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Theorem dvfsumlem1 22155
Description: Lemma for dvfsumrlim 22160. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s  |-  S  =  ( T (,) +oo )
dvfsum.z  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
dvfsum.m  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
dvfsum.d  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
dvfsum.md  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
dvfsum.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
dvfsum.a  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
dvfsum.b1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
dvfsum.b2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
dvfsum.b3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
dvfsum.c  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
dvfsum.u  |-  ( ph  ->  U  e.  RR* )
dvfsum.l  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  S  /\  k  e.  S )  /\  ( D  <_  x  /\  x  <_  k  /\  k  <_  U ) )  ->  C  <_  B )
dvfsum.h  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
dvfsumlem1.1  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
dvfsumlem1.2  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
dvfsumlem1.3  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
dvfsumlem1.4  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
dvfsumlem1.5  |-  ( ph  ->  Y  <_  U )
dvfsumlem1.6  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem1  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
Distinct variable groups:    B, k    x, C    x, k, D    ph, k, x    S, k, x    k, M, x   
x, T    k, Y, x    x, Z    U, k, x    k, X, x
Allowed substitution hints:    A( x, k)    B( x)    C( k)    T( k)    H( x, k)    V( x, k)    Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ( T (,) +oo )
2 ioossre 11575 . . . . . . . . . 10  |-  ( T (,) +oo )  C_  RR
31, 2eqsstri 3527 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  RR
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Y  e.  S )
53, 4sseldi 3495 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  S )
73, 6sseldi 3495 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
87flcld 11892 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  ZZ )
9 reflcl 11890 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  e.  RR )
107, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  RR )
11 flle 11893 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  RR  ->  ( |_ `  X )  <_  X )
127, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  X )
13 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  <_  Y )
1410, 7, 5, 12, 13letrd 9727 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  <_  Y )
15 flbi 11908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  RR  /\  ( |_ `  X )  e.  ZZ )  -> 
( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X )  <-> 
( ( |_ `  X )  <_  Y  /\  Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) ) )
1615baibd 902 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Y  e.  RR  /\  ( |_ `  X
)  e.  ZZ )  /\  ( |_ `  X )  <_  Y
)  ->  ( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X
)  <->  Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
175, 8, 14, 16syl21anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X )  <-> 
Y  <  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
1817biimpar 485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  ( |_ `  X ) )
1918oveq2d 6291 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  X ) ) )
2019oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
2118oveq2d 6291 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( M ... ( |_ `  Y
) )  =  ( M ... ( |_
`  X ) ) )
2221sumeq1d 13472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
2322oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y
) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
2420, 23oveq12d 6293 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  <  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) )  ->  ( (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
25 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  Y  =  ( ( |_
`  X )  +  1 ) )
267adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  X  e.  RR )
2726flcld 11892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  X )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ZZ )
2925, 28eqeltrd 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  Y  e.  ZZ )
30 flid 11901 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( |_ `  Y )  =  Y )
3129, 30syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  Y )
3231, 25eqtrd 2501 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( |_ `  Y )  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
3332oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  =  ( Y  -  (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
3433oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) )
355recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
3610recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( |_ `  X
)  e.  CC )
3735, 36subcld 9919 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( Y  -  ( |_ `  X ) )  e.  CC )
38 1cnd 9601 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
393a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  S  C_  RR )
40 dvfsum.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  RR )
41 dvfsum.b1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  V )
42 dvfsum.b3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
x  e.  S  |->  A ) )  =  ( x  e.  S  |->  B ) )
4339, 40, 41, 42dvmptrecl 22153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  RR )
4443recnd 9611 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  B  e.  CC )
4544ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  B  e.  CC )
46 nfcsb1v 3444 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ B
4746nfel1 2638 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC
48 csbeq1a 3437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  Y  ->  B  =  [_ Y  /  x ]_ B )
4948eleq1d 2529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
5047, 49rspc 3201 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  B  e.  CC  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
)
514, 45, 50sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
5237, 38, 51subdird 10002 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
) ) )
