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Theorem dvfsumlem1 23057
Description: Lemma for dvfsumrlim 23062. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsumlem1.6  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 ioossre 11721 . . . . . . . . . 10  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3448 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3416 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
73, 6sseldi 3416 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
87flcld 12067 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  ZZ )
9 reflcl 12065 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
107, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
11 flle 12068 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  <_  X )
127, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  X )
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
1410, 7, 5, 12, 13letrd 9809 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  Y )
15 flbi 12084 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( |_ `  X )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X )  <-> 
( ( |_ `  X )  <_  Y  /\  Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) ) )
1615baibd 923 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  RR  /\  ( |_ `  X
)  e.  ZZ )  /\  ( |_ `  X )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X
)  <->  Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
175, 8, 14, 16syl21anc 1291 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X )  <-> 
Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
1817biimpar 493 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X ) )
1918oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  X ) ) )
2019oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
2118oveq2d 6324 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( M ... ( |_ `  Y
) )  =  ( M ... ( |_
`  X ) ) )
2221sumeq1d 13844 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
2322oveq1d 6323 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
2420, 23oveq12d 6326 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
25 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  Y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 ) )
267adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  X  e.  RR )
2726flcld 12067 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  X )  e.  ZZ )
2827peano2zd 11066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ZZ )
2925, 28eqeltrd 2549 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
30 flid 12077 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( |_ `  Y )  =  Y )
3129, 30syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  Y )
3231, 25eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
3332oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  =  ( Y  -  (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
3433oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) )
355recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3610recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  CC )
3735, 36subcld 10005 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
38 1cnd 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 23055 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
4443recnd 9687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
4544ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
46 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ B
4746nfel1 2626 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC
48 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  [_ Y  /  x ]_ B )
4948eleq1d 2533 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
5047, 49rspc 3130 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  CC  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
)
514, 45, 50sylc 61 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
5237, 38, 51subdird 10096 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) ) )
5335, 36, 38subsub4d 10036 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  =  ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
5453oveq1d 6323 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5551mulid2d 9679 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
5655oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5752, 54, 563eqtr3d 2513 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5857adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5934, 58eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B
) )
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
618peano2zd 11066 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )
6260zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
63 peano2rem 9961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
67 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6862, 67, 65lesubaddd 10231 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  D  <->  M  <_  ( D  + 
1 ) ) )
6966, 68mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  D )
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
7164, 65, 7, 69, 70letrd 9809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  X )
72 peano2zm 11004 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
7360, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
74 flge 12074 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  <_  X 
<->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) ) )
757, 73, 74syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  X  <->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) ) )
7671, 75mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) )
7762, 67, 10lesubaddd 10231 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  ( |_ `  X )  <->  M  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
7876, 77mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
79 eluz2 11188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
8281recnd 9687 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
8382ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  CC )
84 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8684, 85syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
8887eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
8988rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  CC  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
9083, 86, 89syl2an 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )  ->  C  e.  CC )
91 eqvisset 3039 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  _V )
92 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
x  =  k  <->  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
9392biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  ( ( |_ `  X )  +  1 )  /\  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  x  =  k )
9493, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  ( ( |_ `  X )  +  1 )  /\  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  B  =  C )
9591, 94csbied 3376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B  =  C )
9695eqcomd 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  C  =  [_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
9780, 90, 96fsumm1 13889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 ) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
98 ax-1cn 9615 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
99 pncan 9901 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  X
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  X ) )
10036, 98, 99sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  X ) )
101100oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( ( |_ `  X )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
102101sumeq1d 13844 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  -  1 ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
103102oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  -  1 ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
10497, 103eqtrd 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
105104adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) C  =  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
10632oveq2d 6324 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  =  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
107106sumeq1d 13844 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) C )
10825csbeq1d 3356 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
109108oveq2d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
110105, 107, 1093eqtr4d 2515 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
111110oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
112 fzfid 12224 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
113 elfzuz 11822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
114113, 85syl6eleqr 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
11583, 114, 89syl2an 485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  CC )
116112, 115fsumcl 13876 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
11740recnd 9687 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
118117ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  CC )
119 nfcsb1v 3365 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
120119nfel1 2626 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC
121 csbeq1a 3358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
122121eleq1d 2533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
123120, 122rspc 3130 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  CC  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
)
1244, 118, 123sylc 61 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
125116, 51, 124addsubd 10026 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
126125adantr 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
127111, 126eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
12859, 127oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
12937, 51mulcld 9681 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
130129adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
13151adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
132116, 124subcld 10005 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
133132adantr 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
134130, 131, 133nppcan3d 10032 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
135128, 134eqtrd 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
136 dvfsumlem1.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
137 peano2re 9824 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  X )  e.  RR  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  RR )
13810, 137syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
1395, 138leloed 9795 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <-> 
( Y  <  (
( |_ `  X
)  +  1 )  \/  Y  =  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) ) )
140136, 139mpbid 215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  <  (
( |_ `  X
)  +  1 )  \/  Y  =  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
14124, 135, 140mpjaodan 803 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
142 ovex 6336 . . 3  |-  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  _V
143 nfcv 2612 . . . 4  |-  F/_ x Y
144 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x
( Y  -  ( |_ `  Y ) )
145 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x  x.
146144, 145, 46nfov 6334 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )
147 nfcv 2612 . . . . 5  |-  F/_ x  +
148 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
149 nfcv 2612 . . . . . 6  |-  F/_ x  -
150148, 149, 119nfov 6334 . . . . 5  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
151146, 147, 150nfov 6334 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
152 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
153 fveq2 5879 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
154152, 153oveq12d 6326 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
155154, 48oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
156153oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
157156sumeq1d 13844 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
158157, 121oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
159155, 158oveq12d 6326 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
160 dvfsum.h . . . 4  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
161143, 151, 159, 160fvmptf 5981 . . 3  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  _V )  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
1624, 142, 161sylancl 675 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
163129, 124, 116subadd23d 10027 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
164141, 162, 1633eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   [_csb 3349    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   (,)cioo 11660   ...cfz 11810   |_cfl 12059   sum_csu 13829    _D cdv 22897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-rest 15399  df-topn 15400  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-xms 21413  df-ms 21414  df-cncf 21988  df-limc 22900  df-dv 22901
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