Theorem 0lt1 10429

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 17-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem 0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 9918	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		ax-1ne0 9884	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
3		msqgt0 10427	. . 3 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 1 ≠ 0) → 0 < (1 · 1))
4	1, 2, 3	mp2an 704	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax-1cn 9873	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulid1i 9921	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtri 4608	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   class class class wbr 4583  (class class class)co 6549  ℝcr 9814  0cc0 9815  1c1 9816   · cmul 9820   < clt 9953

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148

This theorem is referenced by:  0le1  10430  eqneg  10624  elimgt0  10738  ltp1  10740  ltm1  10742  recgt0  10746  mulgt1  10761  reclt1  10797  recgt1  10798  recgt1i  10799  recp1lt1  10800  recreclt  10801  recgt0ii  10808  inelr  10887  nnge1  10923  nngt0  10926  0nnn  10929  nnrecgt0  10935  2pos  10989  3pos  10991  4pos  10993  5pos  10995  6pos  10996  7pos  10997  8pos  10998  9pos  10999  10posOLD  11000  neg1lt0  11004  halflt1  11127  nn0p1gt0  11199  elnnnn0c  11215  elnnz1  11280  nn0lt10b  11316  recnz  11328  1rp  11712  divlt1lt  11775  divle1le  11776  ledivge1le  11777  nnledivrp  11816  xmulid1  11981  0nelfz1  12231  fz10  12233  fzpreddisj  12260  elfz1b  12279  elfznelfzob  12440  1mod  12564  expgt1  12760  ltexp2a  12774  expcan  12775  ltexp2  12776  leexp2  12777  leexp2a  12778  expnbnd  12855  expnlbnd  12856  expnlbnd2  12857  expmulnbnd  12858  discr1  12862  bcn1  12962  hashnn0n0nn  13041  brfi1indALT  13137  brfi1indALTOLD  13143  s2fv0  13482  swrd2lsw  13543  2swrd2eqwrdeq  13544  sgn1  13680  resqrex  13839  mulcn2  14174  cvgrat  14454  bpoly4  14629  cos1bnd  14756  sin01gt0  14759  sincos1sgn  14762  ruclem8  14805  nnoddm1d2  14940  sadcadd  15018  dvdsnprmd  15241  isprm7  15258  divdenle  15295  43prm  15667  ipostr  16976  srgbinomlem4  18366  abvtrivd  18663  gzrngunit  19631  znidomb  19729  psgnodpmr  19755  thlle  19860  leordtval2  20826  mopnex  22134  dscopn  22188  metnrmlem1a  22469  xrhmph  22554  evth  22566  xlebnum  22572  vitalilem5  23187  vitali  23188  ply1remlem  23726  plyremlem  23863  plyrem  23864  vieta1lem2  23870  reeff1olem  24004  sinhalfpilem  24019  rplogcl  24154  logtayllem  24205  cxplt  24240  cxple  24241  atanlogaddlem  24440  ressatans  24461  rlimcnp  24492  rlimcnp2  24493  cxp2limlem  24502  cxp2lim  24503  cxploglim2  24505  amgmlem  24516  emcllem2  24523  harmonicubnd  24536  fsumharmonic  24538  zetacvg  24541  ftalem1  24599  ftalem2  24600  chpchtsum  24744  chpub  24745  mersenne  24752  perfectlem2  24755  efexple  24806  chebbnd1  24961  dchrmusumlema  24982  dchrvmasumlem2  24987  dchrvmasumiflem1  24990  dchrisum0flblem2  24998  dchrisum0lema  25003  dchrisum0lem1  25005  dchrisum0lem2a  25006  mulog2sumlem1  25023  chpdifbndlem1  25042  chpdifbnd  25044  selberg3lem1  25046  pntrmax  25053  pntrsumo1  25054  pntpbnd1a  25074  pntpbnd2  25076  pntibndlem1  25078  pntlem3  25098  pnt  25103  ostth2lem1  25107  ostth2lem3  25124  ostth2lem4  25125  axcontlem2  25645  spthispth  26103  usgrcyclnl1  26168  clwwlkf1  26324  esumcst  29452  hasheuni  29474  ballotlemi1  29891  ballotlemic  29895  sgnnbi  29934  sgnpbi  29935  sgnmulsgp  29939  signsply0  29954  signswch  29964  unblimceq0  31668  knoppndvlem1  31673  knoppndvlem2  31674  knoppndvlem7  31679  knoppndvlem13  31685  knoppndvlem14  31686  knoppndvlem15  31687  knoppndvlem17  31689  knoppndvlem20  31692  poimirlem22  32601  poimirlem31  32610  asindmre  32665  areacirclem4  32673  pellexlem2  36412  pellexlem6  36416  pell14qrgt0  36441  elpell1qr2  36454  pellfundex  36468  pellfundrp  36470  rmxypos  36532  relexp01min  37024  imo72b2  37497  radcnvrat  37535  reclt0d  38548  sqrlearg  38627  sumnnodd  38697  dvnmul  38833  stoweidlem7  38900  stoweidlem36  38929  stoweidlem38  38931  stoweidlem42  38935  stoweidlem51  38944  stoweidlem59  38952  stirlinglem5  38971  stirlinglem7  38973  stirlinglem10  38976  stirlinglem11  38977  stirlinglem12  38978  stirlinglem15  38981  dirkeritg  38995  fourierdlem11  39011  fourierdlem30  39030  fourierdlem47  39046  fourierdlem79  39078  fourierdlem103  39102  fourierdlem104  39103  fouriersw  39124  etransclem4  39131  etransclem31  39158  etransclem32  39159  etransclem35  39162  etransclem41  39168  salexct2  39233  hoidmvlelem1  39485  m1mod0mod1  39949  wwlksn0s  41057  clwwlksf1  41224  m1modmmod  42110  regt1loggt0  42128  rege1logbrege0  42150  nnlog2ge0lt1  42158  amgmwlem  42357