Theorem dvfsumlem1 21342

Description: Lemma for dvfsumrlim 21347. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsum.h	|- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
dvfsumlem1.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem1.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem1.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem1.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem1.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsumlem1.6	|- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem1	|- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   H( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 11347	. . . . . . . . . 10 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3376	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. S )
5	3, 4	sseldi 3344	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR )
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. S )
7	3, 6	sseldi 3344	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR )
8	7	flcld 11634	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
9		reflcl 11632	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
10	7, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
11		flle 11635	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) <_ X )
12	7, 11	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ X )
13		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X <_ Y )
14	10, 7, 5, 12, 13	letrd 9518	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ Y )
15		flbi 11650	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> ( ( |_ ` X ) <_ Y /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
16	15	baibd 895	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) /\ ( |_ ` X ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
17	5, 8, 14, 16	syl21anc 1212	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
18	17	biimpar 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) )
19	18	oveq2d 6098	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( |_ ` X ) ) )
20	19	oveq1d 6097	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
21	18	oveq2d 6098	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
22	21	sumeq1d 13164	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
23	22	oveq1d 6097	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
24	20, 23	oveq12d 6100	. . 3 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
25		simpr 458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
26	7	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> X e. RR )
27	26	flcld 11634	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
28	27	peano2zd 10740	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
29	25, 28	eqeltrd 2509	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y e. ZZ )
30		flid 11643	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ZZ -> ( |_ ` Y ) = Y )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = Y )
32	31, 25	eqtrd 2467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
33	32	oveq2d 6098	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
34	33	oveq1d 6097	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
35	5	recnd 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
36	10	recnd 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. CC )
37	35, 36	subcld 9709	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. CC )
38		1cnd 9392	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
39	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ RR )
40		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
41		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
42		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
43	39, 40, 41, 42	dvmptrecl 21340	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
44	43	recnd 9402	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. CC )
45	44	ralrimiva 2791	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S B e. CC )
46		nfcsb1v 3294	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ Y / x ]_ B
47	46	nfel1 2581	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ Y / x ]_ B e. CC
48		csbeq1a 3287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> B = [_ Y / x ]_ B )
49	48	eleq1d 2501	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( B e. CC <-> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
50	47, 49	rspc 3058	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S B e. CC -> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
51	4, 45, 50	sylc 60	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
52	37, 38, 51	subdird 9791	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
53	35, 36, 38	subsub4d 9740	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
54	53	oveq1d 6097	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
55	51	mulid2d 9394	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) = [_ Y / x ]_ B )
56	55	oveq2d 6098	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
57	52, 54, 56	3eqtr3d 2475	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
58	57	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
59	34, 58	eqtrd 2467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
60		dvfsum.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
61	8	peano2zd 10740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
62	60	zred 10737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. RR )
63		peano2rem 9665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
64	62, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. RR )
65		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR )
66		dvfsum.md	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
