MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzf Structured version   Unicode version

Theorem uzf 10851
Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3425 . . . 4  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  C_  ZZ
2 zex 10642 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
32elpw2 4444 . . . 4  |-  ( { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  C_  ZZ )
41, 3mpbir 209 . . 3  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ
54rgenw 2773 . 2  |-  A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  e.  ~P ZZ
6 df-uz 10849 . . 3  |-  ZZ>=  =  ( j  e.  ZZ  |->  { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }
)
76fmpt 5852 . 2  |-  ( A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
85, 7mpbi 208 1  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1755   A.wral 2705   {crab 2709    C_ wss 3316   ~Pcpw 3848   class class class wbr 4280   -->wf 5402    <_ cle 9406   ZZcz 10633   ZZ>=cuz 10848
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pr 4519  ax-cnex 9325  ax-resscn 9326
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-fv 5414  df-ov 6083  df-neg 9585  df-z 10634  df-uz 10849
This theorem is referenced by:  eluzel2  10853  uzn0  10863  uzssz  10867  ltweuz  11767  uzin2  12815  rexanuz  12816  sumz  13182  sumss  13184  lmbr2  18704  lmff  18746  zfbas  19310  uzrest  19311  lmflf  19419  lmmbr2  20611  caucfil  20635  lmcau  20664  prod1  27303  prodss  27306  heibor1lem  28549
  Copyright terms: Public domain W3C validator