Theorem fsumcl 13847

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3462	. . 3 |- CC C_ CC
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> CC C_ CC )
3		addcl 9646	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
4	3	adantl 472	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7		0cnd 9661	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 13846	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 375   e. wcel 1897   C_ wss 3415  (class class class)co 6314   Fincfn 7594   CCcc 9562   + caddc 9567   sum_csu 13800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-oadd 7211  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-sup 7981  df-oi 8050  df-card 8398  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-rp 11331  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-sum 13801

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  13879  fsum0diag2  13892  fsummulc1  13894  fsumdivc  13895  fsumneg  13896  fsumsub  13897  fsum2mul  13898  fsumabs  13909  telfsumo  13910  fsumparts  13914  o1fsum  13921  cvgcmpce  13926  climfsum  13928  fsumiun  13929  binom1dif  13939  incexclem  13942  incexc  13943  isumsplit  13946  arisum2  13967  geoserg  13972  mertenslem1  13988  mertens  13990  binomfallfaclem2  14141  bpolycl  14153  bpolysum  14154  bpolydiflem  14155  fsumkthpow  14157  fprodefsum  14197  eirrlem  14304  pcfac  14892  sylow2a  17319  itg1addlem5  22706  itgcl  22789  dvmptfsum  22975  dvfsumabs  23023  dvfsumlem1  23026  plyf  23200  plymullem1  23216  coeeulem  23226  coemullem  23252  plycjlem  23278  taylpf  23369  mtest  23407  mtestbdd  23408  pserdvlem2  23431  abelthlem6  23439  abelthlem7  23441  advlogexp  23648  log2tlbnd  23919  birthdaylem2  23926  fsumharmonic  23985  lgamcvg2  24028  ftalem1  24045  ftalem5  24049  ftalem5OLD  24051  sgmf  24120  chtdif  24133  fsumdvdscom  24162  fsumdvdsmul  24172  logexprlim  24201  dchrsum2  24244  sumdchr2  24246  rpvmasumlem  24373  dchrisumlem1  24375  dchrisumlem2  24376  dchrisum  24378  dchrmusum2  24380  dchrvmasum2if  24383  dchrvmasumlem3  24385  dchrvmasumiflem1  24387  dchrvmasumiflem2  24388  rpvmasum2  24398  dchrisum0lem1b  24401  dchrisum0lem1  24402  dchrisum0lem2a  24403  dchrisum0lem2  24404  dchrisum0lem3  24405  dchrmusumlem  24408  dchrvmasumlem  24409  mudivsum  24416  mulogsumlem  24417  mulogsum  24418  mulog2sumlem1  24420  mulog2sumlem2  24421  mulog2sumlem3  24422  vmalogdivsum  24425  logsqvma  24428  selberglem1  24431  selberglem2  24432  selberg2lem  24436  selberg2  24437  selberg3lem1  24443  pntrsumo1  24451  pntrsumbnd  24452  selbergr  24454  selberg4r  24456  pntrlog2bndlem2  24464  pntrlog2bndlem4  24466  pntrlog2bndlem5  24467  pntlemo  24493  ax5seglem6  25012  axlowdimlem16  25035  dipcl  26399  esumcvg  28955  subfacval2  29958  subfaclim  29959  fwddifnp1  30980  jm2.23  35895  fsumclf  37682  sumnnodd  37747  dvnmul  37855  dvnprodlem1  37858  dvnprodlem2  37859  stoweidlem26  37923  dirkertrigeqlem2  37998  dirkeritg  38001  fourierdlem73  38080  fourierdlem83  38090  elaa2lem  38134  elaa2lemOLD  38135  etransclem23  38159  etransclem27  38163  etransclem31  38167  etransclem33  38169  etransclem39  38175  etransclem46  38182  etransclem47  38183  etransclem48OLD  38184  etransclem48  38185  altgsumbcALT  40406  nn0sumshdiglemA  40702