Theorem lmodvsinv2 18858

Description: Multiplying a negated vector by a scalar. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsinv2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lmodvsinv2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsinv2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmodvsinv2.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
lmodvsinv2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsinv2	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsinv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
2		lmodgrp 18693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Grp)
4		simp3 1056	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
5		lmodvsinv2.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
6		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
7		eqid 2610	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
8		lmodvsinv2.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑊)
9	5, 6, 7, 8	grprinv 17292	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
10	3, 4, 9	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋)) = (0g‘𝑊))
11	10	oveq2d 6565	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = (𝑅 · (0g‘𝑊)))
12		simp2 1055	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ 𝐾)
13	5, 8	grpinvcl 17290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
14	3, 4, 13	syl2anc 691	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)
15		lmodvsinv2.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
16		lmodvsinv2.s	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
17		lmodvsinv2.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
18	5, 6, 15, 16, 17	lmodvsdi 18709	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵)) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))))
19	1, 12, 4, 14, 18	syl13anc 1320	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑋(+g‘𝑊)(𝑁‘𝑋))) = ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))))
20	15, 16, 17, 7	lmodvs0 18720	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
21	1, 12, 20	syl2anc 691	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (0g‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
22	11, 19, 21	3eqtr3d 2652	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊))
23	5, 15, 16, 17	lmodvscl 18703	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵)
24	5, 15, 16, 17	lmodvscl 18703	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ (𝑁‘𝑋) ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
25	1, 12, 14, 24	syl3anc 1318	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵)
26	5, 6, 7, 8	grpinvid1 17293	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ (𝑅 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊)))
27	3, 23, 25, 26	syl3anc 1318	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) ↔ ((𝑅 · 𝑋)(+g‘𝑊)(𝑅 · (𝑁‘𝑋))) = (0g‘𝑊)))
28	22, 27	mpbird 246	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)) = (𝑅 · (𝑁‘𝑋)))
29	28	eqcomd 2616	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑅 · (𝑁‘𝑋)) = (𝑁‘(𝑅 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  0_gc0g 15923  Grpcgrp 17245  inv_gcminusg 17246  LModclmod 18686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ring 18372  df-lmod 18688

This theorem is referenced by:  invlmhm  18863