Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | lspsolv.w |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod) |
2 | | lspsolv.q |
. . . . . . 7
⊢ 𝑄 = {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)} |
3 | | ssrab2 3650 |
. . . . . . 7
⊢ {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)} ⊆ 𝑉 |
4 | 2, 3 | eqsstri 3598 |
. . . . . 6
⊢ 𝑄 ⊆ 𝑉 |
5 | 4 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑄 ⊆ 𝑉) |
6 | | lspsolv.ss |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑉) |
7 | 1 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod) |
8 | | lspsolv.f |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊) |
9 | | lspsolv.b |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹) |
10 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(0g‘𝐹) = (0g‘𝐹) |
11 | 8, 9, 10 | lmod0cl 18712 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑊 ∈ LMod →
(0g‘𝐹)
∈ 𝐵) |
12 | 7, 11 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (0g‘𝐹) ∈ 𝐵) |
13 | | lspsolv.y |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉) |
14 | | lspsolv.v |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊) |
15 | | lspsolv.t |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ · = (
·𝑠 ‘𝑊) |
16 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(0g‘𝑊) = (0g‘𝑊) |
17 | 14, 8, 15, 10, 16 | lmod0vs 18719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((0g‘𝐹) · 𝑌) = (0g‘𝑊)) |
18 | 1, 13, 17 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 →
((0g‘𝐹)
·
𝑌) =
(0g‘𝑊)) |
19 | 18 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((0g‘𝐹) · 𝑌) = (0g‘𝑊)) |
20 | 19 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 +
((0g‘𝐹)
·
𝑌)) = (𝑧 + (0g‘𝑊))) |
21 | 6 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝑉) |
22 | | lspsolv.p |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ + =
(+g‘𝑊) |
23 | 14, 22, 16 | lmod0vrid 18717 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝑧 + (0g‘𝑊)) = 𝑧) |
24 | 7, 21, 23 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 + (0g‘𝑊)) = 𝑧) |
25 | 20, 24 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 +
((0g‘𝐹)
·
𝑌)) = 𝑧) |
26 | | lspsolv.n |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊) |
27 | 14, 26 | lspssid 18806 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → 𝐴 ⊆ (𝑁‘𝐴)) |
28 | 1, 6, 27 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ (𝑁‘𝐴)) |
29 | 28 | sselda 3568 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ (𝑁‘𝐴)) |
30 | 25, 29 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑧 +
((0g‘𝐹)
·
𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
31 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 = (0g‘𝐹) → (𝑟 · 𝑌) = ((0g‘𝐹) · 𝑌)) |
32 | 31 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 = (0g‘𝐹) → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑧 +
((0g‘𝐹)
·
𝑌))) |
33 | 32 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 = (0g‘𝐹) → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑧 +
((0g‘𝐹)
·
𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
34 | 33 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((0g‘𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑧 +
((0g‘𝐹)
·
𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
35 | 12, 30, 34 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
36 | 6, 35 | ssrabdv 3644 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ {𝑧 ∈ 𝑉 ∣ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)}) |
37 | 36, 2 | syl6sseqr 3615 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝑄) |
38 | 8 | lmodfgrp 18695 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp) |
39 | 1, 38 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp) |
40 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(1r‘𝐹) = (1r‘𝐹) |
41 | 8, 9, 40 | lmod1cl 18713 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑊 ∈ LMod →
(1r‘𝐹)
∈ 𝐵) |
42 | 1, 41 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1r‘𝐹) ∈ 𝐵) |
43 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(invg‘𝐹) = (invg‘𝐹) |
44 | 9, 43 | grpinvcl 17290 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧
(1r‘𝐹)
∈ 𝐵) →
((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐵) |
45 | 39, 42, 44 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 →
((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐵) |
46 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(invg‘𝑊) = (invg‘𝑊) |
47 | 14, 46, 8, 15, 40, 43 | lmodvneg1 18729 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) = ((invg‘𝑊)‘𝑌)) |
48 | 1, 13, 47 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 →
(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌) = ((invg‘𝑊)‘𝑌)) |
49 | 48 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑌 +
(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (𝑌 +
((invg‘𝑊)‘𝑌))) |
50 | | lmodgrp 18693 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp) |
51 | 1, 50 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Grp) |
52 | 14, 22, 16, 46 | grprinv 17292 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑌 +
((invg‘𝑊)‘𝑌)) = (0g‘𝑊)) |
53 | 51, 13, 52 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑌 +
((invg‘𝑊)‘𝑌)) = (0g‘𝑊)) |
54 | 49, 53 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑌 +
(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) = (0g‘𝑊)) |
55 | | lspsolv.s |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊) |
56 | 14, 55, 26 | lspcl 18797 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ⊆ 𝑉) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆) |
57 | 1, 6, 56 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆) |
58 | 16, 55 | lss0cl 18768 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆) → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
59 | 1, 57, 58 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (0g‘𝑊) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
60 | 54, 59 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑌 +
(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
