MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzf Structured version   Unicode version

Theorem uzf 11088
Description: The domain and range of the upper integers function. (Contributed by Scott Fenton, 8-Aug-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
uzf  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ

Proof of Theorem uzf
Dummy variables  j 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3567 . . . 4  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  C_  ZZ
2 zex 10874 . . . . 5  |-  ZZ  e.  _V
32elpw2 4597 . . . 4  |-  ( { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  C_  ZZ )
41, 3mpbir 209 . . 3  |-  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ
54rgenw 2802 . 2  |-  A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_ 
k }  e.  ~P ZZ
6 df-uz 11086 . . 3  |-  ZZ>=  =  ( j  e.  ZZ  |->  { k  e.  ZZ  | 
j  <_  k }
)
76fmpt 6033 . 2  |-  ( A. j  e.  ZZ  { k  e.  ZZ  |  j  <_  k }  e.  ~P ZZ  <->  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ )
85, 7mpbi 208 1  |-  ZZ>= : ZZ --> ~P ZZ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1802   A.wral 2791   {crab 2795    C_ wss 3458   ~Pcpw 3993   class class class wbr 4433   -->wf 5570    <_ cle 9627   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pr 4672  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-ral 2796  df-rex 2797  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-op 4017  df-uni 4231  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-id 4781  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-fv 5582  df-ov 6280  df-neg 9808  df-z 10866  df-uz 11086
This theorem is referenced by:  eluzel2  11090  uzn0  11100  uzssz  11104  ltweuz  12046  uzin2  13151  rexanuz  13152  sumz  13518  sumss  13520  lmbr2  19626  lmff  19668  zfbas  20263  uzrest  20264  lmflf  20372  lmmbr2  21564  caucfil  21588  lmcau  21617  prod1  29044  prodss  29047  heibor1lem  30273
  Copyright terms: Public domain W3C validator