Theorem dvfsumlem1 19863

Description: Lemma for dvfsumrlim 19868. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvfsum.s	|- S = ( T (,) +oo )
dvfsum.z	|- Z = ( ZZ>= ` M )
dvfsum.m	|- ( ph -> M e. ZZ )
dvfsum.d	|- ( ph -> D e. RR )
dvfsum.md	|- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
dvfsum.t	|- ( ph -> T e. RR )
dvfsum.a	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
dvfsum.b1	|- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
dvfsum.b2	|- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
dvfsum.b3	|- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
dvfsum.c	|- ( x = k -> B = C )
dvfsum.u	|- ( ph -> U e. RR* )
dvfsum.l	|- ( ( ph /\ ( x e. S /\ k e. S ) /\ ( D <_ x /\ x <_ k /\ k <_ U ) ) -> C <_ B )
dvfsum.h	|- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
dvfsumlem1.1	|- ( ph -> X e. S )
dvfsumlem1.2	|- ( ph -> Y e. S )
dvfsumlem1.3	|- ( ph -> D <_ X )
dvfsumlem1.4	|- ( ph -> X <_ Y )
dvfsumlem1.5	|- ( ph -> Y <_ U )
dvfsumlem1.6	|- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )

Assertion

Ref	Expression
dvfsumlem1	|- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Distinct variable groups:   B, k   x, C   x, k, D   ph, k, x   S, k, x   k, M, x   x, T   k, Y, x   x, Z   U, k, x   k, X, x

Allowed substitution hints:   A( x, k)   B( x)   C( k)   T( k)   H( x, k)   V( x, k)   Z( k)

