Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plymullem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plymullem1 23774
 Description: Derive the coefficient function for the product of two polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyaddlem.a2 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
plyaddlem.b2 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyaddlem.f (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
plyaddlem.g (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
Assertion
Ref Expression
plymullem1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑘,𝑛,𝐵   𝑘,𝑀,𝑛   𝑘,𝑁,𝑛   𝑧,𝑘,𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑧,𝑘)   𝐵(𝑧)   𝑆(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐹(𝑧,𝑘,𝑛)   𝐺(𝑧,𝑘,𝑛)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)

Proof of Theorem plymullem1
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnex 9896 . . . 4 ℂ ∈ V
21a1i 11 . . 3 (𝜑 → ℂ ∈ V)
3 sumex 14266 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
43a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
5 sumex 14266 . . . 4 Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V
65a1i 11 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ V)
7 plyaddlem.f . . 3 (𝜑𝐹 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘))))
8 plyaddlem.g . . 3 (𝜑𝐺 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
92, 4, 6, 7, 8offval2 6812 . 2 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
10 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝐵𝑚) = (𝐵𝑛))
11 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (𝑧𝑚) = (𝑧𝑛))
1210, 11oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) = ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)))
1312oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
14 fveq2 6103 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (𝐵𝑚) = (𝐵‘(𝑛𝑘)))
15 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (𝑧𝑚) = (𝑧↑(𝑛𝑘)))
1614, 15oveq12d 6567 . . . . . . 7 (𝑚 = (𝑛𝑘) → ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚)) = ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘))))
1716oveq2d 6565 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑛𝑘) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑚) · (𝑧𝑚))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
18 elfznn0 12302 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19 plyaddlem.a . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2019adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐴:ℕ0⟶ℂ)
2120ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
22 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2322adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
2421, 23mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
2518, 24sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
26 elfznn0 12302 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
27 plyaddlem.b . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2827adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → 𝐵:ℕ0⟶ℂ)
2928ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
30 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
3130adantll 746 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
3229, 31mulcld 9939 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
3326, 32sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
3425, 33anim12dan 878 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ))
35 mulcl 9899 . . . . . . 7 ((((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ ∧ ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
3634, 35syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ (𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
3713, 17, 36fsum0diag2 14357 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
38 plyaddlem.m . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
3938nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
4039ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℂ)
41 plyaddlem.n . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
4241nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
4342ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℂ)
44 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4544adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
4645nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℂ)
4740, 43, 46addsubd 10292 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) = ((𝑀𝑘) + 𝑁))
48 fznn0sub 12244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (0...𝑀) → (𝑀𝑘) ∈ ℕ0)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑘) ∈ ℕ0)
50 nn0uz 11598 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
5149, 50syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (𝑀𝑘) ∈ (ℤ‘0))
5241nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
5352ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
54 eluzadd 11592 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑀𝑘) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑘) + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5551, 53, 54syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀𝑘) + 𝑁) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5647, 55eqeltrd 2688 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑁)))
5743addid2d 10116 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
5857fveq2d 6107 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (ℤ‘(0 + 𝑁)) = (ℤ𝑁))
5956, 58eleqtrd 2690 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ𝑁))
60 fzss2 12252 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 𝑁) − 𝑘) ∈ (ℤ𝑁) → (0...𝑁) ⊆ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
6159, 60syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0...𝑁) ⊆ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
6244, 24sylan2 490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
6362adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
64 elfznn0 12302 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ ℕ0)
6564, 32sylan2 490 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
6665adantlr 747 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
6763, 66mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...𝑁)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
68 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → ¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
6968adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁))
70 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)))
7170, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
73 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7441, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ0)
7574, 50syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0))
76 uzsplit 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7775, 76syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
7850, 77syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
79 ax-1cn 9873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
80 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8142, 79, 80sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
8281oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (0...((𝑁 + 1) − 1)) = (0...𝑁))
8382uneq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8478, 83eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8584ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ℕ0 = ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8672, 85eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
