MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvsubcl 18765
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m = (-g𝑊)
lssvsubcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 786 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
2 eqid 2610 . . . . 5 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
3 lssvsubcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
42, 3lssel 18759 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
54ad2ant2lr 780 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑊))
62, 3lssel 18759 . . . 4 ((𝑈𝑆𝑌𝑈) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
76ad2ant2l 778 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝑊))
8 eqid 2610 . . . 4 (+g𝑊) = (+g𝑊)
9 lssvsubcl.m . . . 4 = (-g𝑊)
10 eqid 2610 . . . 4 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
11 eqid 2610 . . . 4 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
12 eqid 2610 . . . 4 (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
13 eqid 2610 . . . 4 (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 18741 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
151, 5, 7, 14syl3anc 1318 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)))
1610lmodfgrp 18695 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
171, 16syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
18 eqid 2610 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
1910, 18, 13lmod1cl 18713 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
201, 19syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2118, 12grpinvcl 17290 . . . . . 6 (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
2217, 20, 21syl2anc 691 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
232, 10, 11, 18lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝑊)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
241, 22, 7, 23syl3anc 1318 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊))
252, 8lmodcom 18732 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑊) ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌) ∈ (Base‘𝑊)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
261, 5, 24, 25syl3anc 1318 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) = ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋))
27 simplr 788 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑈𝑆)
28 simprr 792 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑌𝑈)
29 simprl 790 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → 𝑋𝑈)
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 18764 . . . 4 ((𝑈𝑆 ∧ (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑌𝑈𝑋𝑈)) → ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1320 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → ((((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)(+g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
3226, 31eqeltrd 2688 . 2 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋(+g𝑊)(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠𝑊)𝑌)) ∈ 𝑈)
3315, 32eqeltrd 2688 1 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑋𝑈𝑌𝑈)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  1rcur 18324  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754
This theorem is referenced by:  lssvancl1  18766  lss0cl  18768  lsmcv  18962  lspsolv  18964  ldualssvsubcl  33464  lclkrlem2o  35828  mapdpglem6  35985  mapdpglem12  35990  hdmaprnlem7N  36165  hdmaprnlem8N  36166
  Copyright terms: Public domain W3C validator