Theorem eluzel2 11568

Description: Implication of membership in an upper set of integers. (Contributed by NM, 6-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
eluzel2	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Proof of Theorem eluzel2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvdm 6130	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ dom ℤ≥)
2		uzf 11566	. . 3 ⊢ ℤ≥:ℤ⟶𝒫 ℤ
3	2	fdmi 5965	. 2 ⊢ dom ℤ≥ = ℤ
4	1, 3	syl6eleq 2698	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 1977  𝒫 cpw 4108  dom cdm 5038  ‘cfv 5804  ℤcz 11254  ℤ_≥cuz 11563

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812  df-ov 6552  df-neg 10148  df-z 11255  df-uz 11564

This theorem is referenced by:  eluz2  11569  uztrn  11580  uzneg  11582  uzss  11584  uz11  11586  eluzadd  11592  uzm1  11594  uzin  11596  uzind4  11622  uzsupss  11656  elfz5  12205  elfzel1  12212  eluzfz1  12219  fzsplit2  12237  fzopth  12249  ssfzunsn  12257  fzpred  12259  fzpreddisj  12260  uzsplit  12281  uzdisj  12282  fzm1  12289  uznfz  12292  nn0disj  12324  preduz  12330  fzolb  12345  fzoss2  12365  fzouzdisj  12373  ige2m2fzo  12398  fzen2  12630  seqp1  12678  seqcl  12683  seqfeq2  12686  seqfveq  12687  seqshft2  12689  seqsplit  12696  seqcaopr3  12698  seqf1olem2a  12701  seqf1olem1  12702  seqf1olem2  12703  seqid  12708  seqhomo  12710  seqz  12711  leexp2a  12778  hashfz  13074  fzsdom2  13075  hashfzo  13076  hashfzp1  13078  seqcoll  13105  rexanuz2  13937  cau4  13944  clim2ser  14233  clim2ser2  14234  climserle  14241  caurcvg  14255  caucvg  14257  fsumcvg  14290  fsumcvg2  14305  fsumsers  14306  fsumm1  14324  fsum1p  14326  fsumrev2  14356  telfsumo  14375  fsumparts  14379  cvgcmp  14389  cvgcmpub  14390  cvgcmpce  14391  isumsplit  14411  clim2prod  14459  clim2div  14460  prodfrec  14466  ntrivcvgtail  14471  fprodcvg  14499  fprodser  14518  fprodm1  14536  fprodeq0  14544  pcaddlem  15430  vdwnnlem2  15538  prmlem0  15650  gsumval2a  17102  telgsumfzs  18209  dvfsumle  23588  dvfsumge  23589  dvfsumabs  23590  coeid3  23800  ulmres  23946  ulmss  23955  chtdif  24684  ppidif  24689  bcmono  24802  axlowdimlem6  25627  extwwlkfablem2  26605  inffz  30867  inffzOLD  30868  mettrifi  32723  jm2.25  36584  jm2.16nn0  36589  dvgrat  37533  ssinc  38292  ssdec  38293  fzdifsuc2  38466  iuneqfzuzlem  38491  ssuzfz  38506  ioodvbdlimc1lem2  38822  ioodvbdlimc2lem  38824  carageniuncllem1  39411  caratheodorylem1  39416  av-extwwlkfablem2  41510