Theorem fsumcl 13742

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3426	. . 3 |- CC C_ CC
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> CC C_ CC )
3		addcl 9572	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
4	3	adantl 467	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7		0cnd 9587	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 13741	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 370   e. wcel 1872   C_ wss 3379  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   CCcc 9488   + caddc 9493   sum_csu 13695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-inf2 8099  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-se 4756  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-isom 5553  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-oi 7978  df-card 8325  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-rp 11254  df-fz 11736  df-fzo 11867  df-seq 12164  df-exp 12223  df-hash 12466  df-cj 13106  df-re 13107  df-im 13108  df-sqrt 13242  df-abs 13243  df-clim 13495  df-sum 13696

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  13774  fsum0diag2  13787  fsummulc1  13789  fsumdivc  13790  fsumneg  13791  fsumsub  13792  fsum2mul  13793  fsumabs  13804  telfsumo  13805  fsumparts  13809  o1fsum  13816  cvgcmpce  13821  climfsum  13823  fsumiun  13824  binom1dif  13834  incexclem  13837  incexc  13838  isumsplit  13841  arisum2  13862  geoserg  13867  mertenslem1  13883  mertens  13885  binomfallfaclem2  14036  bpolycl  14048  bpolysum  14049  bpolydiflem  14050  fsumkthpow  14052  fprodefsum  14092  eirrlem  14199  pcfac  14787  sylow2a  17214  itg1addlem5  22600  itgcl  22683  dvmptfsum  22869  dvfsumabs  22917  dvfsumlem1  22920  plyf  23094  plymullem1  23110  coeeulem  23120  coemullem  23146  plycjlem  23172  taylpf  23263  mtest  23301  mtestbdd  23302  pserdvlem2  23325  abelthlem6  23333  abelthlem7  23335  advlogexp  23542  log2tlbnd  23813  birthdaylem2  23820  fsumharmonic  23879  lgamcvg2  23922  ftalem1  23939  ftalem5  23943  ftalem5OLD  23945  sgmf  24014  chtdif  24027  fsumdvdscom  24056  fsumdvdsmul  24066  logexprlim  24095  dchrsum2  24138  sumdchr2  24140  rpvmasumlem  24267  dchrisumlem1  24269  dchrisumlem2  24270  dchrisum  24272  dchrmusum2  24274  dchrvmasum2if  24277  dchrvmasumlem3  24279  dchrvmasumiflem1  24281  dchrvmasumiflem2  24282  rpvmasum2  24292  dchrisum0lem1b  24295  dchrisum0lem1  24296  dchrisum0lem2a  24297  dchrisum0lem2  24298  dchrisum0lem3  24299  dchrmusumlem  24302  dchrvmasumlem  24303  mudivsum  24310  mulogsumlem  24311  mulogsum  24312  mulog2sumlem1  24314  mulog2sumlem2  24315  mulog2sumlem3  24316  vmalogdivsum  24319  logsqvma  24322  selberglem1  24325  selberglem2  24326  selberg2lem  24330  selberg2  24331  selberg3lem1  24337  pntrsumo1  24345  pntrsumbnd  24346  selbergr  24348  selberg4r  24350  pntrlog2bndlem2  24358  pntrlog2bndlem4  24360  pntrlog2bndlem5  24361  pntlemo  24387  ax5seglem6  24906  axlowdimlem16  24929  dipcl  26293  esumcvg  28859  subfacval2  29862  subfaclim  29863  fwddifnp1  30881  jm2.23  35764  fsumclf  37529  sumnnodd  37593  dvnmul  37701  dvnprodlem1  37704  dvnprodlem2  37705  stoweidlem26  37769  dirkertrigeqlem2  37844  dirkeritg  37847  fourierdlem73  37926  fourierdlem83  37936  elaa2lem  37980  elaa2lemOLD  37981  etransclem23  38005  etransclem27  38009  etransclem31  38013  etransclem33  38015  etransclem39  38021  etransclem46  38028  etransclem47  38029  etransclem48OLD  38030  etransclem48  38031  altgsumbcALT  39727  nn0sumshdiglemA  40023