Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvds 14868
 Description: If every term in a sum is divisible by 𝑁, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvds.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumdvds.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumdvds.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fsumdvds.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumdvds (𝜑𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdvds
StepHypRef Expression
1 0z 11265 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 dvds0 14835 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → 0 ∥ 0)
4 simpr 476 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
5 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 = 0)
6 fsumdvds.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
76adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
85, 7eqbrtrrd 4607 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∥ 𝐵)
9 fsumdvds.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
109adantlr 747 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 0dvds 14840 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
138, 12mpbid 221 . . . . 5 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 = 0)
1413sumeq2dv 14281 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
15 fsumdvds.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
1716olcd 407 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
18 sumz 14300 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
2014, 19eqtrd 2644 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
213, 4, 203brtr4d 4615 . 2 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
2215adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
23 fsumdvds.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2524zcnd 11359 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
269adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2726zcnd 11359 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simpr 476 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
2922, 25, 27, 28fsumdivc 14360 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 / 𝑁))
306adantlr 747 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
3124adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
32 simplr 788 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 ≠ 0)
33 dvdsval2 14824 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
3431, 32, 26, 33syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑁𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
3530, 34mpbid 221 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3622, 35fsumzcl 14313 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3729, 36eqeltrd 2688 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3815, 9fsumzcl 14313 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3938adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
40 dvdsval2 14824 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
4124, 28, 39, 40syl3anc 1318 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
4237, 41mpbird 246 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4321, 42pm2.61dane 2869 1 (𝜑𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∨ wo 382   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ⊆ wss 3540   class class class wbr 4583  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Fincfn 7841  0cc0 9815   / cdiv 10563  ℤcz 11254  ℤ≥cuz 11563  Σcsu 14264   ∥ cdvds 14821 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-div 10564  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-rp 11709  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-exp 12723  df-hash 12980  df-cj 13687  df-re 13688  df-im 13689  df-sqrt 13823  df-abs 13824  df-clim 14067  df-sum 14265  df-dvds 14822 This theorem is referenced by:  3dvds  14890  3dvdsOLD  14891  sylow1lem3  17838  sylow2alem2  17856  poimirlem26  32605  poimirlem27  32606  etransclem37  39164  etransclem38  39165  etransclem44  39171
 Copyright terms: Public domain W3C validator