Theorem fvconst2 6374

Description: The value of a constant function. (Contributed by NM, 16-Apr-2005.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvconst2.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvconst2	⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Proof of Theorem fvconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvconst2.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		fvconst2g 6372	. 2 ⊢ ((𝐵 ∈ V ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐴 → ((𝐴 × {𝐵})‘𝐶) = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-fv 5812

This theorem is referenced by:  ovconst2  6712  mapsncnv  7790  ofsubeq0  10894  ofsubge0  10896  ser0f  12716  hashinf  12984  iserge0  14239  iseraltlem1  14260  sum0  14299  sumz  14300  harmonic  14430  prodf1f  14463  fprodntriv  14511  prod1  14513  setcmon  16560  0mhm  17181  mulgpropd  17407  dprdsubg  18246  0lmhm  18861  mplsubglem  19255  coe1tm  19464  frlmlmod  19912  frlmlss  19914  frlmbas  19918  frlmip  19936  islindf4  19996  mdetuni0  20246  txkgen  21265  xkofvcn  21297  nmo0  22349  pcorevlem  22634  rrxip  22986  mbfpos  23224  0pval  23244  0pledm  23246  xrge0f  23304  itg2ge0  23308  ibl0  23359  bddibl  23412  dvcmul  23513  dvef  23547  rolle  23557  dveq0  23567  dv11cn  23568  ftc2  23611  tdeglem4  23624  ply1rem  23727  fta1g  23731  fta1blem  23732  0dgrb  23806  dgrnznn  23807  dgrlt  23826  plymul0or  23840  plydivlem4  23855  plyrem  23864  fta1  23867  vieta1lem2  23870  elqaalem3  23880  aaliou2  23899  ulmdvlem1  23958  dchrelbas2  24762  dchrisumlem3  24980  axlowdimlem9  25630  axlowdimlem12  25633  axlowdimlem17  25638  0oval  27027  occllem  27546  ho01i  28071  0cnfn  28223  0lnfn  28228  nmfn0  28230  nlelchi  28304  opsqrlem2  28384  opsqrlem4  28386  opsqrlem5  28387  hmopidmchi  28394  conpcon  30471  txsconlem  30476  cvxscon  30479  cvmliftphtlem  30553  nobndlem7  31097  nobndup  31099  nobnddown  31100  fullfunfv  31224  matunitlindflem1  32575  matunitlindflem2  32576  ptrecube  32579  poimirlem1  32580  poimirlem2  32581  poimirlem3  32582  poimirlem4  32583  poimirlem5  32584  poimirlem6  32585  poimirlem7  32586  poimirlem10  32589  poimirlem11  32590  poimirlem12  32591  poimirlem16  32595  poimirlem17  32596  poimirlem19  32598  poimirlem20  32599  poimirlem22  32601  poimirlem23  32602  poimirlem28  32607  poimirlem29  32608  poimirlem30  32609  poimirlem31  32610  poimirlem32  32611  poimir  32612  broucube  32613  mblfinlem2  32617  itg2addnclem  32631  itg2addnc  32634  ftc1anclem5  32659  ftc2nc  32664  cnpwstotbnd  32766  lfl0f  33374  eqlkr2  33405  lcd0vvalN  35920  mzpsubst  36329  mzpcompact2lem  36332  mzpcong  36557  hbtlem2  36713  mncn0  36728  mpaaeu  36739  aaitgo  36751  rngunsnply  36762  hashnzfzclim  37543  ofsubid  37545  dvconstbi  37555  binomcxplemnotnn0  37577  n0p  38234  snelmap  38280  aacllem  42356