Theorem lsscl 18764

Description: Closure property of a subspace. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsscl.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lsscl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
lsscl.p	⊢ + = (+g‘𝑊)
lsscl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lsscl.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lsscl	⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lsscl

Dummy variables 𝑥 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsscl.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
2		lsscl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
3		eqid 2610	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
4		lsscl.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑊)
5		lsscl.t	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lsscl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	islss 18756	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ (Base‘𝑊) ∧ 𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
8	7	simp3bi 1071	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑆 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)
9		oveq1 6556	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑥 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑎))
10	9	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏))
11	10	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
12		oveq2 6557	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑍 · 𝑎) = (𝑍 · 𝑋))
13	12	oveq1d 6564	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏))
14	13	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝑍 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈))
15		oveq2 6557	. . . 4 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) = ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌))
16	15	eleq1d 2672	. . 3 ⊢ (𝑏 = 𝑌 → (((𝑍 · 𝑋) + 𝑏) ∈ 𝑈 ↔ ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
17	11, 14, 16	rspc3v 3296	. 2 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑎 ∈ 𝑈 ∀𝑏 ∈ 𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈 → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈))
18	8, 17	mpan9 485	1 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝑆 ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑈 ∧ 𝑌 ∈ 𝑈)) → ((𝑍 · 𝑋) + 𝑌) ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +_gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·_𝑠 cvsca 15772  LSubSpclss 18753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833

This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lss 18754

This theorem is referenced by:  lssvsubcl  18765  lssvacl  18775  lssvscl  18776  islss3  18780  lssintcl  18785  lspsolvlem  18963  lbsextlem2  18980  isphld  19818