Theorem fsumcl 13202

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3370	. . 3 |- CC C_ CC
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> CC C_ CC )
3		addcl 9356	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
4	3	adantl 466	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7		0cnd 9371	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 13201	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   C_ wss 3323  (class class class)co 6086   Fincfn 7302   CCcc 9272   + caddc 9277   sum_csu 13155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  13229  fsum0diag2  13242  fsummulc1  13244  fsumdivc  13245  fsumneg  13246  fsumsub  13247  fsum2mul  13248  fsumabs  13256  fsumtscopo  13257  fsumparts  13261  o1fsum  13268  cvgcmpce  13273  climfsum  13275  fsumiun  13276  binom1dif  13288  incexclem  13291  incexc  13292  isumsplit  13295  arisum2  13315  geoserg  13320  mertenslem1  13336  mertens  13338  eirrlem  13478  pcfac  13953  sylow2a  16109  itg1addlem5  21153  itgcl  21236  dvmptfsum  21422  dvfsumabs  21470  dvfsumlem1  21473  plyf  21641  plymullem1  21657  coeeulem  21667  coemullem  21692  plycjlem  21718  taylpf  21806  mtest  21844  mtestbdd  21845  pserdvlem2  21868  abelthlem6  21876  abelthlem7  21878  advlogexp  22075  log2tlbnd  22315  birthdaylem2  22321  fsumharmonic  22380  ftalem1  22385  ftalem5  22389  sgmf  22458  chtdif  22471  fsumdvdscom  22500  fsumdvdsmul  22510  logexprlim  22539  dchrsum2  22582  sumdchr2  22584  rpvmasumlem  22711  dchrisumlem1  22713  dchrisumlem2  22714  dchrisum  22716  dchrmusum2  22718  dchrvmasum2if  22721  dchrvmasumlem3  22723  dchrvmasumiflem1  22725  dchrvmasumiflem2  22726  rpvmasum2  22736  dchrisum0lem1b  22739  dchrisum0lem1  22740  dchrisum0lem2a  22741  dchrisum0lem2  22742  dchrisum0lem3  22743  dchrmusumlem  22746  dchrvmasumlem  22747  mudivsum  22754  mulogsumlem  22755  mulogsum  22756  mulog2sumlem1  22758  mulog2sumlem2  22759  mulog2sumlem3  22760  vmalogdivsum  22763  logsqvma  22766  selberglem1  22769  selberglem2  22770  selberg2lem  22774  selberg2  22775  selberg3lem1  22781  pntrsumo1  22789  pntrsumbnd  22790  selbergr  22792  selberg4r  22794  pntrlog2bndlem2  22802  pntrlog2bndlem4  22804  pntrlog2bndlem5  22805  pntlemo  22831  ax5seglem6  23131  axlowdimlem16  23154  dipcl  24061  esumcvg  26487  lgamcvg2  26993  subfacval2  27027  subfaclim  27028  fprodefsum  27436  binomfallfaclem2  27494  bpolycl  28146  bpolysum  28147  bpolydiflem  28148  fsumkthpow  28150  jm2.23  29298  stoweidlem26  29774  altgsumbcALT  30701