Theorem dvfsumlem1 22155

Description: Lemma for dvfsumrlim 22160. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsum.h	|- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
dvfsumlem1.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem1.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem1.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem1.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem1.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsumlem1.6	|- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem1	|- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   H( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 11575	. . . . . . . . . 10 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3527	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. S )
5	3, 4	sseldi 3495	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR )
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. S )
7	3, 6	sseldi 3495	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR )
8	7	flcld 11892	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
9		reflcl 11890	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
10	7, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
11		flle 11893	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) <_ X )
12	7, 11	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ X )
13		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X <_ Y )
14	10, 7, 5, 12, 13	letrd 9727	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ Y )
15		flbi 11908	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> ( ( |_ ` X ) <_ Y /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
16	15	baibd 902	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) /\ ( |_ ` X ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
17	5, 8, 14, 16	syl21anc 1222	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
18	17	biimpar 485	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) )
19	18	oveq2d 6291	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( |_ ` X ) ) )
20	19	oveq1d 6290	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
21	18	oveq2d 6291	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
22	21	sumeq1d 13472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
23	22	oveq1d 6290	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
24	20, 23	oveq12d 6293	. . 3 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
25		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
26	7	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> X e. RR )
27	26	flcld 11892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
28	27	peano2zd 10958	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
29	25, 28	eqeltrd 2548	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y e. ZZ )
30		flid 11901	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ZZ -> ( |_ ` Y ) = Y )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = Y )
32	31, 25	eqtrd 2501	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
33	32	oveq2d 6291	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
34	33	oveq1d 6290	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
35	5	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
36	10	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. CC )
37	35, 36	subcld 9919	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. CC )
38		1cnd 9601	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
39	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ RR )
40		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
41		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
42		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
43	39, 40, 41, 42	dvmptrecl 22153	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
44	43	recnd 9611	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. CC )
45	44	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S B e. CC )
46		nfcsb1v 3444	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ Y / x ]_ B
47	46	nfel1 2638	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ Y / x ]_ B e. CC
48		csbeq1a 3437	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> B = [_ Y / x ]_ B )
49	48	eleq1d 2529	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( B e. CC <-> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
50	47, 49	rspc 3201	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S B e. CC -> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
51	4, 45, 50	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
52	37, 38, 51	subdird 10002	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
53	35, 36, 38	subsub4d 9950	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
54	53	oveq1d 6290	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
55	51	mulid2d 9603	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) = [_ Y / x ]_ B )
56	55	oveq2d 6291	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2509	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
58	57	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
59	34, 58	eqtrd 2501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
60		dvfsum.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
61	8	peano2zd 10958	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
62	60	zred 10955	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. RR )
63		peano2rem 9875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. RR )
65		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR )
66		dvfsum.md	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
67		1red 9600	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. RR )
68	62, 67, 65	lesubaddd 10138	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ D <-> M <_ ( D + 1 ) ) )
69	66, 68	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ D )
70		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D <_ X )
71	64, 65, 7, 69, 70	letrd 9727	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ X )
72		peano2zm 10895	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
73	60, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. ZZ )
74		flge 11899	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. RR /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
75	7, 73, 74	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
76	71, 75	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) )
77	62, 67, 10	lesubaddd 10138	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) <-> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
78	76, 77	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
79		eluz2 11077	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
80	60, 61, 78, 79	syl3anbrc 1175	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
81		dvfsum.b2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
82	81	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. CC )
83	82	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. Z B e. CC )
84		elfzuz 11673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
85		dvfsum.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
86	84, 85	syl6eleqr 2559	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. Z )
87		dvfsum.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> B = C )
88	87	eleq1d 2529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
89	88	rspccva 3206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. Z B e. CC /\ k e. Z ) -> C e. CC )
90	83, 86, 89	syl2an 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) -> C e. CC )
91		ovex 6300	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V )
93		eqeq2 2475	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( x = k <-> x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
94	93	biimpar 485	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> x = k )
95	94, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> B = C )
96	92, 95	csbied 3455	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B = C )
97	96	eqcomd 2468	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> C = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
98	80, 90, 97	fsumm1 13515	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
99		ax-1cn 9539	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
100		pncan 9815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` X ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
101	36, 99, 100	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
102	101	oveq2d 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
103	102	sumeq1d 13472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
104	103	oveq1d 6290	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
105	98, 104	eqtrd 2501	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
106	105	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
107	32	oveq2d 6291	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
108	107	sumeq1d 13472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C )
109	25	csbeq1d 3435	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
110	109	oveq2d 6291	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
111	106, 108, 110	3eqtr4d 2511	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) )
112	111	oveq1d 6290	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
113		fzfid 12039	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
114		elfzuz 11673	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
115	114, 85	syl6eleqr 2559	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
116	83, 115, 89	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. CC )
117	113, 116	fsumcl 13504	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
118	40	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
119	118	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S A e. CC )
120		nfcsb1v 3444	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
121	120	nfel1 2638	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. CC
122		csbeq1a 3437	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
123	122	eleq1d 2529	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( A e. CC <-> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
124	121, 123	rspc 3201	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. CC -> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
125	4, 119, 124	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
126	117, 51, 125	addsubd 9940	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
127	126	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
128	112, 127	eqtrd 2501	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
129	59, 128	oveq12d 6293	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) )
130	37, 51	mulcld 9605	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
131	130	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
132	51	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
133	117, 125	subcld 9919	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
134	133	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
135	131, 132, 134	nppcan3d 9946	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
136	129, 135	eqtrd 2501	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
137		dvfsumlem1.6	. . . 4 |- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
138		peano2re 9741	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` X ) e. RR -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
139	10, 138	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
140	5, 139	leloed 9716	. . . 4 |- ( ph -> ( Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <-> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
141	137, 140	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
142	24, 136, 141	mpjaodan 784	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
143		ovex 6300	. . 3 |- ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V
144		nfcv 2622	. . . 4 |- F/_ x Y
145		nfcv 2622	. . . . . 6 |- F/_ x ( Y - ( |_ ` Y ) )
146		nfcv 2622	. . . . . 6 |- F/_ x x.
147	145, 146, 46	nfov 6298	. . . . 5 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B )
148		nfcv 2622	. . . . 5 |- F/_ x +
149		nfcv 2622	. . . . . 6 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
150		nfcv 2622	. . . . . 6 |- F/_ x -
151	149, 150, 120	nfov 6298	. . . . 5 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
152	147, 148, 151	nfov 6298	. . . 4 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
153		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> x = Y )
154		fveq2 5857	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
155	153, 154	oveq12d 6293	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
156	155, 48	oveq12d 6293	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
157	154	oveq2d 6291	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
158	157	sumeq1d 13472	. . . . . 6 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
159	158, 122	oveq12d 6293	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
160	156, 159	oveq12d 6293	. . . 4 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
161		dvfsum.h	. . . 4 |- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
162	144, 152, 160, 161	fvmptf 5957	. . 3 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V ) -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
163	4, 143, 162	sylancl 662	. 2 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
164	130, 125, 117	subadd23d 9941	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
165	142, 163, 164	3eqtr4d 2511	1 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106   [_csb 3428   C_ wss 3469   class class class wbr 4440   |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9794   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   (,)cioo 11518   ...cfz 11661   |_cfl 11884   sum_csu 13457   _D cdv 21995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-rest 14667  df-topn 14668  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999

This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  22156