Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vitalilem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vitalilem5 23187
 Description: Lemma for vitali 23188. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vitali.1 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
vitali.2 𝑆 = ((0[,]1) / )
vitali.3 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
vitali.4 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
vitali.5 (𝜑𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
vitali.6 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹})
vitali.7 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
Assertion
Ref Expression
vitalilem5 ¬ 𝜑
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧,𝐺   𝜑,𝑛,𝑥,𝑧   𝑧,𝑆   𝑥,𝑇   𝑛,𝐹,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧   ,𝑛,𝑠,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑦,𝑠)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑛,𝑠)   𝑇(𝑦,𝑧,𝑛,𝑠)

Proof of Theorem vitalilem5
Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lt1 10429 . . . 4 0 < 1
2 0re 9919 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
3 1re 9918 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
4 0le1 10430 . . . . . 6 0 ≤ 1
5 ovolicc 23098 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 1) → (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0))
62, 3, 4, 5mp3an 1416 . . . . 5 (vol*‘(0[,]1)) = (1 − 0)
7 1m0e1 11008 . . . . 5 (1 − 0) = 1
86, 7eqtri 2632 . . . 4 (vol*‘(0[,]1)) = 1
91, 8breqtrri 4610 . . 3 0 < (vol*‘(0[,]1))
108, 3eqeltri 2684 . . . 4 (vol*‘(0[,]1)) ∈ ℝ
112, 10ltnlei 10037 . . 3 (0 < (vol*‘(0[,]1)) ↔ ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
129, 11mpbi 219 . 2 ¬ (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0
13 vitali.1 . . . . . 6 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ((𝑥 ∈ (0[,]1) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) ∧ (𝑥𝑦) ∈ ℚ)}
14 vitali.2 . . . . . 6 𝑆 = ((0[,]1) / )
15 vitali.3 . . . . . 6 (𝜑𝐹 Fn 𝑆)
16 vitali.4 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧))
17 vitali.5 . . . . . 6 (𝜑𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)))
18 vitali.6 . . . . . 6 𝑇 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹})
19 vitali.7 . . . . . 6 (𝜑 → ¬ ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
2013, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem2 23184 . . . . 5 (𝜑 → (ran 𝐹 ⊆ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ (-1[,]2)))
2120simp2d 1067 . . . 4 (𝜑 → (0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚))
2213vitalilem1 23182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Er (0[,]1)
23 erdm 7639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ( Er (0[,]1) → dom = (0[,]1))
2422, 23ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 dom = (0[,]1)
25 simpr 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧𝑆)
2625, 14syl6eleq 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ ((0[,]1) / ))
27 elqsn0 7703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom = (0[,]1) ∧ 𝑧 ∈ ((0[,]1) / )) → 𝑧 ≠ ∅)
2824, 26, 27sylancr 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ≠ ∅)
2922a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 Er (0[,]1))
3029qsss 7695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((0[,]1) / ) ⊆ 𝒫 (0[,]1))
3114, 30syl5eqss 3612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑𝑆 ⊆ 𝒫 (0[,]1))
3231sselda 3568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ∈ 𝒫 (0[,]1))
3332elpwid 4118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑧𝑆) → 𝑧 ⊆ (0[,]1))
3433sseld 3567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝐹𝑧) ∈ 𝑧 → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3528, 34embantd 57 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝑆) → ((𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3635ralimdva 2945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (∀𝑧𝑆 (𝑧 ≠ ∅ → (𝐹𝑧) ∈ 𝑧) → ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3716, 36mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1))
38 ffnfv 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹:𝑆⟶(0[,]1) ↔ (𝐹 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑧𝑆 (𝐹𝑧) ∈ (0[,]1)))
3915, 37, 38sylanbrc 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹:𝑆⟶(0[,]1))
40 frn 5966 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹:𝑆⟶(0[,]1) → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (0[,]1))
42 unitssre 12190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0[,]1) ⊆ ℝ
4341, 42syl6ss 3580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℝ)
44 reex 9906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ℝ ∈ V
4544elpw2 4755 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ↔ ran 𝐹 ⊆ ℝ)
4643, 45sylibr 223 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ)
4746anim1i 590 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
48 eldif 3550 . . . . . . . . . . . . . 14 (ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol) ↔ (ran 𝐹 ∈ 𝒫 ℝ ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol))
4947, 48sylibr 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ¬ ran 𝐹 ∈ dom vol) → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol))
5049ex 449 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (¬ ran 𝐹 ∈ dom vol → ran 𝐹 ∈ (𝒫 ℝ ∖ dom vol)))
5119, 50mt3d 139 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ dom vol)
5251adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → ran 𝐹 ∈ dom vol)
53 f1of 6050 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺:ℕ–1-1-onto→(ℚ ∩ (-1[,]1)) → 𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
5417, 53syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)))
55 inss1 3795 . . . . . . . . . . . . 13 (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℚ
56 qssre 11674 . . . . . . . . . . . . 13 ℚ ⊆ ℝ
5755, 56sstri 3577 . . . . . . . . . . . 12 (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ
58 fss 5969 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺:ℕ⟶(ℚ ∩ (-1[,]1)) ∧ (ℚ ∩ (-1[,]1)) ⊆ ℝ) → 𝐺:ℕ⟶ℝ)
5954, 57, 58sylancl 693 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℝ)
6059ffvelrnda 6267 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℝ)
