Theorem fta1blem 23732

Description: Lemma for fta1b 23733. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fta1b.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
fta1b.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
fta1b.d	⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
fta1b.o	⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
fta1b.w	⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
fta1b.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
fta1blem.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
fta1blem.t	⊢ × = (.r‘𝑅)
fta1blem.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
fta1blem.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
fta1blem.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
fta1blem.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
fta1blem.3	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
fta1blem.4	⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
fta1blem.5	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
fta1blem.6	⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))

Assertion

Ref	Expression
fta1blem	⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Proof of Theorem fta1blem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fta1blem.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐾)
2		fta1b.o	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (eval1‘𝑅)
3		fta1b.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
4		fta1blem.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
5		fta1b.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
6		fta1blem.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
7		fta1blem.x	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
8	2, 7, 4, 3, 5, 6, 1	evl1vard 19522	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘𝑋)‘𝑁) = 𝑁))
9		fta1blem.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐾)
10		fta1blem.s	. . . . . . 7 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
11		fta1blem.t	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑅)
12	2, 3, 4, 5, 6, 1, 8, 9, 10, 11	evl1vsd 19529	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁)))
13	12	simprd 478	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = (𝑀 × 𝑁))
14		fta1blem.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑁) = 𝑊)
15	13, 14	eqtrd 2644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)
16		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ↑s 𝐾) = (𝑅 ↑s 𝐾)
17		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾))
18		fvex 6113	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
19	4, 18	eqeltri 2684	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 ∈ V
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ V)
21	2, 3, 16, 4	evl1rhm 19517	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
22	6, 21	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)))
23	5, 17	rhmf 18549	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑂:𝐵⟶(Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
25	12	simpld 474	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵)
26	24, 25	ffvelrnd 6268	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
27	16, 4, 17, 6, 20, 26	pwselbas 15972	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)):𝐾⟶𝐾)
28	27	ffnd 5959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾)
29		fniniseg 6246	. . . . 5 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
30	28, 29	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑁 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑁) = 𝑊)))
31	1, 15, 30	mpbir2and 959	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
32		fvex 6113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
33	32	cnvex 7006	. . . . . . 7 ⊢ ◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) ∈ V
34	33	imaex 6996	. . . . . 6 ⊢ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V
35	34	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V)
36		1nn0 11185	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
37	36	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℕ0)
38		crngring 18381	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
39	6, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
40	7, 3, 5	vr1cl 19408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
42		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (mulGrp‘𝑃) = (mulGrp‘𝑃)
43	42, 5	mgpbas 18318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑃))
44		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (.g‘(mulGrp‘𝑃)) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
45	43, 44	mulg1 17371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
46	41, 45	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋) = 𝑋)
47	46	oveq2d 6565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = (𝑀 · 𝑋))
48		fta1blem.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≠ 𝑊)
49		fta1b.w	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑊 = (0g‘𝑅)
50	49, 4, 3, 7, 10, 42, 44	coe1tmfv1 19465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
51	39, 9, 37, 50	syl3anc 1318	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = 𝑀)
52		fta1b.z	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
53	3, 52, 49	coe1z 19454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
54	39, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (coe1‘ 0 ) = (ℕ0 × {𝑊}))
55	54	fveq1d 6105	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = ((ℕ0 × {𝑊})‘1))
56		fvex 6113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0g‘𝑅) ∈ V
57	49, 56	eqeltri 2684	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑊 ∈ V
58	57	fvconst2 6374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊)
59	36, 58	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℕ0 × {𝑊})‘1) = 𝑊
60	55, 59	syl6eq 2660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘ 0 )‘1) = 𝑊)
61	48, 51, 60	3netr4d 2859	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1))