67		1red 9391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. RR )
68	62, 67, 65	lesubaddd 9926	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ D <-> M <_ ( D + 1 ) ) )
69	66, 68	mpbird 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ D )
70		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D <_ X )
71	64, 65, 7, 69, 70	letrd 9518	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ X )
72		peano2zm 10678	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
73	60, 72	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. ZZ )
74		flge 11641	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. RR /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
75	7, 73, 74	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
76	71, 75	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) )
77	62, 67, 10	lesubaddd 9926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) <-> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
78	76, 77	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
79		eluz2 10857	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
80	60, 61, 78, 79	syl3anbrc 1167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
81		dvfsum.b2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
82	81	recnd 9402	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. CC )
83	82	ralrimiva 2791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. Z B e. CC )
84		elfzuz 11438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
85		dvfsum.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
86	84, 85	syl6eleqr 2526	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. Z )
87		dvfsum.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> B = C )
88	87	eleq1d 2501	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
89	88	rspccva 3063	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. Z B e. CC /\ k e. Z ) -> C e. CC )
90	83, 86, 89	syl2an 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) -> C e. CC )
91		ovex 6107	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V
92	91	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V )
93		eqeq2 2444	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( x = k <-> x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
94	93	biimpar 482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> x = k )
95	94, 87	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> B = C )
96	92, 95	csbied 3304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B = C )
97	96	eqcomd 2440	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> C = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
98	80, 90, 97	fsumm1 13206	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
99		ax-1cn 9330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. CC
100		pncan 9606	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` X ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
101	36, 99, 100	sylancl 657	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
102	101	oveq2d 6098	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
103	102	sumeq1d 13164	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
104	103	oveq1d 6097	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
105	98, 104	eqtrd 2467	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
106	105	adantr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
107	32	oveq2d 6098	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
108	107	sumeq1d 13164	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C )
109	25	csbeq1d 3285	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
110	109	oveq2d 6098	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
111	106, 108, 110	3eqtr4d 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) )
112	111	oveq1d 6097	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
113		fzfid 11781	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
114		elfzuz 11438	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
115	114, 85	syl6eleqr 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
116	83, 115, 89	syl2an 474	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. CC )
117	113, 116	fsumcl 13196	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
118	40	recnd 9402	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
119	118	ralrimiva 2791	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S A e. CC )
120		nfcsb1v 3294	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
121	120	nfel1 2581	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. CC
122		csbeq1a 3287	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
123	122	eleq1d 2501	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( A e. CC <-> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
124	121, 123	rspc 3058	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. CC -> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
125	4, 119, 124	sylc 60	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
126	117, 51, 125	addsubd 9730	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
127	126	adantr 462	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
128	112, 127	eqtrd 2467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
129	59, 128	oveq12d 6100	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) )
130	37, 51	mulcld 9396	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
131	130	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
132	51	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
133	117, 125	subcld 9709	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
134	133	adantr 462	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
135	131, 132, 134	nppcan3d 9736	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
