Theorem elqsn0 7703

Description: A quotient set doesn't contain the empty set. (Contributed by NM, 24-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
elqsn0	⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Proof of Theorem elqsn0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. 2 ⊢ (𝐴 / 𝑅) = (𝐴 / 𝑅)
2		neeq1 2844	. 2 ⊢ ([𝑥]𝑅 = 𝐵 → ([𝑥]𝑅 ≠ ∅ ↔ 𝐵 ≠ ∅))
3		eleq2 2677	. . . 4 ⊢ (dom 𝑅 = 𝐴 → (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴))
4	3	biimpar 501	. . 3 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝑅)
5		ecdmn0 7676	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 ↔ [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
6	4, 5	sylib 207	. 2 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → [𝑥]𝑅 ≠ ∅)
7	1, 2, 6	ectocld 7701	1 ⊢ ((dom 𝑅 = 𝐴 ∧ 𝐵 ∈ (𝐴 / 𝑅)) → 𝐵 ≠ ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∅c0 3874  dom cdm 5038  [cec 7627   / cqs 7628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-br 4584  df-opab 4644  df-xp 5044  df-cnv 5046  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-ec 7631  df-qs 7635

This theorem is referenced by:  ecelqsdm  7704  0nsr  9779  sylow1lem3  17838  vitalilem5  23187  prtlem400  33173