5335, 36, 38subsub4d 9950 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  -  1 )  =  ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
5453oveq1d 6290 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  - 
1 )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5551mulid2d 9603 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  [_ Y  /  x ]_ B )
5655oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  (
1  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5752, 54, 563eqtr3d 2509 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5857adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  (
( |_ `  X
)  +  1 ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B ) )
5934, 58eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B
) )
60 dvfsum.m . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
618peano2zd 10958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ )
6260zred 10955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
63 peano2rem 9875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  RR )
65 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
66 dvfsum.md . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  M  <_  ( D  +  1 ) )
67 1red 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
6862, 67, 65lesubaddd 10138 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  D  <->  M  <_  ( D  + 
1 ) ) )
6966, 68mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  D )
70 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  <_  X )
7164, 65, 7, 69, 70letrd 9727 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  X )
72 peano2zm 10895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
7360, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
74 flge 11899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( X  e.  RR  /\  ( M  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( ( M  -  1 )  <_  X 
<->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) ) )
757, 73, 74syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  X  <->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) ) )
7671, 75mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( M  -  1 )  <_  ( |_ `  X ) )
7762, 67, 10lesubaddd 10138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( M  - 
1 )  <_  ( |_ `  X )  <->  M  <_  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
7876, 77mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  M  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
79 eluz2 11077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ZZ  /\  M  <_ 
( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
8060, 61, 78, 79syl3anbrc 1175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  M ) )
81 dvfsum.b2 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  RR )
8281recnd 9611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  Z )  ->  B  e.  CC )
8382ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  Z  B  e.  CC )
84 elfzuz 11673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
85 dvfsum.z . . . . . . . . . . . . 13  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
8684, 85syl6eleqr 2559 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  k  e.  Z )
87 dvfsum.c . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  k  ->  B  =  C )
8887eleq1d 2529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  k  ->  ( B  e.  CC  <->  C  e.  CC ) )
8988rspccva 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. x  e.  Z  B  e.  CC  /\  k  e.  Z )  ->  C  e.  CC )
9083, 86, 89syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )  ->  C  e.  CC )
91 ovex 6300 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e. 
_V
9291a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  _V )
93 eqeq2 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  (
x  =  k  <->  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) )
9493biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  =  ( ( |_ `  X )  +  1 )  /\  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  x  =  k )
9594, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  =  ( ( |_ `  X )  +  1 )  /\  x  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  B  =  C )
9692, 95csbied 3455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B  =  C )
9796eqcomd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( ( |_
`  X )  +  1 )  ->  C  =  [_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
9880, 90, 97fsumm1 13515 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 ) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
99 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1  e.  CC
100 pncan 9815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  X
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  X ) )
10136, 99, 100sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( |_
`  X )  +  1 )  -  1 )  =  ( |_
`  X ) )
102101oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( M ... (
( ( |_ `  X )  +  1 )  -  1 ) )  =  ( M ... ( |_ `  X ) ) )
103102sumeq1d 13472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  -  1 ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C )
104103oveq1d 6290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( ( ( |_ `  X
)  +  1 )  -  1 ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
)  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
10598, 104eqtrd 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( ( |_ `  X )  +  1 ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ ( ( |_ `  X )  +  1 )  /  x ]_ B ) )
106105adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) C  =  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
10732oveq2d 6291 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( M ... ( |_ `  Y ) )  =  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
108107sumeq1d 13472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... (
( |_ `  X
)  +  1 ) ) C )
10925csbeq1d 3435 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  = 
[_ ( ( |_
`  X )  +  1 )  /  x ]_ B )
110109oveq2d 6291 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ (
( |_ `  X
)  +  1 )  /  x ]_ B
) )
111106, 108, 1103eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
112111oveq1d 6290 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
113 fzfid 12039 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( M ... ( |_ `  X ) )  e.  Fin )
114 elfzuz 11673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  M )
)
115114, 85syl6eleqr 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) )  ->  k  e.  Z )
