Theorem lvecdrng 18926

Description: The set of scalars of a left vector space is a division ring. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
islvec.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lvecdrng	⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Proof of Theorem lvecdrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islvec.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2	1	islvec 18925	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LVec ↔ (𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ DivRing))
3	2	simprbi 479	1 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐹 ∈ DivRing)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  Scalarcsca 15771  DivRingcdr 18570  LModclmod 18686  LVecclvec 18923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-iota 5768  df-fv 5812  df-lvec 18924

This theorem is referenced by:  lsslvec  18928  lvecvs0or  18929  lssvs0or  18931  lvecinv  18934  lspsnvs  18935  lspsneq  18943  lspfixed  18949  lspexch  18950  lspsolv  18964  islbs2  18975  islbs3  18976  obsne0  19888  islinds4  19993  nvctvc  22314  lssnvc  22316  cvsunit  22739  cvsdivcl  22741  cphsubrg  22788  cphreccl  22789  cphqss  22796  tchclm  22839  ipcau2  22841  tchcph  22844  hlprlem  22971  ishl2  22974  lfl1  33375  lkrsc  33402  eqlkr3  33406  lkrlsp  33407  lkrshp  33410  lduallvec  33459  dochkr1  35785  dochkr1OLDN  35786  lcfl7lem  35806  lclkrlem2m  35826  lclkrlem2o  35828  lclkrlem2p  35829  lcfrlem1  35849  lcfrlem2  35850  lcfrlem3  35851  lcfrlem29  35878  lcfrlem31  35880  lcfrlem33  35882  mapdpglem17N  35995  mapdpglem18  35996  mapdpglem19  35997  mapdpglem21  35999  mapdpglem22  36000  hdmapip1  36226  hgmapvvlem1  36233  hgmapvvlem2  36234  hgmapvvlem3  36235  lincreslvec3  42065  isldepslvec2  42068