62		fveq2 6103	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → (coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (coe1‘ 0 ))
63	62	fveq1d 6105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) = 0 → ((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) = ((coe1‘ 0 )‘1))
64	63	necon3i 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((coe1‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)))‘1) ≠ ((coe1‘ 0 )‘1) → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
65	61, 64	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋)) ≠ 0 )
66	47, 65	eqnetrrd 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 )
67		eldifsn 4260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ ((𝑀 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑀 · 𝑋) ≠ 0 ))
68	25, 66, 67	sylanbrc 695	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }))
69		fta1blem.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 · 𝑋) ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋))))
70	68, 69	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
71	47	fveq2d 6107	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)))
72		fta1b.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = ( deg1 ‘𝑅)
73	72, 4, 3, 7, 10, 42, 44, 49	deg1tm 23682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑀 ≠ 𝑊) ∧ 1 ∈ ℕ0) → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
74	39, 9, 48, 37, 73	syl121anc 1323	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · (1(.g‘(mulGrp‘𝑃))𝑋))) = 1)
75	71, 74	eqtr3d 2646	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐷‘(𝑀 · 𝑋)) = 1)
76	70, 75	breqtrd 4609	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1)
77		hashbnd 12985	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V ∧ 1 ∈ ℕ0 ∧ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1) → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
78	35, 37, 76, 77	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin)
79	4, 49	ring0cl 18392	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑊 ∈ 𝐾)
80	39, 79	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝐾)
81		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (algSc‘𝑃) = (algSc‘𝑃)
82	3, 81, 4, 5	ply1sclf 19476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
83	39, 82	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (algSc‘𝑃):𝐾⟶𝐵)
84	83, 9	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵)
85		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
86		eqid 2610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾)) = (.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))
87	5, 85, 86	rhmmul 18550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑂 ∈ (𝑃 RingHom (𝑅 ↑s 𝐾)) ∧ ((algSc‘𝑃)‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
88	22, 84, 41, 87	syl3anc 1318	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)))
89	3	ply1assa 19390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
90	6, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ AssAlg)
91	3	ply1sca 19444	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
92	6, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
93	92	fveq2d 6107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
94	4, 93	syl5eq 2656	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
95	9, 94	eleqtrd 2690	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
96		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
97		eqid 2610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
98	81, 96, 97, 5, 85, 10	asclmul1 19160	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
99	90, 95, 41, 98	syl3anc 1318	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋) = (𝑀 · 𝑋))
100	99	fveq2d 6107	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(((algSc‘𝑃)‘𝑀)(.r‘𝑃)𝑋)) = (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)))
101	24, 84	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
102	24, 41	ffvelrnd 6268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↑s 𝐾)))
103	16, 17, 6, 20, 101, 102, 11, 86	pwsmulrval 15974	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂‘𝑋)))
104	2, 3, 4, 81	evl1sca 19519	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
105	6, 9, 104	syl2anc 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) = (𝐾 × {𝑀}))
106	2, 7, 4	evl1var 19521	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
107	6, 106	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘𝑋) = ( I ↾ 𝐾))
108	105, 107	oveq12d 6567	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀)) ∘𝑓 × (𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
109	103, 108	eqtrd 2644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘((algSc‘𝑃)‘𝑀))(.r‘(𝑅 ↑s 𝐾))(𝑂‘𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
110	88, 100, 109	3eqtr3d 2652	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) = ((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾)))
111	110	fveq1d 6105	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊))
112		fnconstg 6006	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐾 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
113	9, 112	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾)
114		fnresi 5922	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾
115	114	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾)
116		fnfvof 6809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 × {𝑀}) Fn 𝐾 ∧ ( I ↾ 𝐾) Fn 𝐾) ∧ (𝐾 ∈ V ∧ 𝑊 ∈ 𝐾)) → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
117	113, 115, 20, 80, 116	syl22anc 1319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)))
118		fvconst2g 6372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐾 ∧ 𝑊 ∈ 𝐾) → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
119	9, 80, 118	syl2anc 691	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) = 𝑀)
120		fvresi 6344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
121	80, 120	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (( I ↾ 𝐾)‘𝑊) = 𝑊)
122	119, 121	oveq12d 6567	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = (𝑀 × 𝑊))