87 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ((0...𝑁) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ↔ (𝑛 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8886, 87sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑛 ∈ (0...𝑁) ∨ 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
8988ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (¬ 𝑛 ∈ (0...𝑁) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
9069, 89mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → 𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
91 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐵:ℕ0⟶ℂ → Fun 𝐵)
9227, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → Fun 𝐵)
93 ssun2 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ((0...((𝑁 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
9493, 78syl5sseqr 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ ℕ0)
95 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵:ℕ0⟶ℂ → dom 𝐵 = ℕ0)
9627, 95syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → dom 𝐵 = ℕ0)
9794, 96sseqtr4d 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵)
98 funfvima2 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun 𝐵 ∧ (ℤ‘(𝑁 + 1)) ⊆ dom 𝐵) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
9992, 97, 98syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
10099ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑛 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1)))))
10190, 100mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) ∈ (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))))
102 plyaddlem.b2 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
103102ad3antrrr 762 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵 “ (ℤ‘(𝑁 + 1))) = {0})
104101, 103eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) ∈ {0})
105 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵𝑛) ∈ {0} → (𝐵𝑛) = 0)
106104, 105syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝐵𝑛) = 0)
107106oveq1d 6564 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = (0 · (𝑧𝑛)))
108 simplr 788 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → 𝑧 ∈ ℂ)
109108, 71, 30syl2an 493 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
110109mul02d 10113 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (0 · (𝑧𝑛)) = 0)
111107, 110eqtrd 2644 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = 0)
112111oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · 0))
11362adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
114113mul01d 10114 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · 0) = 0)
115112, 114eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∖ (0...𝑁))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
116 fzfid 12634 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin)
11761, 67, 115, 116fsumss 14303 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
118117sumeq2dv 14281 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
119 fzfid 12634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ∈ Fin)
120 fzfid 12634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑁) ∈ Fin)
121119, 120, 62, 65fsum2mul 14363 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...𝑁)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
12239, 42addcomd 10117 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑁 + 𝑀))
12341, 50syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘0))
12438nn0zd 11356 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
125 eluzadd 11592 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
126123, 124, 125syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ‘(0 + 𝑀)))
12739addid2d 10116 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 + 𝑀) = 𝑀)
128127fveq2d 6107 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℤ‘(0 + 𝑀)) = (ℤ𝑀))
129126, 128eleqtrd 2690 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + 𝑀) ∈ (ℤ𝑀))
130122, 129eqeltrd 2688 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀))
131 fzss2 12252 . . . . . . . . 9 ((𝑀 + 𝑁) ∈ (ℤ𝑀) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
132130, 131syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
133132adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...𝑀) ⊆ (0...(𝑀 + 𝑁)))
13462adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) ∈ ℂ)
13533adantlr 747 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
136134, 135mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
137116, 136fsumcl 14311 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑀)) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) ∈ ℂ)
138 eldifn 3695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
139138adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀))
140 eldifi 3694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)))
141140, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
142141adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
143 peano2nn0 11210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
14438, 143syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ ℕ0)
145144, 50syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0))
146 uzsplit 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ‘0) → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (ℤ‘0) = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
14850, 147syl5eq 2656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ℕ0 = ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
149 pncan 10166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
15039, 79, 149sylancl 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
151150oveq2d 6565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜑 → (0...((𝑀 + 1) − 1)) = (0...𝑀))
152151uneq1d 3728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
153148, 152eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
154153ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ℕ0 = ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
155142, 154eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
156 elun 3715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑘 ∈ ((0...𝑀) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1))) ↔ (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
157155, 156sylib 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (0...𝑀) ∨ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
158157ord 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (¬ 𝑘 ∈ (0...𝑀) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
159139, 158mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
160 ffun 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → Fun 𝐴)
16119, 160syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → Fun 𝐴)
162 ssun2 3739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ((0...((𝑀 + 1) − 1)) ∪ (ℤ‘(𝑀 + 1)))
163162, 148syl5sseqr 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ ℕ0)
164 fdm 5964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴:ℕ0⟶ℂ → dom 𝐴 = ℕ0)
16519, 164syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → dom 𝐴 = ℕ0)
166163, 165sseqtr4d 3605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴)
167 funfvima2 6397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Fun 𝐴 ∧ (ℤ‘(𝑀 + 1)) ⊆ dom 𝐴) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
168161, 166, 167syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
