Theorem dvfsumlem1 22719

Description: Lemma for dvfsumrlim 22724. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsum.h	|- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
dvfsumlem1.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem1.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem1.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem1.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem1.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsumlem1.6	|- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem1	|- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   H( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 11640	. . . . . . . . . 10 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3472	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. S )
5	3, 4	sseldi 3440	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR )
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. S )
7	3, 6	sseldi 3440	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR )
8	7	flcld 11972	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
9		reflcl 11970	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
10	7, 9	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
11		flle 11973	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) <_ X )
12	7, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ X )
13		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X <_ Y )
14	10, 7, 5, 12, 13	letrd 9773	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ Y )
15		flbi 11989	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> ( ( |_ ` X ) <_ Y /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
16	15	baibd 910	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) /\ ( |_ ` X ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
17	5, 8, 14, 16	syl21anc 1229	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
18	17	biimpar 483	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) )
19	18	oveq2d 6294	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( |_ ` X ) ) )
20	19	oveq1d 6293	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
21	18	oveq2d 6294	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
22	21	sumeq1d 13672	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
23	22	oveq1d 6293	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
24	20, 23	oveq12d 6296	. . 3 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
25		simpr 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
26	7	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> X e. RR )
27	26	flcld 11972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
28	27	peano2zd 11011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
29	25, 28	eqeltrd 2490	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y e. ZZ )
30		flid 11982	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ZZ -> ( |_ ` Y ) = Y )
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = Y )
32	31, 25	eqtrd 2443	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
33	32	oveq2d 6294	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
34	33	oveq1d 6293	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
35	5	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
36	10	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. CC )
37	35, 36	subcld 9967	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. CC )
38		1cnd 9642	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
39	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ RR )
40		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
41		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
42		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
43	39, 40, 41, 42	dvmptrecl 22717	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
44	43	recnd 9652	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. CC )
45	44	ralrimiva 2818	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S B e. CC )
46		nfcsb1v 3389	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ Y / x ]_ B
47	46	nfel1 2580	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ Y / x ]_ B e. CC
48		csbeq1a 3382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> B = [_ Y / x ]_ B )
49	48	eleq1d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( B e. CC <-> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
50	47, 49	rspc 3154	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S B e. CC -> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
51	4, 45, 50	sylc 59	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
52	37, 38, 51	subdird 10054	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
53	35, 36, 38	subsub4d 9998	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
54	53	oveq1d 6293	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
55	51	mulid2d 9644	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) = [_ Y / x ]_ B )
56	55	oveq2d 6294	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2451	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
58	57	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
59	34, 58	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
60		dvfsum.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
61	8	peano2zd 11011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
62	60	zred 11008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. RR )
63		peano2rem 9922	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. RR )
65		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR )
66		dvfsum.md	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
67		1red 9641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. RR )
68	62, 67, 65	lesubaddd 10189	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ D <-> M <_ ( D + 1 ) ) )
69	66, 68	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ D )
70		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D <_ X )
71	64, 65, 7, 69, 70	letrd 9773	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ X )
72		peano2zm 10948	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
73	60, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. ZZ )
74		flge 11979	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. RR /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
75	7, 73, 74	syl2anc 659	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
76	71, 75	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) )
77	62, 67, 10	lesubaddd 10189	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) <-> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
78	76, 77	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
79		eluz2 11133	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
80	60, 61, 78, 79	syl3anbrc 1181	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
81		dvfsum.b2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
82	81	recnd 9652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. CC )
83	82	ralrimiva 2818	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. Z B e. CC )
84		elfzuz 11738	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
85		dvfsum.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
