Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzf 11566
 Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf :ℤ⟶𝒫 ℤ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3650 . . . 4 {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ⊆ ℤ
2 zex 11263 . . . . 5 ℤ ∈ V
32elpw2 4755 . . . 4 ({𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ⊆ ℤ)
41, 3mpbir 220 . . 3 {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
54rgenw 2908 . 2 𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ
6 df-uz 11564 . . 3 = (𝑗 ∈ ℤ ↦ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘})
76fmpt 6289 . 2 (∀𝑗 ∈ ℤ {𝑘 ∈ ℤ ∣ 𝑗𝑘} ∈ 𝒫 ℤ ↔ ℤ:ℤ⟶𝒫 ℤ)
85, 7mpbi 219 1 :ℤ⟶𝒫 ℤ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  {crab 2900   ⊆ wss 3540  𝒫 cpw 4108   class class class wbr 4583  ⟶wf 5800   ≤ cle 9954  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564 This theorem is referenced by:  eluzel2  11568  uzn0  11579  uzssz  11583  ltweuz  12622  uzin2  13932  rexanuz  13933  sumz  14300  sumss  14302  prod1  14513  prodss  14516  lmbr2  20873  lmff  20915  zfbas  21510  uzrest  21511  lmflf  21619  lmmbr2  22865  caucfil  22889  lmcau  22919  heibor1lem  32778
 Copyright terms: Public domain W3C validator