Proof of Theorem dvfsumlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . . 10 |- S = ( T (,) +oo )
2		ioossre 10928	. . . . . . . . . 10 |- ( T (,) +oo ) C_ RR
3	1, 2	eqsstri 3338	. . . . . . . . 9 |- S C_ RR
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> Y e. S )
5	3, 4	sseldi 3306	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. RR )
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. S )
7	3, 6	sseldi 3306	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X e. RR )
8	7	flcld 11162	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
9		reflcl 11160	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) e. RR )
10	7, 9	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. RR )
11		flle 11163	. . . . . . . . . 10 |- ( X e. RR -> ( |_ ` X ) <_ X )
12	7, 11	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ X )
13		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> X <_ Y )
14	10, 7, 5, 12, 13	letrd 9183	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( |_ ` X ) <_ Y )
15		flbi 11178	. . . . . . . . 9 |- ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> ( ( |_ ` X ) <_ Y /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
16	15	baibd 876	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Y e. RR /\ ( |_ ` X ) e. ZZ ) /\ ( |_ ` X ) <_ Y ) -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
17	5, 8, 14, 16	syl21anc 1183	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) <-> Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
18	17	biimpar 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( |_ ` X ) )
19	18	oveq2d 6056	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( |_ ` X ) ) )
20	19	oveq1d 6055	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
21	18	oveq2d 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
22	21	sumeq1d 12450	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
23	22	oveq1d 6055	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
24	20, 23	oveq12d 6058	. . 3 |- ( ( ph /\ Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
25		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
26	7	adantr 452	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> X e. RR )
27	26	flcld 11162	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` X ) e. ZZ )
28	27	peano2zd 10334	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
29	25, 28	eqeltrd 2478	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> Y e. ZZ )
30		flid 11171	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. ZZ -> ( |_ ` Y ) = Y )
31	29, 30	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = Y )
32	31, 25	eqtrd 2436	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( |_ ` Y ) = ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
33	32	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( Y - ( |_ ` Y ) ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
34	33	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
35	5	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> Y e. CC )
36	10	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( |_ ` X ) e. CC )
37	35, 36	subcld 9367	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Y - ( |_ ` X ) ) e. CC )
38		ax-1cn 9004	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
39	38	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
40	3	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> S C_ RR )
41		dvfsum.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. RR )
42		dvfsum.b1	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. V )
43		dvfsum.b3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( RR _D ( x e. S |-> A ) ) = ( x e. S |-> B ) )
44	40, 41, 42, 43	dvmptrecl 19861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. RR )
45	44	recnd 9070	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> B e. CC )
46	45	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. x e. S B e. CC )
47		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x [_ Y / x ]_ B
48	47	nfel1 2550	. . . . . . . . . . 11 |- F/ x [_ Y / x ]_ B e. CC
49		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = Y -> B = [_ Y / x ]_ B )
50	49	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> ( B e. CC <-> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
51	48, 50	rspc 3006	. . . . . . . . . 10 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S B e. CC -> [_ Y / x ]_ B e. CC ) )
52	4, 46, 51	sylc 58	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
53	37, 39, 52	subdird 9446	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) )
54	35, 36, 39	subsub4d 9398	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) = ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
55	54	oveq1d 6055	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) - 1 ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
56	52	mulid2d 9062	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) = [_ Y / x ]_ B )
57	56	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - ( 1 x. [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
58	53, 55, 57	3eqtr3d 2444	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
59	58	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
60	34, 59	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) )
61		dvfsum.m	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M e. ZZ )
62	8	peano2zd 10334	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ )
63	61	zred 10331	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M e. RR )
64		peano2rem 9323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. RR -> ( M - 1 ) e. RR )
65	63, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. RR )
66		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D e. RR )
67		dvfsum.md	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> M <_ ( D + 1 ) )
68		1re 9046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 1 e. RR
69	68	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> 1 e. RR )
70	63, 69, 66	lesubaddd 9579	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ D <-> M <_ ( D + 1 ) ) )
71	67, 70	mpbird 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ D )
72		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> D <_ X )
73	65, 66, 7, 71, 72	letrd 9183	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ X )
74		peano2zm 10276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
75	61, 74	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( M - 1 ) e. ZZ )
76		flge 11169	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( X e. RR /\ ( M - 1 ) e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
77	7, 75, 76	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ X <-> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) ) )
78	73, 77	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) )
79	63, 69, 10	lesubaddd 9579	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( M - 1 ) <_ ( |_ ` X ) <-> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
80	78, 79	mpbid 202	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
81		eluz2 10450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) <-> ( M e. ZZ /\ ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ZZ /\ M <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
82	61, 62, 80, 81	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
83		dvfsum.b2	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. RR )
84	83	recnd 9070	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. Z ) -> B e. CC )
85	84	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A. x e. Z B e. CC )
86		elfzuz 11011	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
87		dvfsum.z	. . . . . . . . . . . . 13 |- Z = ( ZZ>= ` M )
88	86, 87	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> k e. Z )
89		dvfsum.c	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = k -> B = C )
90	89	eleq1d 2470	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = k -> ( B e. CC <-> C e. CC ) )
91	90	rspccva 3011	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. x e. Z B e. CC /\ k e. Z ) -> C e. CC )
92	85, 88, 91	syl2an 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) -> C e. CC )
93		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. _V )
95		eqeq2 2413	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> ( x = k <-> x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
