Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsass 18711
 Description: Associative law for scalar product. (ax-hvmulass 27248 analog.) (Contributed by NM, 10-Jan-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsass.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsass.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodvsass.s · = ( ·𝑠𝑊)
lmodvsass.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodvsass.t × = (.r𝐹)
Assertion
Ref Expression
lmodvsass ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))

Proof of Theorem lmodvsass
StepHypRef Expression
1 lmodvsass.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
3 lmodvsass.s . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑊)
4 lmodvsass.f . . . . . . . 8 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5 lmodvsass.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
6 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝐹) = (+g𝐹)
7 lmodvsass.t . . . . . . . 8 × = (.r𝐹)
8 eqid 2610 . . . . . . . 8 (1r𝐹) = (1r𝐹)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8lmodlema 18691 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑅 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝑅 · (𝑋(+g𝑊)𝑋)) = ((𝑅 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋)) ∧ ((𝑄(+g𝐹)𝑅) · 𝑋) = ((𝑄 · 𝑋)(+g𝑊)(𝑅 · 𝑋))) ∧ (((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋)))
109simprd 478 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → (((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)) ∧ ((1r𝐹) · 𝑋) = 𝑋))
1110simpld 474 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
12113expa 1257 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ (𝑋𝑉𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
1312anabsan2 859 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾)) ∧ 𝑋𝑉) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
1413exp42 637 . 2 (𝑊 ∈ LMod → (𝑄𝐾 → (𝑅𝐾 → (𝑋𝑉 → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋))))))
15143imp2 1274 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑄𝐾𝑅𝐾𝑋𝑉)) → ((𝑄 × 𝑅) · 𝑋) = (𝑄 · (𝑅 · 𝑋)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  1rcur 18324  LModclmod 18686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-nul 4717 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lmod 18688 This theorem is referenced by:  lmodvs0  18720  lmodvsneg  18730  lmodsubvs  18742  lmodsubdi  18743  lmodsubdir  18744  islss3  18780  lss1d  18784  prdslmodd  18790  lmodvsinv  18857  lmhmvsca  18866  lvecvs0or  18929  lssvs0or  18931  lvecinv  18934  lspsnvs  18935  lspfixed  18949  lspsolvlem  18963  lspsolv  18964  assa2ass  19143  asclrhm  19163  assamulgscmlem2  19170  mplmon2mul  19322  frlmup1  19956  smatvscl  20149  matinv  20302  clmvsass  22697  cvsi  22738  lshpkrlem4  33418  lcdvsass  35914  baerlem3lem1  36014  hgmapmul  36205  mendlmod  36782  lincscm  42013  ldepsprlem  42055  lincresunit3lem3  42057  lincresunit3lem1  42062
 Copyright terms: Public domain W3C validator