Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsolv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsolv 18964
 Description: If 𝑋 is in the span of 𝐴 ∪ {𝑌} but not 𝐴, then 𝑌 is in the span of 𝐴 ∪ {𝑋}. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsolv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lspsolv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lspsolv ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))

Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables 𝑟 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
2 lspsolv.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3 lspsolv.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
4 eqid 2610 . . 3 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
5 eqid 2610 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
6 eqid 2610 . . 3 (+g𝑊) = (+g𝑊)
7 eqid 2610 . . 3 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
8 eqid 2610 . . 3 {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)} = {𝑧𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑧(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)}
9 lveclmod 18927 . . . 4 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
109adantr 480 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑊 ∈ LMod)
11 simpr1 1060 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝐴𝑉)
12 simpr2 1061 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌𝑉)
13 simpr3 1062 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
1413eldifad 3552 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})))
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14lspsolvlem 18963 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))(𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
164lvecdrng 18926 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
1716ad2antrr 758 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (Scalar‘𝑊) ∈ DivRing)
18 simprl 790 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
1910adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑊 ∈ LMod)
2012adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑌𝑉)
21 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (0g‘(Scalar‘𝑊)) = (0g‘(Scalar‘𝑊))
22 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑊) = (0g𝑊)
231, 4, 7, 21, 22lmod0vs 18719 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (0g𝑊))
2419, 20, 23syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = (0g𝑊))
2524oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)))
2611adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝐴𝑉)
2720snssd 4281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → {𝑌} ⊆ 𝑉)
2826, 27unssd 3751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉)
291, 3lspssv 18804 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑉)
3019, 28, 29syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑉)
3130ssdifssd 3710 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)) ⊆ 𝑉)
3213adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
3331, 32sseldd 3569 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋𝑉)
341, 6, 22lmod0vrid 18717 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑋)
3519, 33, 34syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑋)
3625, 35eqtrd 2644 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = 𝑋)
3736, 32eqeltrd 2688 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))
3837eldifbd 3553 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ¬ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
39 simprr 792 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))
40 oveq1 6556 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌))
4140oveq2d 6565 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) = (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
4241eleq1d 2672 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → ((𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) ↔ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
4339, 42syl5ibcom 234 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟 = (0g‘(Scalar‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴)))
4443necon3bd 2796 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (¬ (𝑋(+g𝑊)((0g‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴) → 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))))
4538, 44mpd 15 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊)))
46 eqid 2610 . . . . . . 7 (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
47 eqid 2610 . . . . . . 7 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
48 eqid 2610 . . . . . . 7 (invr‘(Scalar‘𝑊)) = (invr‘(Scalar‘𝑊))
495, 21, 46, 47, 48drnginvrl 18589 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
5017, 18, 45, 49syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
5150oveq1d 6564 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌))
525, 21, 48drnginvrcl 18587 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ DivRing ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ≠ (0g‘(Scalar‘𝑊))) → ((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
5317, 18, 45, 52syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
541, 4, 7, 5, 46lmodvsass 18711 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉)) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
5519, 53, 18, 20, 54syl13anc 1320 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑟)( ·𝑠𝑊)𝑌) = (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
561, 4, 7, 47lmodvs1 18714 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
5719, 20, 56syl2anc 691 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠𝑊)𝑌) = 𝑌)
5851, 55, 573eqtr3d 2652 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) = 𝑌)
5933snssd 4281 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6026, 59unssd 3751 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉)
611, 2, 3lspcl 18797 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
6219, 60, 61syl2anc 691 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆)
631, 4, 7, 5lmodvscl 18703 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑉) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
6419, 18, 20, 63syl3anc 1318 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉)
65 eqid 2610 . . . . . . 7 (-g𝑊) = (-g𝑊)
661, 6, 65lmodvpncan 18739 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) = (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌))
6719, 64, 33, 66syl3anc 1318 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) = (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌))
681, 6lmodcom 18732 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ 𝑉𝑋𝑉) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) = (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
6919, 64, 33, 68syl3anc 1318 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) = (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)))
70 ssun1 3738 . . . . . . . . . 10 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋})
7170a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋}))
721, 3lspss 18805 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ {𝑋})) → (𝑁𝐴) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7319, 60, 71, 72syl3anc 1318 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑁𝐴) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7473, 39sseldd 3569 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7569, 74eqeltrd 2688 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → ((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
761, 3lspssid 18806 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ 𝑉) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
7719, 60, 76syl2anc 691 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝐴 ∪ {𝑋}) ⊆ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
78 snidg 4153 . . . . . . . 8 (𝑋𝑉𝑋 ∈ {𝑋})
79 elun2 3743 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ {𝑋} → 𝑋 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}))
8033, 78, 793syl 18 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝐴 ∪ {𝑋}))
8177, 80sseldd 3569 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8265, 2lssvsubcl 18765 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆) ∧ (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∧ 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8319, 62, 75, 81, 82syl22anc 1319 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋)(-g𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8467, 83eqeltrrd 2689 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
854, 7, 5, 2lssvscl 18776 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})) ∈ 𝑆) ∧ (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8619, 62, 53, 84, 85syl22anc 1319 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → (((invr‘(Scalar‘𝑊))‘𝑟)( ·𝑠𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8758, 86eqeltrrd 2689 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) ∧ (𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑋(+g𝑊)(𝑟( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ (𝑁𝐴))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
8815, 87rexlimddv 3017 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐴𝑉𝑌𝑉𝑋 ∈ ((𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ∖ (𝑁𝐴)))) → 𝑌 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑋})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897  {crab 2900   ∖ cdif 3537   ∪ cun 3538   ⊆ wss 3540  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  -gcsg 17247  1rcur 18324  invrcinvr 18494  DivRingcdr 18570  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924 This theorem is referenced by:  lssacsex  18965  lspsnat  18966  lsppratlem1  18968  lsppratlem3  18970  lsppratlem4  18971  lbsextlem4  18982  lindsenlbs  32574
 Copyright terms: Public domain W3C validator