MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem1 23593
Description: Lemma for dvfsumrlim 23598. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsumlem1.6 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 12106 . . . . . . . . . 10 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 3598 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sseldi 3566 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋𝑆)
73, 6sseldi 3566 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
87flcld 12461 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
9 reflcl 12459 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
11 flle 12462 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋𝑌)
1410, 7, 5, 12, 13letrd 10073 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌)
15 flbi 12479 . . . . . . . . 9 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ ((⌊‘𝑋) ≤ 𝑌𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1))))
1615baibd 946 . . . . . . . 8 (((𝑌 ∈ ℝ ∧ (⌊‘𝑋) ∈ ℤ) ∧ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑌) → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
175, 8, 14, 16syl21anc 1317 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋) ↔ 𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)))
1817biimpar 501 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = (⌊‘𝑋))
1918oveq2d 6565 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − (⌊‘𝑋)))
2019oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
2118oveq2d 6565 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
2221sumeq1d 14279 . . . . 5 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
2322oveq1d 6564 . . . 4 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
2420, 23oveq12d 6567 . . 3 ((𝜑𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
25 simpr 476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))
267adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑋 ∈ ℝ)
2726flcld 12461 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑋) ∈ ℤ)
2827peano2zd 11361 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
2925, 28eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 ∈ ℤ)
30 flid 12471 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ ℤ → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = 𝑌)
3231, 25eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (⌊‘𝑌) = ((⌊‘𝑋) + 1))
3332oveq2d 6565 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑌 − (⌊‘𝑌)) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
3433oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
355recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
3610recnd 9947 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
3735, 36subcld 10271 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
38 1cnd 9935 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 23591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
4443recnd 9947 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℂ)
4544ralrimiva 2949 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ)
46 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . . 12 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵
4746nfel1 2765 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ
48 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑌𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
4948eleq1d 2672 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
5047, 49rspc 3276 . . . . . . . . . 10 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐵 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ))
514, 45, 50sylc 63 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
5237, 38, 51subdird 10366 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
5335, 36, 38subsub4d 10302 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) = (𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)))
5453oveq1d 6564 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
5551mulid2d 9937 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
5655oveq2d 6565 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5752, 54, 563eqtr3d 2652 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5857adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − ((⌊‘𝑋) + 1)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
5934, 58eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
618peano2zd 11361 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ)
6260zred 11358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
63 peano2rem 10227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℝ)
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
67 1red 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
6862, 67, 65lesubaddd 10503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝐷𝑀 ≤ (𝐷 + 1)))
6966, 68mpbird 246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝐷)
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐷𝑋)
7164, 65, 7, 69, 70letrd 10073 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ 𝑋)
72 peano2zm 11297 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
7360, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
74 flge 12468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑀 − 1) ∈ ℤ) → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
757, 73, 74syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ 𝑋 ↔ (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋)))
7671, 75mpbid 221 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋))
7762, 67, 10lesubaddd 10503 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑀 − 1) ≤ (⌊‘𝑋) ↔ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
7876, 77mpbid 221 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
79 eluz2 11569 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1239 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ (ℤ𝑀))
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
8281recnd 9947 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℂ)
8382ralrimiva 2949 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ)
84 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13 𝑍 = (ℤ𝑀)
8684, 85syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑘𝑍)
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
8887eleq1d 2672 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
8988rspccva 3281 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℂ)
9083, 86, 89syl2an 493 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))) → 𝐶 ∈ ℂ)
91 eqvisset 3184 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ V)
92 eqeq2 2621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → (𝑥 = 𝑘𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
9392biimpar 501 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑥 = 𝑘)
9493, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) ∧ 𝑥 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝐵 = 𝐶)
9591, 94csbied 3526 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵 = 𝐶)
9695eqcomd 2616 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = ((⌊‘𝑋) + 1) → 𝐶 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
9780, 90, 96fsumm1 14324 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
98 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
