MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodgrp Structured version   Unicode version

Theorem lmodgrp 17302
Description: A left module is a group. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
lmodgrp  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )

Proof of Theorem lmodgrp
Dummy variables  r 
q  w  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
2 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
3 eqid 2467 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
4 eqid 2467 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
6 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  (Scalar `  W )
)  =  ( +g  `  (Scalar `  W )
)
7 eqid 2467 . . 3  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
)
8 eqid 2467 . . 3  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8islmod 17299 . 2  |-  ( W  e.  LMod  <->  ( W  e. 
Grp  /\  (Scalar `  W
)  e.  Ring  /\  A. q  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) A. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) A. x  e.  ( Base `  W ) A. w  e.  ( Base `  W
) ( ( ( r ( .s `  W ) w )  e.  ( Base `  W
)  /\  ( r
( .s `  W
) ( w ( +g  `  W ) x ) )  =  ( ( r ( .s `  W ) w ) ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) x ) )  /\  ( ( q ( +g  `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s `  W ) w )  =  ( ( q ( .s `  W
) w ) ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) w ) ) )  /\  ( ( ( q ( .r `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s `  W ) w )  =  ( q ( .s `  W ) ( r ( .s
`  W ) w ) )  /\  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) w )  =  w ) ) ) )
109simp1bi 1011 1  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   .rcmulr 14552  Scalarcsca 14554   .scvsca 14555   Grpcgrp 15723   1rcur 16943   Ringcrg 16986   LModclmod 17295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-nul 4576
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-iota 5549  df-fv 5594  df-ov 6285  df-lmod 17297
This theorem is referenced by:  lmodbn0  17305  lmodvacl  17309  lmodass  17310  lmodlcan  17311  lmod0vcl  17324  lmod0vlid  17325  lmod0vrid  17326  lmod0vid  17327  lmodvsmmulgdi  17330  lmodvnegcl  17334  lmodvnegid  17335  lmodvsubcl  17338  lmodcom  17339  lmodabl  17340  lmodvpncan  17346  lmodvnpcan  17347  lmodsubeq0  17352  lmodsubid  17353  lmodvsghm  17354  lmodprop2d  17355  lsssubg  17386  islss3  17388  lssacs  17396  prdslmodd  17398  lspsnneg  17435  lspsnsub  17436  lmodindp1  17443  lmodvsinv2  17466  islmhm2  17467  0lmhm  17469  idlmhm  17470  pwsdiaglmhm  17486  pwssplit3  17490  lspexch  17558  lspsolvlem  17571  mplind  17938  ip0l  18438  ipsubdir  18444  ipsubdi  18445  ip2eq  18455  lsmcss  18490  dsmmlss  18542  frlm0  18552  frlmsubgval  18565  frlmup1  18599  islindf4  18640  matgrp  18699  matrng  18712  tlmtgp  20433  clmgrp  21303  cphtchnm  21408  ipcau2  21412  tchcphlem1  21413  tchcph  21415  rrxnm  21558  rrxds  21560  pjthlem2  21588  kercvrlsm  30633  pwssplit4  30639  pwslnmlem2  30643  mendrng  30746  zlmodzxzsub  32013  lmodvsmdi  32048  lincvalsng  32090  lincvalsc0  32095  linc0scn0  32097  linc1  32099  lcoel0  32102  lindslinindimp2lem4  32135  snlindsntor  32145  lincresunit3  32155  lclkrlem2m  36316  mapdpglem14  36482  baerlem3lem1  36504  baerlem5amN  36513  baerlem5bmN  36514  baerlem5abmN  36515  mapdh6bN  36534  mapdh6cN  36535  hdmap1l6b  36609  hdmap1l6c  36610  hdmap1neglem1N  36625  hdmap11  36648
  Copyright terms: Public domain W3C validator