96	95	biimpar 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> x = k )
97	96, 89	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) /\ x = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> B = C )
98	94, 97	csbied 3253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B = C )
99	98	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( ( |_ ` X ) + 1 ) -> C = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
100	82, 92, 99	fsumm1 12492	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
101		pncan 9267	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` X ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
102	36, 38, 101	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) = ( |_ ` X ) )
103	102	oveq2d 6056	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) = ( M ... ( |_ ` X ) ) )
104	103	sumeq1d 12450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C )
105	104	oveq1d 6055	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( ( ( |_ ` X ) + 1 ) - 1 ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
106	100, 105	eqtrd 2436	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
107	106	adantr 452	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
108	32	oveq2d 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( M ... ( |_ ` Y ) ) = ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
109	108	sumeq1d 12450	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) C )
110	25	csbeq1d 3217	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B = [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B )
111	110	oveq2d 6056	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) / x ]_ B ) )
112	107, 109, 111	3eqtr4d 2446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) )
113	112	oveq1d 6055	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) )
114		fzfid 11267	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( M ... ( |_ ` X ) ) e. Fin )
115		elfzuz 11011	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
116	115, 87	syl6eleqr 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) -> k e. Z )
117	85, 116, 91	syl2an 464	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) ) -> C e. CC )
118	114, 117	fsumcl 12482	. . . . . . . 8 |- ( ph -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C e. CC )
119	41	recnd 9070	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. S ) -> A e. CC )
120	119	ralrimiva 2749	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. S A e. CC )
121		nfcsb1v 3243	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ x [_ Y / x ]_ A
122	121	nfel1 2550	. . . . . . . . . 10 |- F/ x [_ Y / x ]_ A e. CC
123		csbeq1a 3219	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = Y -> A = [_ Y / x ]_ A )
124	123	eleq1d 2470	. . . . . . . . . 10 |- ( x = Y -> ( A e. CC <-> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
125	122, 124	rspc 3006	. . . . . . . . 9 |- ( Y e. S -> ( A. x e. S A e. CC -> [_ Y / x ]_ A e. CC ) )
126	4, 120, 125	sylc 58	. . . . . . . 8 |- ( ph -> [_ Y / x ]_ A e. CC )
127	118, 52, 126	addsubd 9388	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
128	127	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C + [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
129	113, 128	eqtrd 2436	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) = ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) )
130	60, 129	oveq12d 6058	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) )
131	37, 52	mulcld 9064	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
132	131	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) e. CC )
133	52	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> [_ Y / x ]_ B e. CC )
134	118, 126	subcld 9367	. . . . . 6 |- ( ph -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
135	134	adantr 452	. . . . 5 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) e. CC )
136	132, 133, 135	nppcan3d 9394	. . . 4 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ B ) + ( ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) + [_ Y / x ]_ B ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
137	130, 136	eqtrd 2436	. . 3 |- ( ( ph /\ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
138		dvfsumlem1.6	. . . 4 |- ( ph -> Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) )
139		peano2re 9195	. . . . . 6 |- ( ( |_ ` X ) e. RR -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
140	10, 139	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( |_ ` X ) + 1 ) e. RR )
141	5, 140	leloed 9172	. . . 4 |- ( ph -> ( Y <_ ( ( |_ ` X ) + 1 ) <-> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) ) )
142	138, 141	mpbid 202	. . 3 |- ( ph -> ( Y < ( ( |_ ` X ) + 1 ) \/ Y = ( ( |_ ` X ) + 1 ) ) )
143	24, 137, 142	mpjaodan 762	. 2 |- ( ph -> ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
144		ovex 6065	. . 3 |- ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V
145		nfcv 2540	. . . 4 |- F/_ x Y
146		nfcv 2540	. . . . . 6 |- F/_ x ( Y - ( |_ ` Y ) )
147		nfcv 2540	. . . . . 6 |- F/_ x x.
148	146, 147, 47	nfov 6063	. . . . 5 |- F/_ x ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B )
149		nfcv 2540	. . . . 5 |- F/_ x +
150		nfcv 2540	. . . . . 6 |- F/_ x sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C
151		nfcv 2540	. . . . . 6 |- F/_ x -
152	150, 151, 121	nfov 6063	. . . . 5 |- F/_ x ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A )
153	148, 149, 152	nfov 6063	. . . 4 |- F/_ x ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
154		id 20	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> x = Y )
155		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( |_ ` x ) = ( |_ ` Y ) )
156	154, 155	oveq12d 6058	. . . . . 6 |- ( x = Y -> ( x - ( |_ ` x ) ) = ( Y - ( |_ ` Y ) ) )
157	156, 49	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) = ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) )
158	155	oveq2d 6056	. . . . . . 7 |- ( x = Y -> ( M ... ( |_ ` x ) ) = ( M ... ( |_ ` Y ) ) )
159	158	sumeq1d 12450	. . . . . 6 |- ( x = Y -> sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C = sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C )
160	159, 123	oveq12d 6058	. . . . 5 |- ( x = Y -> ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) = ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) )
161	157, 160	oveq12d 6058	. . . 4 |- ( x = Y -> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
162		dvfsum.h	. . . 4 |- H = ( x e. S |-> ( ( ( x - ( |_ ` x ) ) x. B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` x ) ) C - A ) ) )
163	145, 153, 161, 162	fvmptf 5780	. . 3 |- ( ( Y e. S /\ ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) e. _V ) -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
164	4, 144, 163	sylancl 644	. 2 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( Y - ( |_ ` Y ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` Y ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
165	131, 126, 118	subadd23d 9389	. 2 |- ( ph -> ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) = ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) + ( sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C - [_ Y / x ]_ A ) ) )
166	143, 164, 165	3eqtr4d 2446	1 |- ( ph -> ( H ` Y ) = ( ( ( ( Y - ( |_ ` X ) ) x. [_ Y / x ]_ B ) - [_ Y / x ]_ A ) + sum_ k e. ( M ... ( |_ ` X ) ) C ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   \/ wo 358   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211   C_ wss 3280   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   1c1 8947   + caddc 8949   x. cmul 8951   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   - cmin 9247   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   (,)cioo 10872   ...cfz 10999   |_cfl 11156   sum_csu 12434   _D cdv 19703

This theorem is referenced by:  dvfsumlem2  19864

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-rest 13605  df-topn 13606  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-fbas 16654  df-fg 16655  df-cnfld 16659  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-topsp 16922  df-cld 17038  df-ntr 17039  df-cls 17040  df-nei 17117  df-lp 17155  df-perf 17156  df-cn 17245  df-cnp 17246  df-haus 17333  df-fil 17831  df-fm 17923  df-flim 17924  df-flf 17925  df-xms 18303  df-ms 18304  df-cncf 18861  df-limc 19706  df-dv 19707