99 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . 14 (((⌊‘𝑋) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
10036, 98, 99sylancl 693 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((⌊‘𝑋) + 1) − 1) = (⌊‘𝑋))
101100oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1)) = (𝑀...(⌊‘𝑋)))
102101sumeq1d 14279 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶)
103102oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(((⌊‘𝑋) + 1) − 1))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10497, 103eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
105104adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
10632oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (𝑀...(⌊‘𝑌)) = (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1)))
107106sumeq1d 14279 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...((⌊‘𝑋) + 1))𝐶)
10825csbeq1d 3506 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 = ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵)
109108oveq2d 6565 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + ((⌊‘𝑋) + 1) / 𝑥𝐵))
110105, 107, 1093eqtr4d 2654 . . . . . . 7 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶 = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵))
111110oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
112 fzfid 12634 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
113 elfzuz 12209 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
114113, 85syl6eleqr 2699 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
11583, 114, 89syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℂ)
116112, 115fsumcl 14311 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
11740recnd 9947 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
118117ralrimiva 2949 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ)
119 nfcsb1v 3515 . . . . . . . . . . 11 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴
120119nfel1 2765 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ
121 csbeq1a 3508 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑌𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
122121eleq1d 2672 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑌 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
123120, 122rspc 3276 . . . . . . . . 9 (𝑌𝑆 → (∀𝑥𝑆 𝐴 ∈ ℂ → 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ))
1244, 118, 123sylc 63 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
125116, 51, 124addsubd 10292 . . . . . . 7 (𝜑 → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
126125adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 + 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
127111, 126eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) = ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵))
12859, 127oveq12d 6567 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)))
12937, 51mulcld 9939 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
130129adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
13151adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
132116, 124subcld 10271 . . . . . 6 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
133132adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
134130, 131, 133nppcan3d 10298 . . . 4 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + ((Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴) + 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
135128, 134eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)) → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
136 dvfsumlem1.6 . . . 4 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
137 peano2re 10088 . . . . . 6 ((⌊‘𝑋) ∈ ℝ → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
13810, 137syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((⌊‘𝑋) + 1) ∈ ℝ)
1395, 138leloed 10059 . . . 4 (𝜑 → (𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1) ↔ (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1))))
140136, 139mpbid 221 . . 3 (𝜑 → (𝑌 < ((⌊‘𝑋) + 1) ∨ 𝑌 = ((⌊‘𝑋) + 1)))
14124, 135, 140mpjaodan 823 . 2 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
142 ovex 6577 . . 3 (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V
143 nfcv 2751 . . . 4 𝑥𝑌
144 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥(𝑌 − (⌊‘𝑌))
145 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥 ·
146144, 145, 46nfov 6575 . . . . 5 𝑥((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)
147 nfcv 2751 . . . . 5 𝑥 +
148 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶
149 nfcv 2751 . . . . . 6 𝑥
150148, 149, 119nfov 6575 . . . . 5 𝑥𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)
151146, 147, 150nfov 6575 . . . 4 𝑥(((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
152 id 22 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌𝑥 = 𝑌)
153 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (⌊‘𝑥) = (⌊‘𝑌))
154152, 153oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → (𝑥 − (⌊‘𝑥)) = (𝑌 − (⌊‘𝑌)))
155154, 48oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → ((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) = ((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
156153oveq2d 6565 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑌 → (𝑀...(⌊‘𝑥)) = (𝑀...(⌊‘𝑌)))
157156sumeq1d 14279 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑌 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶)
158157, 121oveq12d 6567 . . . . 5 (𝑥 = 𝑌 → (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴) = (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴))
159155, 158oveq12d 6567 . . . 4 (𝑥 = 𝑌 → (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
160 dvfsum.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
161143, 151, 159, 160fvmptf 6209 . . 3 ((𝑌𝑆 ∧ (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)) ∈ V) → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
1624, 142, 161sylancl 693 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑌) = (((𝑌 − (⌊‘𝑌)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑌))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
163129, 124, 116subadd23d 10293 . 2 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶𝑌 / 𝑥𝐴)))
164141, 162, 1633eqtr4d 2654 1 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 195  wo 382  wa 383  w3a 1031   = wceq 1475  wcel 1977  wral 2896  Vcvv 3173  csb 3499  wss 3540   class class class wbr 4583  cmpt 4643  cfv 5804  (class class class)co 6549  cc 9813  cr 9814  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  +∞cpnf 9950  *cxr 9952   < clt 9953  cle 9954  cmin 10145  cz 11254  cuz 11563  (,)cioo 12046  ...cfz 12197  cfl 12453  Σcsu 14264   D cdv 23433
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-rest 15906  df-topn 15907  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-fbas 19564  df-fg 19565  df-cnfld 19568  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-topsp 20524  df-cld 20633  df-ntr 20634  df-cls 20635  df-nei 20712  df-lp 20750  df-perf 20751  df-cn 20841  df-cnp 20842  df-haus 20929  df-fil 21460  df-fm 21552  df-flim 21553  df-flf 21554  df-xms 21935  df-ms 21936  df-cncf 22489  df-limc 23436  df-dv 23437
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  23594
  Copyright terms: Public domain W3C validator