Theorem lmodgrp 18693

Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Assertion

Ref	Expression
lmodgrp	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Proof of Theorem lmodgrp

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2610	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2610	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2610	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2610	. . 3 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
7		eqid 2610	. . 3 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
8		eqid 2610	. . 3 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 18690	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ (Scalar‘𝑊) ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp1bi 1069	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  Grpcgrp 17245  1_rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lmod 18688

This theorem is referenced by:  lmodbn0  18696  lmodvacl  18700  lmodass  18701  lmodlcan  18702  lmod0vcl  18715  lmod0vlid  18716  lmod0vrid  18717  lmod0vid  18718  lmodvsmmulgdi  18721  lmodfopne  18724  lmodvnegcl  18727  lmodvnegid  18728  lmodvsubcl  18731  lmodcom  18732  lmodabl  18733  lmodvpncan  18739  lmodvnpcan  18740  lmodsubeq0  18745  lmodsubid  18746  lmodvsghm  18747  lmodprop2d  18748  lsssubg  18778  islss3  18780  lssacs  18788  prdslmodd  18790  lspsnneg  18827  lspsnsub  18828  lmodindp1  18835  lmodvsinv2  18858  islmhm2  18859  0lmhm  18861  idlmhm  18862  pwsdiaglmhm  18878  pwssplit3  18882  lspexch  18950  lspsolvlem  18963  mplind  19323  ip0l  19800  ipsubdir  19806  ipsubdi  19807  ip2eq  19817  lsmcss  19855  dsmmlss  19907  frlm0  19917  frlmsubgval  19927  frlmup1  19956  islindf4  19996  matgrp  20055  tlmtgp  21809  clmgrp  22676  ncvspi  22764  cphtchnm  22837  ipcau2  22841  tchcphlem1  22842  tchcph  22844  rrxnm  22987  rrxds  22989  pjthlem2  23017  lclkrlem2m  35826  mapdpglem14  35992  baerlem3lem1  36014  baerlem5amN  36023  baerlem5bmN  36024  baerlem5abmN  36025  mapdh6bN  36044  mapdh6cN  36045  hdmap1l6b  36119  hdmap1l6c  36120  hdmap1neglem1N  36135  hdmap11  36158  kercvrlsm  36671  pwssplit4  36677  pwslnmlem2  36681  mendring  36781  zlmodzxzsub  41931  lmodvsmdi  41957  lincvalsng  41999  lincvalsc0  42004  linc0scn0  42006  linc1  42008  lcoel0  42011  lindslinindimp2lem4  42044  snlindsntor  42054  lincresunit3  42064