61 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑟 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) → (𝑟 · 𝑌) = (((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) |
62 | 61 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑟 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) → (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑌 +
(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌))) |
63 | 62 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑟 = ((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) → ((𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑌 +
(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
64 | 63 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 +
(((invg‘𝐹)‘(1r‘𝐹)) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
65 | 45, 60, 64 | syl2anc 691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
66 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑧 = 𝑌 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑌 + (𝑟 · 𝑌))) |
67 | 66 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 = 𝑌 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
68 | 67 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 = 𝑌 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
69 | 68, 2 | elrab2 3333 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑌 ∈ 𝑄 ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑌 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
70 | 13, 65, 69 | sylanbrc 695 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑄) |
71 | 70 | snssd 4281 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑄) |
72 | 37, 71 | unssd 3751 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑄) |
73 | 14, 26 | lspss 18805 |
. . . . 5
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ⊆ 𝑉 ∧ (𝐴 ∪ {𝑌}) ⊆ 𝑄) → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ (𝑁‘𝑄)) |
74 | 1, 5, 72, 73 | syl3anc 1318 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ (𝑁‘𝑄)) |
75 | 8 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑊)) |
76 | 9 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐹)) |
77 | 14 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑊)) |
78 | 22 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → + =
(+g‘𝑊)) |
79 | 15 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → · = (
·𝑠 ‘𝑊)) |
80 | 55 | a1i 11 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)) |
81 | | ne0i 3880 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑌 ∈ 𝑄 → 𝑄 ≠ ∅) |
82 | 70, 81 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑄 ≠ ∅) |
83 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑥 + (𝑟 · 𝑌))) |
84 | 83 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
85 | 84 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
86 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑟 · 𝑌) = (𝑠 · 𝑌)) |
87 | 86 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑟 = 𝑠 → (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) |
88 | 87 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 = 𝑠 → ((𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
89 | 88 | cbvrexv 3148 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 (𝑥 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
90 | 85, 89 | syl6bb 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = 𝑥 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
91 | 90, 2 | elrab2 3333 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 ∈ 𝑄 ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
92 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑦 + (𝑟 · 𝑌))) |
93 | 92 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
94 | 93 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
95 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 = 𝑡 → (𝑟 · 𝑌) = (𝑡 · 𝑌)) |
96 | 95 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑟 = 𝑡 → (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) |
97 | 96 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑟 = 𝑡 → ((𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
98 | 97 | cbvrexv 3148 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(∃𝑟 ∈
𝐵 (𝑦 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
99 | 94, 98 | syl6bb 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑧 = 𝑦 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
100 | 99, 2 | elrab2 3333 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑦 ∈ 𝑄 ↔ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
101 | 91, 100 | anbi12i 729 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))) |
102 | | an4 861 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) ∧ (𝑦 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))) |
103 | 101, 102 | bitri 263 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) ↔ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)))) |
104 | | reeanv 3086 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(∃𝑠 ∈
𝐵 ∃𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) ↔ (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
105 | | simp1ll 1117 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝜑) |
106 | 105, 1 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑊 ∈ LMod) |
107 | | simp1lr 1118 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑎 ∈ 𝐵) |
108 | | simp1rl 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑥 ∈ 𝑉) |
109 | 14, 8, 15, 9 | lmodvscl 18703 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉) |
110 | 106, 107,
108, 109 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉) |
111 | | simp1rr 1120 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑦 ∈ 𝑉) |
112 | 14, 22 | lmodvacl 18700 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉) |
113 | 106, 110,
111, 112 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉) |
114 | | simp2l 1080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑠 ∈ 𝐵) |
115 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(.r‘𝐹) = (.r‘𝐹) |
116 | 8, 9, 115 | lmodmcl 18698 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵) → (𝑎(.r‘𝐹)𝑠) ∈ 𝐵) |