136	129, 135	eqtrd 2467	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
137		dvfsumlem1.6	. . . 4 |- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
138		peano2re 9532	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` X ) e. RR -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
139	10, 138	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
140	5, 139	leloed 9507	. . . 4 |- ( ph -> ( Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <-> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
141	137, 140	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
142	24, 136, 141	mpjaodan 779	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
143		ovex 6107	. . 3 |- ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V
144		nfcv 2571	. . . 4 |- F/_ x Y
145		nfcv 2571	. . . . . 6 |- F/_ x ( Y - ( |_ ` Y ) )
146		nfcv 2571	. . . . . 6 |- F/_ x x.
147	145, 146, 46	nfov 6105	. . . . 5 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B )
148		nfcv 2571	. . . . 5 |- F/_ x +
149		nfcv 2571	. . . . . 6 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
150		nfcv 2571	. . . . . 6 |- F/_ x -
151	149, 150, 120	nfov 6105	. . . . 5 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
152	147, 148, 151	nfov 6105	. . . 4 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
153		id 22	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> x = Y )
154		fveq2 5681	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
155	153, 154	oveq12d 6100	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
156	155, 48	oveq12d 6100	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
157	154	oveq2d 6098	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
158	157	sumeq1d 13164	. . . . . 6 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
159	158, 122	oveq12d 6100	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
160	156, 159	oveq12d 6100	. . . 4 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
161		dvfsum.h	. . . 4 |- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
162	144, 152, 160, 161	fvmptf 5780	. . 3 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V ) -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
163	4, 143, 162	sylancl 657	. 2 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
164	130, 125, 117	subadd23d 9731	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
165	142, 163, 164	3eqtr4d 2477	1 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1757   A.wral 2707   _Vcvv 2964   [_csb 3278   C_ wss 3318   class class class wbr 4282   e. cmpt 4340   ` cfv 5408  (class class class)co 6082   CCcc 9270   RRcr 9271   1c1 9273   + caddc 9275   x. cmul 9277   +oocpnf 9405   RR*cxr 9407   < clt 9408   <_ cle 9409   - cmin 9585   ZZcz 10636   ZZ>=cuz 10851   (,)cioo 11290   ...cfz 11426   |_cfl 11626   sum_csu 13149   _D cdv 21182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2416  ax-rep 4393  ax-sep 4403  ax-nul 4411  ax-pow 4460  ax-pr 4521  ax-un 6363  ax-inf2 7837  ax-cnex 9328  ax-resscn 9329  ax-1cn 9330  ax-icn 9331  ax-addcl 9332  ax-addrcl 9333  ax-mulcl 9334  ax-mulrcl 9335  ax-mulcom 9336  ax-addass 9337  ax-mulass 9338  ax-distr 9339  ax-i2m1 9340  ax-1ne0 9341  ax-1rid 9342  ax-rnegex 9343  ax-rrecex 9344  ax-cnre 9345  ax-pre-lttri 9346  ax-pre-lttrn 9347  ax-pre-ltadd 9348  ax-pre-mulgt0 9349  ax-pre-sup 9350

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1702  df-eu 2260  df-mo 2261  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2966  df-sbc 3178  df-csb 3279  df-dif 3321  df-un 3323  df-in 3325  df-ss 3332  df-pss 3334  df-nul 3628  df-if 3782  df-pw 3852  df-sn 3868  df-pr 3870  df-tp 3872  df-op 3874  df-uni 4082  df-int 4119  df-iun 4163  df-iin 4164  df-br 4283  df-opab 4341  df-mpt 4342  df-tr 4376  df-eprel 4621  df-id 4625  df-po 4630  df-so 4631  df-fr 4668  df-se 4669  df-we 4670  df-ord 4711  df-on 4712  df-lim 4713  df-suc 4714  df-xp 4835  df-rel 4836  df-cnv 4837  df-co 4838  df-dm 4839  df-rn 4840  df-res 4841  df-ima 4842  df-iota 5371  df-fun 5410  df-fn 5411  df-f 5412  df-f1 5413  df-fo 5414  df-f1o 5415  df-fv 5416  df-isom 5417  df-riota 6041  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-om 6468  df-1st 6568  df-2nd 6569  df-recs 6820  df-rdg 6854  df-1o 6910  df-oadd 6914  df-er 7091  df-map 7206  df-pm 7207  df-en 7301  df-dom 7302  df-sdom 7303  df-fin 7304  df-fi 7651  df-sup 7681  df-oi 7714  df-card 8099  df-pnf 9410  df-mnf 9411  df-xr 9412  df-ltxr 9413  df-le 9414  df-sub 9587  df-neg 9588  df-div 9984  df-nn 10313  df-2 10370  df-3 10371  df-4 10372  df-5 10373  df-6 10374  df-7 10375  df-8 10376  df-9 10377  df-10 10378  df-n0 10570  df-z 10637  df-dec 10746  df-uz 10852  df-q 10944  df-rp 10982  df-xneg 11079  df-xadd 11080  df-xmul 11081  df-ioo 11294  df-icc 11297  df-fz 11427  df-fzo 11535  df-fl 11628  df-seq 11793  df-exp 11852  df-hash 12090  df-cj 12574  df-re 12575  df-im 12576  df-sqr 12710  df-abs 12711  df-clim 12952  df-sum 13150  df-struct 14161  df-ndx 14162  df-slot 14163  df-base 14164  df-plusg 14236  df-mulr 14237  df-starv 14238  df-tset 14242  df-ple 14243  df-ds 14245  df-unif 14246  df-rest 14346  df-topn 14347  df-topgen 14367  df-psmet 17655  df-xmet 17656  df-met 17657  df-bl 17658  df-mopn 17659  df-fbas 17660  df-fg 17661  df-cnfld 17665  df-top 18347  df-bases 18349  df-topon 18350  df-topsp 18351  df-cld 18467  df-ntr 18468  df-cls 18469  df-nei 18546  df-lp 18584  df-perf 18585  df-cn 18675  df-cnp 18676  df-haus 18763  df-fil 19263  df-fm 19355  df-flim 19356  df-flf 19357  df-xms 19739  df-ms 19740  df-cncf 20298  df-limc 21185  df-dv 21186

This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  21343