123	4, 11, 49	ringrz 18411	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐾) → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
124	39, 9, 123	syl2anc 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀 × 𝑊) = 𝑊)
125	122, 124	eqtrd 2644	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀})‘𝑊) × (( I ↾ 𝐾)‘𝑊)) = 𝑊)
126	117, 125	eqtrd 2644	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝐾 × {𝑀}) ∘𝑓 × ( I ↾ 𝐾))‘𝑊) = 𝑊)
127	111, 126	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)
128		fniniseg 6246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) Fn 𝐾 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
129	28, 128	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ↔ (𝑊 ∈ 𝐾 ∧ ((𝑂‘(𝑀 · 𝑋))‘𝑊) = 𝑊)))
130	80, 127, 129	mpbir2and 959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
131	130	snssd 4281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
132		hashsng 13020	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ 𝐾 → (#‘{𝑊}) = 1)
133	80, 132	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑊}) = 1)
134		ssdomg 7887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V → ({𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
135	34, 131, 134	mpsyl 66	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
136		snfi 7923	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑊} ∈ Fin
137		hashdom 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ V) → ((#‘{𝑊}) ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
138	136, 34, 137	mp2an 704	. . . . . . . . 9 ⊢ ((#‘{𝑊}) ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≼ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
139	135, 138	sylibr 223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑊}) ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
140	133, 139	eqbrtrrd 4607	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
141		hashcl 13009	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
142	78, 141	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℕ0)
143	142	nn0red 11229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ)
144		1re 9918	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
145		letri3 10002	. . . . . . . 8 ⊢ (((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
146	143, 144, 145	sylancl 693	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1 ↔ ((#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ≤ 1 ∧ 1 ≤ (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))))
147	76, 140, 146	mpbir2and 959	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) = 1)
148	133, 147	eqtr4d 2647	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (#‘{𝑊}) = (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
149		hashen 12997	. . . . . 6 ⊢ (({𝑊} ∈ Fin ∧ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin) → ((#‘{𝑊}) = (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
150	136, 78, 149	sylancr 694	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((#‘{𝑊}) = (#‘(◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) ↔ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})))
151	148, 150	mpbid 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
152		fisseneq 8056	. . . 4 ⊢ (((◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∈ Fin ∧ {𝑊} ⊆ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}) ∧ {𝑊} ≈ (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊})) → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
153	78, 131, 151, 152	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑊} = (◡(𝑂‘(𝑀 · 𝑋)) “ {𝑊}))
154	31, 153	eleqtrrd 2691	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ {𝑊})
155		elsni 4142	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ {𝑊} → 𝑁 = 𝑊)
156	154, 155	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 = 𝑊)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  {csn 4125   class class class wbr 4583   I cid 4948   × cxp 5036  ^◡ccnv 5037   ↾ cres 5040   “ cima 5041   Fn wfn 5799  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549   ∘_𝑓 cof 6793   ≈ cen 7838   ≼ cdom 7839  Fincfn 7841  ℝcr 9814  1c1 9816   ≤ cle 9954  ℕ₀cn0 11169  #chash 12979  Basecbs 15695  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  0_gc0g 15923   ↑_s cpws 15930  ._gcmg 17363  mulGrpcmgp 18312  Ringcrg 18370  CRingccrg 18371   RingHom crh 18535  AssAlgcasa 19130  algSccascl 19132  var₁cv1 19367  Poly₁cpl1 19368  coe₁cco1 19369  eval₁ce1 19500   deg₁ cdg1 23618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-inf2 8421  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-pre-sup 9893  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-se 4998  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-isom 5813  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-ofr 6796  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-supp 7183  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-2o 7448  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-pm 7747  df-ixp 7795  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-fsupp 8159  df-sup 8231  df-oi 8298  df-card 8648  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-xnn0 11241  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-fzo 12335  df-seq 12664  df-hash 12980  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-ip 15786  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-hom 15793  df-cco 15794  df-0g 15925  df-gsum 15926  df-prds 15931  df-pws 15933  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mulg 17364  df-subg 17414  df-ghm 17481  df-cntz 17573  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-srg 18329  df-ring 18372  df-cring 18373  df-rnghom 18538  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-assa 19133  df-asp 19134  df-ascl 19135  df-psr 19177  df-mvr 19178  df-mpl 19179  df-opsr 19181  df-evls 19327  df-evl 19328  df-psr1 19371  df-vr1 19372  df-ply1 19373  df-coe1 19374  df-evl1 19502  df-cnfld 19568  df-mdeg 23619  df-deg1 23620

This theorem is referenced by:  fta1b  23733