MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzf Structured version   Unicode version

Theorem uzf 11095
Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3590 . . . 4  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  C_  ZZ
2 zex 10883 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
32elpw2 4616 . . . 4  |-  ( { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  C_  ZZ )
41, 3mpbir 209 . . 3  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ
54rgenw 2828 . 2  |-  A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  e.  ~P ZZ
6 df-uz 11093 . . 3  |-  ZZ>=  =  ( j  e.  ZZ  |->  { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }
)
76fmpt 6052 . 2  |-  ( A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
85, 7mpbi 208 1  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821    C_ wss 3481   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4452   -->wf 5589    <_ cle 9639   ZZcz 10874   ZZ>=cuz 11092
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pr 4691  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4251  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-id 4800  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-fv 5601  df-ov 6297  df-neg 9818  df-z 10875  df-uz 11093
This theorem is referenced by:  eluzel2  11097  uzn0  11107  uzssz  11111  ltweuz  12050  uzin2  13152  rexanuz  13153  sumz  13519  sumss  13521  lmbr2  19605  lmff  19647  zfbas  20242  uzrest  20243  lmflf  20351  lmmbr2  21543  caucfil  21567  lmcau  21596  prod1  28971  prodss  28974  heibor1lem  30200
  Copyright terms: Public domain W3C validator