11683, 115, 89syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) )  ->  C  e.  CC )
117113, 116fsumcl 13504 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  e.  CC )
11840recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  S )  ->  A  e.  CC )
119118ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  S  A  e.  CC )
120 nfcsb1v 3444 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x [_ Y  /  x ]_ A
121120nfel1 2638 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC
122 csbeq1a 3437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  Y  ->  A  =  [_ Y  /  x ]_ A )
123122eleq1d 2529 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  Y  ->  ( A  e.  CC  <->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC ) )
124121, 123rspc 3201 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e.  S  ->  ( A. x  e.  S  A  e.  CC  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
)
1254, 119, 124sylc 60 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  [_ Y  /  x ]_ A  e.  CC )
126117, 51, 125addsubd 9940 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
127126adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  +  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
128112, 127eqtrd 2501 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  =  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )
12959, 128oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) ) )
13037, 51mulcld 9605 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
131130adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  e.  CC )
13251adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  [_ Y  /  x ]_ B  e.  CC )
133117, 125subcld 9919 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
134133adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  e.  CC )
135131, 132, 134nppcan3d 9946 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ B
)  +  ( (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  [_ Y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
136129, 135eqtrd 2501 . . 3  |-  ( (
ph  /\  Y  =  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )  ->  (
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
137 dvfsumlem1.6 . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  <_  ( ( |_ `  X )  +  1 ) )
138 peano2re 9741 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  X )  e.  RR  ->  (
( |_ `  X
)  +  1 )  e.  RR )
13910, 138syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( |_ `  X )  +  1 )  e.  RR )
1405, 139leloed 9716 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y  <_  (
( |_ `  X
)  +  1 )  <-> 
( Y  <  (
( |_ `  X
)  +  1 )  \/  Y  =  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) ) )
141137, 140mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y  <  (
( |_ `  X
)  +  1 )  \/  Y  =  ( ( |_ `  X
)  +  1 ) ) )
14224, 136, 141mpjaodan 784 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
143 ovex 6300 . . 3  |-  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  _V
144 nfcv 2622 . . . 4  |-  F/_ x Y
145 nfcv 2622 . . . . . 6  |-  F/_ x
( Y  -  ( |_ `  Y ) )
146 nfcv 2622 . . . . . 6  |-  F/_ x  x.
147145, 146, 46nfov 6298 . . . . 5  |-  F/_ x
( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )
148 nfcv 2622 . . . . 5  |-  F/_ x  +
149 nfcv 2622 . . . . . 6  |-  F/_ x sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C
150 nfcv 2622 . . . . . 6  |-  F/_ x  -
151149, 150, 120nfov 6298 . . . . 5  |-  F/_ x
( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A )
152147, 148, 151nfov 6298 . . . 4  |-  F/_ x
( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
153 id 22 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  x  =  Y )
154 fveq2 5857 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( |_ `  x )  =  ( |_ `  Y
) )
155153, 154oveq12d 6293 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  (
x  -  ( |_
`  x ) )  =  ( Y  -  ( |_ `  Y ) ) )
156155, 48oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  (
( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  =  ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B ) )
157154oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( x  =  Y  ->  ( M ... ( |_ `  x ) )  =  ( M ... ( |_ `  Y ) ) )
158157sumeq1d 13472 . . . . . 6  |-  ( x  =  Y  ->  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  =  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  Y ) ) C )
159158, 122oveq12d 6293 . . . . 5  |-  ( x  =  Y  ->  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A )  =  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )
160156, 159oveq12d 6293 . . . 4  |-  ( x  =  Y  ->  (
( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  x ) ) C  -  A ) )  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
161 dvfsum.h . . . 4  |-  H  =  ( x  e.  S  |->  ( ( ( x  -  ( |_ `  x ) )  x.  B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  x ) ) C  -  A ) ) )
162144, 152, 160, 161fvmptf 5957 . . 3  |-  ( ( Y  e.  S  /\  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x. 
[_ Y  /  x ]_ B )  +  (
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) )  e.  _V )  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
1634, 143, 162sylancl 662 . 2  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( Y  -  ( |_ `  Y ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  Y ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
164130, 125, 117subadd23d 9941 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  +  sum_ k  e.  ( M ... ( |_ `  X
) ) C )  =  ( ( ( Y  -  ( |_
`  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  +  ( sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C  -  [_ Y  /  x ]_ A ) ) )
165142, 163, 1643eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( H `  Y
)  =  ( ( ( ( Y  -  ( |_ `  X ) )  x.  [_ Y  /  x ]_ B )  -  [_ Y  /  x ]_ A )  + 
sum_ k  e.  ( M ... ( |_
`  X ) ) C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106   [_csb 3428    C_ wss 3469   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9794   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   (,)cioo 11518   ...cfz 11661   |_cfl 11884   sum_csu 13457    _D cdv 21995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-rest 14667  df-topn 14668  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-xms 20551  df-ms 20552  df-cncf 21110  df-limc 21998  df-dv 21999
This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  22156
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