Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  0lmhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 0lmhm 18861
 Description: The constant zero linear function between two modules. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
0lmhm.z 0 = (0g𝑁)
0lmhm.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
0lmhm.s 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
0lmhm.t 𝑇 = (Scalar‘𝑁)
Assertion
Ref Expression
0lmhm ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))

Proof of Theorem 0lmhm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0lmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 eqid 2610 . 2 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
3 eqid 2610 . 2 ( ·𝑠𝑁) = ( ·𝑠𝑁)
4 0lmhm.s . 2 𝑆 = (Scalar‘𝑀)
5 0lmhm.t . 2 𝑇 = (Scalar‘𝑁)
6 eqid 2610 . 2 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
7 simp1 1054 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑀 ∈ LMod)
8 simp2 1055 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑁 ∈ LMod)
9 simp3 1056 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑆 = 𝑇)
109eqcomd 2616 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → 𝑇 = 𝑆)
11 lmodgrp 18693 . . . 4 (𝑀 ∈ LMod → 𝑀 ∈ Grp)
12 lmodgrp 18693 . . . 4 (𝑁 ∈ LMod → 𝑁 ∈ Grp)
13 0lmhm.z . . . . 5 0 = (0g𝑁)
1413, 10ghm 17497 . . . 4 ((𝑀 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ Grp) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
1511, 12, 14syl2an 493 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
16153adant3 1074 . 2 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 GrpHom 𝑁))
17 simpl2 1058 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑁 ∈ LMod)
18 simprl 790 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑆))
19 simpl3 1059 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑆 = 𝑇)
2019fveq2d 6107 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → (Base‘𝑆) = (Base‘𝑇))
2118, 20eleqtrd 2690 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑇))
22 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
235, 3, 22, 13lmodvs0 18720 . . . 4 ((𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑇)) → (𝑥( ·𝑠𝑁) 0 ) = 0 )
2417, 21, 23syl2anc 691 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝑁) 0 ) = 0 )
25 fvex 6113 . . . . . . 7 (0g𝑁) ∈ V
2613, 25eqeltri 2684 . . . . . 6 0 ∈ V
2726fvconst2 6374 . . . . 5 (𝑦𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘𝑦) = 0 )
2827oveq2d 6565 . . . 4 (𝑦𝐵 → (𝑥( ·𝑠𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑁) 0 ))
2928ad2antll 761 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑁) 0 ))
30 simpl1 1057 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑀 ∈ LMod)
31 simprr 792 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
321, 4, 2, 6lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
3330, 18, 31, 32syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → (𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵)
3426fvconst2 6374 . . . 4 ((𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦) ∈ 𝐵 → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦)) = 0 )
3533, 34syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦)) = 0 )
3624, 29, 353eqtr4rd 2655 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑦𝐵)) → ((𝐵 × { 0 })‘(𝑥( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑥( ·𝑠𝑁)((𝐵 × { 0 })‘𝑦)))
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 16, 36islmhmd 18860 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑁 ∈ LMod ∧ 𝑆 = 𝑇) → (𝐵 × { 0 }) ∈ (𝑀 LMHom 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  Vcvv 3173  {csn 4125   × cxp 5036  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245   GrpHom cghm 17480  LModclmod 18686   LMHom clmhm 18840 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-mhm 17158  df-grp 17248  df-ghm 17481  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lmhm 18843 This theorem is referenced by:  0nmhm  22369  mendring  36781
 Copyright terms: Public domain W3C validator