86	84, 85	syl6eleqr 2501	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. Z )
87		dvfsum.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> B = C )
88	87	eleq1d 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
89	88	rspccva 3159	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. Z B e. CC /\ k e. Z ) -> C e. CC )
90	83, 86, 89	syl2an 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) -> C e. CC )
91		eqvisset 3067	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V )
92		eqeq2 2417	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( x = k <-> x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
93	92	biimpar 483	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> x = k )
94	93, 87	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> B = C )
95	91, 94	csbied 3400	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B = C )
96	95	eqcomd 2410	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> C = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
97	80, 90, 96	fsumm1 13717	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
98		ax-1cn 9580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
99		pncan 9862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` X ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
100	36, 98, 99	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
101	100	oveq2d 6294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
102	101	sumeq1d 13672	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
103	102	oveq1d 6293	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
104	97, 103	eqtrd 2443	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
105	104	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
106	32	oveq2d 6294	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
107	106	sumeq1d 13672	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C )
108	25	csbeq1d 3380	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
109	108	oveq2d 6294	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
110	105, 107, 109	3eqtr4d 2453	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) )
111	110	oveq1d 6293	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
112		fzfid 12124	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
113		elfzuz 11738	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
114	113, 85	syl6eleqr 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
115	83, 114, 89	syl2an 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. CC )
116	112, 115	fsumcl 13704	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
117	40	recnd 9652	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
118	117	ralrimiva 2818	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S A e. CC )
119		nfcsb1v 3389	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
120	119	nfel1 2580	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. CC
121		csbeq1a 3382	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
122	121	eleq1d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( A e. CC <-> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
123	120, 122	rspc 3154	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. CC -> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
124	4, 118, 123	sylc 59	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
125	116, 51, 124	addsubd 9988	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
126	125	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
127	111, 126	eqtrd 2443	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
128	59, 127	oveq12d 6296	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) )
129	37, 51	mulcld 9646	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
130	129	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
131	51	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
132	116, 124	subcld 9967	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
133	132	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
134	130, 131, 133	nppcan3d 9994	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
135	128, 134	eqtrd 2443	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
136		dvfsumlem1.6	. . . 4 |- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
137		peano2re 9787	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` X ) e. RR -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
138	10, 137	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
139	5, 138	leloed 9760	. . . 4 |- ( ph -> ( Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <-> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
140	136, 139	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
141	24, 135, 140	mpjaodan 787	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
142		ovex 6306	. . 3 |- ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V
143		nfcv 2564	. . . 4 |- F/_ x Y
144		nfcv 2564	. . . . . 6 |- F/_ x ( Y - ( |_ ` Y ) )
145		nfcv 2564	. . . . . 6 |- F/_ x x.
146	144, 145, 46	nfov 6304	. . . . 5 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B )
147		nfcv 2564	. . . . 5 |- F/_ x +
148		nfcv 2564	. . . . . 6 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
149		nfcv 2564	. . . . . 6 |- F/_ x -
150	148, 149, 119	nfov 6304	. . . . 5 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
151	146, 147, 150	nfov 6304	. . . 4 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
152		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> x = Y )
153		fveq2 5849	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
154	152, 153	oveq12d 6296	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
155	154, 48	oveq12d 6296	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
156	153	oveq2d 6294	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
157	156	sumeq1d 13672	. . . . . 6 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
158	157, 121	oveq12d 6296	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
159	155, 158	oveq12d 6296	. . . 4 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
160		dvfsum.h	. . . 4 |- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
161	143, 151, 159, 160	fvmptf 5950	. . 3 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V ) -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
162	4, 142, 161	sylancl 660	. 2 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
163	129, 124, 116	subadd23d 9989	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
164	141, 162, 163	3eqtr4d 2453	1 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059   [_csb 3373   C_ wss 3414   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   1c1 9523   + caddc 9525   x. cmul 9527   +oocpnf 9655   RR*cxr 9657   < clt 9658   <_ cle 9659   - cmin 9841   ZZcz 10905   ZZ>=cuz 11127   (,)cioo 11582   ...cfz 11726   |_cfl 11964   sum_csu 13657   _D cdv 22559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-rest 15037  df-topn 15038  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-xms 21115  df-ms 21116  df-cncf 21674  df-limc 22562  df-dv 22563

This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  22720