Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsdi 18709
 Description: Distributive law for scalar product (left-distributivity). (ax-hvdistr1 27249 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsdi.a + = (+g𝑊)
lmodvsdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsdi.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsdi ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodvsdi
StepHypRef Expression
1 lmodvsdi.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lmodvsdi.a . . . . . . . . 9 + = (+g𝑊)
3 lmodvsdi.s . . . . . . . . 9 · = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodvsdi.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodvsdi.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (.r𝐹) = (.r𝐹)
8 eqid 2610 . . . . . . . . 9 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 18691 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑅(.r𝐹)𝑅) · 𝑋) = (𝑅 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
109simpld 474 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑌𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)) ∧ ((𝑅(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑋))))
1110simp2d 1067 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑌𝑉𝑋𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))
12113expia 1259 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑅𝐾)) → ((𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
1312anabsan2 859 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑅𝐾) → ((𝑌𝑉𝑋𝑉) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))
1413exp4b 630 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝑅𝐾 → (𝑌𝑉 → (𝑋𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
1514com34 89 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → (𝑌𝑉 → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌))))))
16153imp2 1274 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑅𝐾𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝑅 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝑅 · 𝑋) + (𝑅 · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  1rcur 18324  LModclmod 18686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lmod 18688 This theorem is referenced by:  lmodcom  18732  lmodsubdi  18743  lmodvsghm  18747  islss3  18780  prdslmodd  18790  lmodvsinv2  18858  lmhmplusg  18865  lsmcl  18904  pj1lmhm  18921  lspfixed  18949  lspsolvlem  18963  clmvsdi  22700  cvsi  22738  lshpkrlem4  33418  baerlem5alem1  36015  baerlem5blem1  36016  hdmap14lem8  36185  mendlmod  36782  lmodvsmdi  41957
 Copyright terms: Public domain W3C validator