Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  stoweidlem37 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem stoweidlem37 38930
 Description: This lemma is used to prove the existence of a function p as in Lemma 1 of [BrosowskiDeutsh] p. 90: p is in the subalgebra, such that 0 <= p <= 1, p(t_0) = 0, and p > 0 on T - U. Z is used for t0, P is used for p, (𝐺‘𝑖) is used for p(t_i). (Contributed by Glauco Siliprandi, 20-Apr-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
stoweidlem37.1 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
stoweidlem37.2 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
stoweidlem37.3 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
stoweidlem37.4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
stoweidlem37.5 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
stoweidlem37.6 (𝜑𝑍𝑇)
Assertion
Ref Expression
stoweidlem37 (𝜑 → (𝑃𝑍) = 0)
Distinct variable groups:   𝑓,𝑖,𝑇   𝐴,𝑓   𝑓,𝐺   𝜑,𝑓,𝑖   ,𝑖,𝑡,𝑇   𝐴,   ,𝐺,𝑡   ,𝑍,𝑖,𝑡   𝑖,𝑀,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡,)   𝐴(𝑡,𝑖)   𝑃(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝑄(𝑡,𝑓,,𝑖)   𝐺(𝑖)   𝑀(𝑓,)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem stoweidlem37
StepHypRef Expression
1 stoweidlem37.6 . . 3 (𝜑𝑍𝑇)
2 stoweidlem37.1 . . . 4 𝑄 = {𝐴 ∣ ((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1))}
3 stoweidlem37.2 . . . 4 𝑃 = (𝑡𝑇 ↦ ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑡)))
4 stoweidlem37.3 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
5 stoweidlem37.4 . . . 4 (𝜑𝐺:(1...𝑀)⟶𝑄)
6 stoweidlem37.5 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐴) → 𝑓:𝑇⟶ℝ)
72, 3, 4, 5, 6stoweidlem30 38923 . . 3 ((𝜑𝑍𝑇) → (𝑃𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)))
81, 7mpdan 699 . 2 (𝜑 → (𝑃𝑍) = ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)))
95fnvinran 38196 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → (𝐺𝑖) ∈ 𝑄)
10 fveq1 6102 . . . . . . . . . 10 ( = (𝐺𝑖) → (𝑍) = ((𝐺𝑖)‘𝑍))
1110eqeq1d 2612 . . . . . . . . 9 ( = (𝐺𝑖) → ((𝑍) = 0 ↔ ((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0))
12 fveq1 6102 . . . . . . . . . . . 12 ( = (𝐺𝑖) → (𝑡) = ((𝐺𝑖)‘𝑡))
1312breq2d 4595 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝐺𝑖) → (0 ≤ (𝑡) ↔ 0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡)))
1412breq1d 4593 . . . . . . . . . . 11 ( = (𝐺𝑖) → ((𝑡) ≤ 1 ↔ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))
1513, 14anbi12d 743 . . . . . . . . . 10 ( = (𝐺𝑖) → ((0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
1615ralbidv 2969 . . . . . . . . 9 ( = (𝐺𝑖) → (∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1) ↔ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1)))
1711, 16anbi12d 743 . . . . . . . 8 ( = (𝐺𝑖) → (((𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ (𝑡) ∧ (𝑡) ≤ 1)) ↔ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
1817, 2elrab2 3333 . . . . . . 7 ((𝐺𝑖) ∈ 𝑄 ↔ ((𝐺𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
199, 18sylib 207 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖) ∈ 𝐴 ∧ (((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0 ∧ ∀𝑡𝑇 (0 ≤ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ∧ ((𝐺𝑖)‘𝑡) ≤ 1))))
2019simprld 791 . . . . 5 ((𝜑𝑖 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0)
2120sumeq2dv 14281 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍) = Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0)
22 fzfi 12633 . . . . 5 (1...𝑀) ∈ Fin
23 olc 398 . . . . 5 ((1...𝑀) ∈ Fin → ((1...𝑀) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin))
24 sumz 14300 . . . . 5 (((1...𝑀) ⊆ (ℤ‘1) ∨ (1...𝑀) ∈ Fin) → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0)
2522, 23, 24mp2b 10 . . . 4 Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)0 = 0
2621, 25syl6eq 2660 . . 3 (𝜑 → Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍) = 0)
2726oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝑀) · Σ𝑖 ∈ (1...𝑀)((𝐺𝑖)‘𝑍)) = ((1 / 𝑀) · 0))
284nncnd 10913 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
294nnne0d 10942 . . . 4 (𝜑𝑀 ≠ 0)
3028, 29reccld 10673 . . 3 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℂ)
3130mul01d 10114 . 2 (𝜑 → ((1 / 𝑀) · 0) = 0)
328, 27, 313eqtrd 2648 1 (𝜑 → (𝑃𝑍) = 0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583   ↦ cmpt 4643  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   ≤ cle 9954   / cdiv 10563  ℕcn 10897  ℤ≥cuz 11563  ...cfz 12197  Σcsu 14264 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265 This theorem is referenced by:  stoweidlem44  38937
 Copyright terms: Public domain W3C validator