Theorem cvsi 22738

Description: The properties of a complex vector space, which is an Abelian group (i.e. the vectors, with the operation of vector addition) accompanied by a scalar multiplication operation on the field of complex numbers. (Contributed by NM, 3-Nov-2006.) (Revised by AV, 21-Sep-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvsi.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
cvsi.a	⊢ + = (+g‘𝑊)
cvsi.s	⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
cvsi.m	⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
cvsi.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cvsi	⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑊,𝑦,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧   𝑧,𝑆

Allowed substitution hints:   + (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑆(𝑥,𝑦)   ∙ (𝑥,𝑦,𝑧)   · (𝑥,𝑦,𝑧)   𝑋(𝑥)

Proof of Theorem cvsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-cvs 22732	. . . 4 ⊢ ℂVec = (ℂMod ∩ LVec)
2	1	eleq2i 2680	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ 𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec))
3		elin 3758	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (ℂMod ∩ LVec) ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
4	2, 3	bitri 263	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec ↔ (𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec))
5		lveclmod 18927	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
6		lmodabl 18733	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
8	7	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → 𝑊 ∈ Abel)
9		eqid 2610	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
10		cvsi.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = (Base‘(Scalar‘𝑊))
11	9, 10	clmsscn 22687	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑆 ⊆ ℂ)
12		clmlmod 22675	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 𝑊 ∈ LMod)
13		cvsi.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑊)
14		cvsi.m	. . . . . . 7 ⊢ ∙ = ( ·sf ‘𝑊)
15	13, 9, 10, 14	lmodscaf 18708	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
16	12, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋)
17	11, 16	jca 553	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
18	17	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋))
19	9	clm1 22681	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
20	19	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
21	20	oveq1d 6564	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝑥) = ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑥))
22	12	anim1i 590	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
23		cvsi.t	. . . . . . . . 9 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
24		eqid 2610	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
25	13, 9, 23, 24	lmodvs1 18714	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑥) = 𝑥)
26	22, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1r‘(Scalar‘𝑊)) · 𝑥) = 𝑥)
27	21, 26	eqtrd 2644	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
28	12	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑊 ∈ LMod)
31		simplr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑦 ∈ 𝑆)
32		simpllr 795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
33		simpr 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
34	31, 32, 33	3jca 1235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋))
35	30, 34	jca 553	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)))
36		cvsi.a	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝑊)
37	13, 36, 9, 23, 10	lmodvsdi 18709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
38	35, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
39	38	ralrimiva 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)))
40	9	clmadd 22682	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
43	42	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → + = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
44	43	oveqd 6566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 + 𝑧) = (𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
45	44	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
46	29	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
47		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
48	47	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑦 ∈ 𝑆)
49		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝑆)
50		simpr 476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
51	50	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑋)
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑥 ∈ 𝑋)
53	48, 49, 52	3jca 1235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋))
54	46, 53	jca 553	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)))
55		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
56	13, 36, 9, 23, 10, 55	lmodvsdir 18710	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
57	54, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
58	45, 57	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)))
59	9	clmmul 22683	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
60	59	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → · = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
63	62	oveqd 6566	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝑦 · 𝑧) = (𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧))
64	63	oveq1d 6564	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥))
65		eqid 2610	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
66	13, 9, 23, 10, 65	lmodvsass 18711	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋)) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
67	54, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
68	64, 67	eqtrd 2644	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))
69	58, 68	jca 553	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
70	69	ralrimiva 2949	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))
71	39, 70	jca 553	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
72	71	ralrimiva 2949	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))
73	27, 72	jca 553	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
74	73	ralrimiva 2949	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ ℂMod → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
75	74	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥))))))
76	8, 18, 75	3jca 1235	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ ℂMod ∧ 𝑊 ∈ LVec) → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))
77	4, 76	sylbi 206	1 ⊢ (𝑊 ∈ ℂVec → (𝑊 ∈ Abel ∧ (𝑆 ⊆ ℂ ∧ ∙ :(𝑆 × 𝑋)⟶𝑋) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ((1 · 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑆 (∀𝑧 ∈ 𝑋 (𝑦 · (𝑥 + 𝑧)) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑦 · 𝑧)) ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑆 (((𝑦 + 𝑧) · 𝑥) = ((𝑦 · 𝑥) + (𝑧 · 𝑥)) ∧ ((𝑦 · 𝑧) · 𝑥) = (𝑦 · (𝑧 · 𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896   ∩ cin 3539   ⊆ wss 3540   × cxp 5036  ⟶wf 5800  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  ℂcc 9813  1c1 9816   + caddc 9818   · cmul 9820  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  ._rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  Abelcabl 18017  1_rcur 18324  LModclmod 18686   ·_sf cscaf 18687  LVecclvec 18923  ℂModcclm 22670  ℂVecccvs 22731

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-addf 9894  ax-mulf 9895

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-7 10961  df-8 10962  df-9 10963  df-n0 11170  df-z 11255  df-dec 11370  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-starv 15783  df-tset 15787  df-ple 15788  df-ds 15791  df-unif 15792  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-subg 17414  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-cring 18373  df-subrg 18601  df-lmod 18688  df-scaf 18689  df-lvec 18924  df-cnfld 19568  df-clm 22671  df-cvs 22732

This theorem is referenced by: (None)