61 shftmbl 23113 . . . . . . . . . 10 ((ran 𝐹 ∈ dom vol ∧ (𝐺𝑛) ∈ ℝ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6252, 60, 61syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → {𝑠 ∈ ℝ ∣ (𝑠 − (𝐺𝑛)) ∈ ran 𝐹} ∈ dom vol)
6362, 18fmptd 6292 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇:ℕ⟶dom vol)
6463ffvelrnda 6267 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
6564ralrimiva 2949 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
66 iunmbl 23128 . . . . . 6 (∀𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol → 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
6765, 66syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol)
68 mblss 23106 . . . . 5 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∈ dom vol → 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
6967, 68syl 17 . . . 4 (𝜑 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
70 ovolss 23060 . . . 4 (((0[,]1) ⊆ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ∧ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ) → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
7121, 69, 70syl2anc 691 . . 3 (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
72 eqid 2610 . . . . . 6 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) = seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))))
73 eqid 2610 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))
74 mblss 23106 . . . . . . 7 ((𝑇𝑚) ∈ dom vol → (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
7564, 74syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑇𝑚) ⊆ ℝ)
7613, 14, 15, 16, 17, 18, 19vitalilem4 23186 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇𝑚)) = 0)
7776, 2syl6eqel 2696 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (vol*‘(𝑇𝑚)) ∈ ℝ)
7876mpteq2dva 4672 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0))
79 fconstmpt 5085 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {0}) = (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0)
80 nnuz 11599 . . . . . . . . . . . 12 ℕ = (ℤ‘1)
8180xpeq1i 5059 . . . . . . . . . . 11 (ℕ × {0}) = ((ℤ‘1) × {0})
8279, 81eqtr3i 2634 . . . . . . . . . 10 (𝑚 ∈ ℕ ↦ 0) = ((ℤ‘1) × {0})
8378, 82syl6eq 2660 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚))) = ((ℤ‘1) × {0}))
8483seqeq3d 12671 . . . . . . . 8 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) = seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})))
85 1z 11284 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
86 serclim0 14156 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℤ → seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0)
8785, 86ax-mp 5 . . . . . . . 8 seq1( + , ((ℤ‘1) × {0})) ⇝ 0
8884, 87syl6eqbr 4622 . . . . . . 7 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ⇝ 0)
89 seqex 12665 . . . . . . . 8 seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ V
90 c0ex 9913 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9189, 90breldm 5251 . . . . . . 7 (seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ⇝ 0 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
9288, 91syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → seq1( + , (𝑚 ∈ ℕ ↦ (vol*‘(𝑇𝑚)))) ∈ dom ⇝ )
9372, 73, 75, 77, 92ovoliun2 23081 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)))
9476sumeq2dv 14281 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)) = Σ𝑚 ∈ ℕ 0)
9580eqimssi 3622 . . . . . . . 8 ℕ ⊆ (ℤ‘1)
9695orci 404 . . . . . . 7 (ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin)
97 sumz 14300 . . . . . . 7 ((ℕ ⊆ (ℤ‘1) ∨ ℕ ∈ Fin) → Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0)
9896, 97ax-mp 5 . . . . . 6 Σ𝑚 ∈ ℕ 0 = 0
9994, 98syl6eq 2660 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑚 ∈ ℕ (vol*‘(𝑇𝑚)) = 0)
10093, 99breqtrd 4609 . . . 4 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0)
101 ovolge0 23056 . . . . 5 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ → 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
10269, 101syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))
103 ovolcl 23053 . . . . . 6 ( 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚) ⊆ ℝ → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ*)
10469, 103syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ*)
105 0xr 9965 . . . . 5 0 ∈ ℝ*
106 xrletri3 11861 . . . . 5 (((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))))
107104, 105, 106sylancl 693 . . . 4 (𝜑 → ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0 ↔ ((vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) ≤ 0 ∧ 0 ≤ (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)))))
108100, 102, 107mpbir2and 959 . . 3 (𝜑 → (vol*‘ 𝑚 ∈ ℕ (𝑇𝑚)) = 0)
10971, 108breqtrd 4609 . 2 (𝜑 → (vol*‘(0[,]1)) ≤ 0)
11012, 109mto 187 1 ¬ 𝜑
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ∪ ciun 4455   class class class wbr 4583  {copab 4642   ↦ cmpt 4643   × cxp 5036  dom cdm 5038  ran crn 5039   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  –1-1-onto→wf1o 5803  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   Er wer 7626   / cqs 7628  Fincfn 7841  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   + caddc 9818  ℝ*cxr 9952   < clt 9953   ≤ cle 9954   − cmin 10145  -cneg 10146  ℕcn 10897  2c2 10947  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  ℚcq 11664  [,]cicc 12049  seqcseq 12663   ⇝ cli 14063  Σcsu 14264  vol*covol 23038  volcvol 23039 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cc 9140  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-disj 4554  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-ec 7631  df-qs 7635  df-map 7746  df-pm 7747  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fi 8200  df-sup 8231  df-inf 8232  df-oi 8298  df-card 8648  df-cda 8873  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-q 11665  df-rp 11709  df-xneg 11822  df-xadd 11823  df-xmul 11824  df-ioo 12050  df-ico 12052  df-icc 12053  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-fl 12455  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-rlim 14068  df-sum 14265  df-rest 15906  df-topgen 15927  df-psmet 19559  df-xmet 19560  df-met 19561  df-bl 19562  df-mopn 19563  df-top 20521  df-bases 20522  df-topon 20523  df-cmp 21000  df-ovol 23040  df-vol 23041 This theorem is referenced by:  vitali  23188
 Copyright terms: Public domain W3C validator