MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzf Structured version   Unicode version

Theorem uzf 10979
Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3548 . . . 4  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  C_  ZZ
2 zex 10770 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
32elpw2 4567 . . . 4  |-  ( { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  C_  ZZ )
41, 3mpbir 209 . . 3  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ
54rgenw 2901 . 2  |-  A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  e.  ~P ZZ
6 df-uz 10977 . . 3  |-  ZZ>=  =  ( j  e.  ZZ  |->  { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }
)
76fmpt 5976 . 2  |-  ( A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
85, 7mpbi 208 1  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1758   A.wral 2799   {crab 2803    C_ wss 3439   ~Pcpw 3971   class class class wbr 4403   -->wf 5525    <_ cle 9534   ZZcz 10761   ZZ>=cuz 10976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pr 4642  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-fv 5537  df-ov 6206  df-neg 9713  df-z 10762  df-uz 10977
This theorem is referenced by:  eluzel2  10981  uzn0  10991  uzssz  10995  ltweuz  11905  uzin2  12954  rexanuz  12955  sumz  13321  sumss  13323  lmbr2  19005  lmff  19047  zfbas  19611  uzrest  19612  lmflf  19720  lmmbr2  20912  caucfil  20936  lmcau  20965  prod1  27624  prodss  27627  heibor1lem  28879
  Copyright terms: Public domain W3C validator