Theorem sumz 14300

Description: Any sum of zero over a summable set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
sumz	⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑀

Proof of Theorem sumz

Dummy variables 𝑓 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘𝑀)
2		simpr 476	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		simpl 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀))
4		c0ex 9913	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
5	4	fvconst2 6374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = 0)
6		ifid 4075	. . . . . . 7 ⊢ if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0) = 0
7	5, 6	syl6eqr 2662	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (((ℤ≥‘𝑀) × {0})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ 𝐴, 0, 0))
9		0cnd 9912	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
10	1, 2, 3, 8, 9	zsum 14296	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))))
11		fclim 14132	. . . . . 6 ⊢ ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ
12		ffun 5961	. . . . . 6 ⊢ ( ⇝ :dom ⇝ ⟶ℂ → Fun ⇝ )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Fun ⇝
14		serclim0 14156	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
15	14	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0)
16		funbrfv 6144	. . . . 5 ⊢ (Fun ⇝ → (seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0})) ⇝ 0 → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))) = 0))
17	13, 15, 16	mpsyl 66	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ( ⇝ ‘seq𝑀( + , ((ℤ≥‘𝑀) × {0}))) = 0)
18	10, 17	eqtrd 2644	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
19		uzf 11566	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
20	19	fdmi 5965	. . . . . . . 8 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
21	20	eleq2i 2680	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ dom ℤ≥ ↔ 𝑀 ∈ ℤ)
22		ndmfv 6128	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ dom ℤ≥ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
23	21, 22	sylnbir 320	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (ℤ≥‘𝑀) = ∅)
24	23	sseq2d 3596	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑀 ∈ ℤ → (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
25	24	biimpac 502	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐴 ⊆ ∅)
26		ss0 3926	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
27		sumeq1 14267	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = Σ𝑘 ∈ ∅ 0)
28		sum0 14299	. . . . 5 ⊢ Σ𝑘 ∈ ∅ 0 = 0
29	27, 28	syl6eq 2660	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
30	25, 26, 29	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∧ ¬ 𝑀 ∈ ℤ) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
31	18, 30	pm2.61dan 828	. 2 ⊢ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
32		fz1f1o 14288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)))
33		eqidd 2611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝑓‘𝑛) → 0 = 0)
34		simpl 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (#‘𝐴) ∈ ℕ)
35		simpr 476	. . . . . . . . 9 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)
36		0cnd 9912	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 0 ∈ ℂ)
37		elfznn 12241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → 𝑛 ∈ ℕ)
38	4	fvconst2 6374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴)) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
40	39	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) ∧ 𝑛 ∈ (1...(#‘𝐴))) → ((ℕ × {0})‘𝑛) = 0)
41	33, 34, 35, 36, 40	fsum 14298	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)))
42		nnuz 11599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
43	42	ser0 12715	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)) = 0)
44	43	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → (seq1( + , (ℕ × {0}))‘(#‘𝐴)) = 0)
45	41, 44	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
46	45	ex 449	. . . . . 6 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
47	46	exlimdv 1848	. . . . 5 ⊢ ((#‘𝐴) ∈ ℕ → (∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0))
48	47	imp 444	. . . 4 ⊢ (((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
49	29, 48	jaoi 393	. . 3 ⊢ ((𝐴 = ∅ ∨ ((#‘𝐴) ∈ ℕ ∧ ∃𝑓 𝑓:(1...(#‘𝐴))–1-1-onto→𝐴)) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
50	32, 49	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)
51	31, 50	jaoi 393	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑀) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘 ∈ 𝐴 0 = 0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ifcif 4036  𝒫 cpw 4108  {csn 4125   class class class wbr 4583   × cxp 5036  dom cdm 5038  Fun wfun 5798  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℂcc 9813  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℕcn 10897  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563  ...cfz 12197  seqcseq 12663  #chash 12979   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265

This theorem is referenced by:  fsum00  14371  fsumdvds  14868  pwp1fsum  14952  pcfac  15441  ovoliunnul  23082  vitalilem5  23187  itg1addlem5  23273  itg10a  23283  itg0  23352  itgz  23353  plymullem1  23774  coemullem  23810  logtayl  24206  ftalem5  24603  chp1  24693  logexprlim  24750  bposlem2  24810  rpvmasumlem  24976  axcgrid  25596  axlowdimlem16  25637  plymulx0  29950  signsplypnf  29953  knoppndvlem6  31678  volsupnfl  32624  binomcxplemnn0  37570  binomcxplemnotnn0  37577  sumnnodd  38697  stoweidlem37  38930  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  etransclem24  39151  etransclem32  39159  etransclem35  39162  sge0z  39268  aacllem  42356