169168ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑀 + 1)) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1)))))
170159, 169mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))))
171 plyaddlem.a2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
172171ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴 “ (ℤ‘(𝑀 + 1))) = {0})
173170, 172eleqtrd 2690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) ∈ {0})
174 elsni 4142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐴𝑘) ∈ {0} → (𝐴𝑘) = 0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝐴𝑘) = 0)
176175oveq1d 6564 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = (0 · (𝑧𝑘)))
177141, 23sylan2 490 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
178177mul02d 10113 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0 · (𝑧𝑘)) = 0)
179176, 178eqtrd 2644 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
180179adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) = 0)
181180oveq1d 6564 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (0 · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
18233adantlr 747 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) ∈ ℂ)
183182mul02d 10113 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (0 · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
184181, 183eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) ∧ 𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
185184sumeq2dv 14281 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0)
186 fzfid 12634 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin)
187186olcd 407 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → ((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin))
188 sumz 14300 . . . . . . . . 9 (((0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ⊆ (ℤ‘0) ∨ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘)) ∈ Fin) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0 = 0)
189187, 188syl 17 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))0 = 0)
190185, 189eqtrd 2644 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑘 ∈ ((0...(𝑀 + 𝑁)) ∖ (0...𝑀))) → Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = 0)
191 fzfid 12634 . . . . . . 7 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (0...(𝑀 + 𝑁)) ∈ Fin)
192133, 137, 190, 191fsumss 14303 . . . . . 6 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑀𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
193118, 121, 1923eqtr3d 2652 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = Σ𝑘 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑛 ∈ (0...((𝑀 + 𝑁) − 𝑘))(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
194 fzfid 12634 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (0...𝑛) ∈ Fin)
195 elfznn0 12302 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
196195, 31sylan2 490 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (𝑧𝑛) ∈ ℂ)
197 simpll 786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝜑)
198 elfznn0 12302 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → 𝑘 ∈ ℕ0)
19919ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
200197, 198, 199syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
201 fznn0sub 12244 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (0...𝑛) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
20227ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
203197, 201, 202syl2an 493 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝐵‘(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
204200, 203mulcld 9939 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) ∈ ℂ)
205194, 196, 204fsummulc1 14359 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
206 simplr 788 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → 𝑧 ∈ ℂ)
207206, 198, 22syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧𝑘) ∈ ℂ)
208 expcl 12740 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ (𝑛𝑘) ∈ ℕ0) → (𝑧↑(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
209206, 201, 208syl2an 493 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑛𝑘)) ∈ ℂ)
210200, 207, 203, 209mul4d 10127 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
211206adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑧 ∈ ℂ)
212201adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑛𝑘) ∈ ℕ0)
213198adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℕ0)
214211, 212, 213expaddd 12872 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑘 + (𝑛𝑘))) = ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘))))
215213nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑘 ∈ ℂ)
216195ad2antlr 759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
217216nn0cnd 11230 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → 𝑛 ∈ ℂ)
218215, 217pncan3d 10274 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑘 + (𝑛𝑘)) = 𝑛)
219218oveq2d 6565 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (𝑧↑(𝑘 + (𝑛𝑘))) = (𝑧𝑛))
220214, 219eqtr3d 2646 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘))) = (𝑧𝑛))
221220oveq2d 6565 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · ((𝑧𝑘) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
222210, 221eqtrd 2644 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑛)) → (((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = (((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
223222sumeq2dv 14281 . . . . . . 7 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)))
224205, 223eqtr4d 2647 . . . . . 6 (((𝜑𝑧 ∈ ℂ) ∧ 𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))) → (Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
225224sumeq2dv 14281 . . . . 5 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)(((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · ((𝐵‘(𝑛𝑘)) · (𝑧↑(𝑛𝑘)))))
22637, 193, 2253eqtr4rd 2655 . . . 4 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))))
227 fveq2 6103 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝐵𝑛) = (𝐵𝑘))
228 oveq2 6557 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑘 → (𝑧𝑛) = (𝑧𝑘))
229227, 228oveq12d 6567 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = ((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
230229cbvsumv 14274 . . . . 5 Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛)) = Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))
231230oveq2i 6560 . . . 4 𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑛 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑛) · (𝑧𝑛))) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))
232226, 231syl6eq 2660 . . 3 ((𝜑𝑧 ∈ ℂ) → Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛)) = (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘))))
233232mpteq2dva 4672 . 2 (𝜑 → (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ (Σ𝑘 ∈ (0...𝑀)((𝐴𝑘) · (𝑧𝑘)) · Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐵𝑘) · (𝑧𝑘)))))
2349, 233eqtr4d 2647 1 (𝜑 → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑛 ∈ (0...(𝑀 + 𝑁))(Σ𝑘 ∈ (0...𝑛)((𝐴𝑘) · (𝐵‘(𝑛𝑘))) · (𝑧𝑛))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125   ↦ cmpt 4643  dom cdm 5038   “ cima 5041  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘𝑓 cof 6793  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820   − cmin 10145  ℕ0cn0 11169  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  ↑cexp 12722  Σcsu 14264  Polycply 23744 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  plymullem  23776  coemullem  23810
 Copyright terms: Public domain W3C validator