  fsum0diag2  12521  fsummulc1  12523  fsumdivc  12524  fsumneg  12525  fsumsub  12526  fsum2mul  12527  fsumabs  12535  fsumtscopo  12536  fsumparts  12540  o1fsum  12547  cvgcmpce  12552  climfsum  12554  fsumiun  12555  binom1dif  12567  incexclem  12571  incexc  12572  isumsplit  12575  arisum2  12595  geoserg  12600  mertenslem1  12616  mertens  12618  eirrlem  12758  pcfac  13223  sylow2a  15208  itg1addlem5  19545  itgcl  19628  dvmptfsum  19812  dvfsumabs  19860  dvfsumlem1  19863  plyf  20070  plymullem1  20086  coeeulem  20096  coemullem  20121  plycjlem  20147  taylpf  20235  mtest  20273  mtestbdd  20274  pserdvlem2  20297  abelthlem6  20305  abelthlem7  20307  advlogexp  20499  log2tlbnd  20738  birthdaylem2  20744  fsumharmonic  20803  ftalem1  20808  ftalem5  20812  sgmf  20881  chtdif  20894  fsumdvdscom  20923  fsumdvdsmul  20933  logexprlim  20962  dchrsum2  21005  sumdchr2  21007  rpvmasumlem  21134  dchrisumlem1  21136  dchrisumlem2  21137  dchrisum  21139  dchrmusum2  21141  dchrvmasum2if  21144  dchrvmasumlem3  21146  dchrvmasumiflem1  21148  dchrvmasumiflem2  21149  rpvmasum2  21159  dchrisum0lem1b  21162  dchrisum0lem1  21163  dchrisum0lem2a  21164  dchrisum0lem2  21165  dchrisum0lem3  21166  dchrmusumlem  21169  dchrvmasumlem  21170  mudivsum  21177  mulogsumlem  21178  mulogsum  21179  mulog2sumlem1  21181  mulog2sumlem2  21182  mulog2sumlem3  21183  vmalogdivsum  21186  logsqvma  21189  selberglem1  21192  selberglem2  21193  selberg2lem  21197  selberg2  21198  selberg3lem1  21204  pntrsumo1  21212  pntrsumbnd  21213  selbergr  21215  selberg4r  21217  pntrlog2bndlem2  21225  pntrlog2bndlem4  21227  pntrlog2bndlem5  21228  pntlemo  21254  dipcl  22164  esumcvg  24429  lgamcvg2  24792  subfacval2  24826  subfaclim  24827  fprodefsum  25251  binomfallfaclem2  25307  ax5seglem6  25777  axlowdimlem16  25800  bpolycl  26002  bpolysum  26003  bpolydiflem  26004  fsumkthpow  26006  jm2.23  26957  stoweidlem26  27642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435