Theorem fsumcl 13194

Description: Closure of a finite sum of complex numbers A ( k ). (Contributed by NM, 9-Nov-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcl.1	|- ( ph -> A e. Fin )
fsumcl.2	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
fsumcl	|- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Distinct variable groups:   A, k   ph, k

Allowed substitution hint:   B( k)

Proof of Theorem fsumcl

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3363	. . 3 |- CC C_ CC
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ph -> CC C_ CC )
3		addcl 9352	. . 3 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x + y ) e. CC )
4	3	adantl 463	. 2 |- ( ( ph /\ ( x e. CC /\ y e. CC ) ) -> ( x + y ) e. CC )
5		fsumcl.1	. 2 |- ( ph -> A e. Fin )
6		fsumcl.2	. 2 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B e. CC )
7		0cnd 9367	. 2 |- ( ph -> 0 e. CC )
8	2, 4, 5, 6, 7	fsumcllem 13193	1 |- ( ph -> sum_ k e. A B e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1755   C_ wss 3316  (class class class)co 6080   Fincfn 7298   CCcc 9268   + caddc 9273   sum_csu 13147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-inf2 7835  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347  ax-pre-sup 9348

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-fal 1368  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-se 4667  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-isom 5415  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-oi 7712  df-card 8097  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-div 9982  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-n0 10568  df-z 10635  df-uz 10850  df-rp 10980  df-fz 11425  df-fzo 11533  df-seq 11791  df-exp 11850  df-hash 12088  df-cj 12572  df-re 12573  df-im 12574  df-sqr 12708  df-abs 12709  df-clim 12950  df-sum 13148

This theorem is referenced by:  fsum2dlem  13221  fsum0diag2  13233  fsummulc1  13235  fsumdivc  13236  fsumneg  13237  fsumsub  13238  fsum2mul  13239  fsumabs  13247  fsumtscopo  13248  fsumparts  13252  o1fsum  13259  cvgcmpce  13264  climfsum  13266  fsumiun  13267  binom1dif  13279  incexclem  13282  incexc  13283  isumsplit  13286  arisum2  13306  geoserg  13311  mertenslem1  13327  mertens  13329  eirrlem  13469  pcfac  13944  sylow2a  16098  itg1addlem5  21020  itgcl  21103  dvmptfsum  21289  dvfsumabs  21337  dvfsumlem1  21340  plyf  21551  plymullem1  21567  coeeulem  21577  coemullem  21602  plycjlem  21628  taylpf  21716  mtest  21754  mtestbdd  21755  pserdvlem2  21778  abelthlem6  21786  abelthlem7  21788  advlogexp  21985  log2tlbnd  22225  birthdaylem2  22231  fsumharmonic  22290  ftalem1  22295  ftalem5  22299  sgmf  22368  chtdif  22381  fsumdvdscom  22410  fsumdvdsmul  22420  logexprlim  22449  dchrsum2  22492  sumdchr2  22494  rpvmasumlem  22621  dchrisumlem1  22623  dchrisumlem2  22624  dchrisum  22626  dchrmusum2  22628  dchrvmasum2if  22631  dchrvmasumlem3  22633  dchrvmasumiflem1  22635  dchrvmasumiflem2  22636  rpvmasum2  22646  dchrisum0lem1b  22649  dchrisum0lem1  22650  dchrisum0lem2a  22651  dchrisum0lem2  22652  dchrisum0lem3  22653  dchrmusumlem  22656  dchrvmasumlem  22657  mudivsum  22664  mulogsumlem  22665  mulogsum  22666  mulog2sumlem1  22668  mulog2sumlem2  22669  mulog2sumlem3  22670  vmalogdivsum  22673  logsqvma  22676  selberglem1  22679  selberglem2  22680  selberg2lem  22684  selberg2  22685  selberg3lem1  22691  pntrsumo1  22699  pntrsumbnd  22700  selbergr  22702  selberg4r  22704  pntrlog2bndlem2  22712  pntrlog2bndlem4  22714  pntrlog2bndlem5  22715  pntlemo  22741  ax5seglem6  23003  axlowdimlem16  23026  dipcl  23933  esumcvg  26389  lgamcvg2  26889  subfacval2  26923  subfaclim  26924  fprodefsum  27332  binomfallfaclem2  27390  bpolycl  28042  bpolysum  28043  bpolydiflem  28044  fsumkthpow  28046  jm2.23  29190  stoweidlem26  29667