117 | 106, 107,
114, 116 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑎(.r‘𝐹)𝑠) ∈ 𝐵) |
118 | | simp2r 1081 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑡 ∈ 𝐵) |
119 | | eqid 2610 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(+g‘𝐹) = (+g‘𝐹) |
120 | 8, 9, 119 | lmodacl 18697 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎(.r‘𝐹)𝑠) ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) ∈ 𝐵) |
121 | 106, 117,
118, 120 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) ∈ 𝐵) |
122 | 105, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → 𝑌 ∈ 𝑉) |
123 | 14, 8, 15, 9 | lmodvscl 18703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉) |
124 | 106, 114,
122, 123 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉) |
125 | 14, 8, 15, 9 | lmodvscl 18703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉) |
126 | 106, 107,
124, 125 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉) |
127 | 14, 8, 15, 9 | lmodvscl 18703 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉) |
128 | 106, 118,
122, 127 | syl3anc 1318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉) |
129 | 14, 22 | lmod4 18736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎 · 𝑥) ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) ∈ 𝑉 ∧ (𝑡 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)))) |
130 | 106, 110,
111, 126, 128, 129 | syl122anc 1327 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)))) |
131 | 14, 22, 8, 15, 9, 119 | lmodvsdir 18710 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌) = (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌))) |
132 | 106, 117,
118, 122, 131 | syl13anc 1320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌) = (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌))) |
133 | 14, 8, 15, 9, 115 | lmodvsass 18711 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉)) → ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) |
134 | 106, 107,
114, 122, 133 | syl13anc 1320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) = (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) |
135 | 134 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠) · 𝑌) + (𝑡 · 𝑌)) = ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) |
136 | 132, 135 | eqtrd 2644 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌) = ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌))) |
137 | 136 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + ((𝑎 · (𝑠 · 𝑌)) + (𝑡 · 𝑌)))) |
138 | 14, 22, 8, 15, 9 | lmodvsdi 18709 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉 ∧ (𝑠 · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) = ((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)))) |
139 | 106, 107,
108, 124, 138 | syl13anc 1320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) = ((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌)))) |
140 | 139 | oveq1d 6564 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) = (((𝑎 · 𝑥) + (𝑎 · (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)))) |
141 | 130, 137,
140 | 3eqtr4d 2654 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) = ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)))) |
142 | 105, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆) |
143 | | simp3l 1082 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
144 | | simp3r 1083 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
145 | 8, 9, 22, 15, 55 | lsscl 18764 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑁‘𝐴) ∈ 𝑆 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
146 | 142, 107,
143, 144, 145 | syl13anc 1320 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · (𝑥 + (𝑠 · 𝑌))) + (𝑦 + (𝑡 · 𝑌))) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
147 | 141, 146 | eqeltrd 2688 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
148 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑟 = ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) → (𝑟 · 𝑌) = (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) |
149 | 148 | oveq2d 6565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑟 = ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) → (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌))) |
150 | 149 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑟 = ((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) → ((((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
151 | 150 | rspcev 3282 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) ∈ 𝐵 ∧ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (((𝑎(.r‘𝐹)𝑠)(+g‘𝐹)𝑡) · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
152 | 121, 147,
151 | syl2anc 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
153 | | oveq1 6556 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌))) |
154 | 153 | eleq1d 2672 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
155 | 154 | rexbidv 3034 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑧 = ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
156 | 155, 2 | elrab2 3333 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄 ↔ (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
157 | 113, 152,
156 | sylanbrc 695 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄) |
158 | 157 | 3exp 1256 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((𝑠 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ 𝐵) → (((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄))) |
159 | 158 | rexlimdvv 3019 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → (∃𝑠 ∈ 𝐵 ∃𝑡 ∈ 𝐵 ((𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)) |
160 | 104, 159 | syl5bir 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉)) → ((∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)) |
161 | 160 | expimpd 627 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑦 ∈ 𝑉) ∧ (∃𝑠 ∈ 𝐵 (𝑥 + (𝑠 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ∧ ∃𝑡 ∈ 𝐵 (𝑦 + (𝑡 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)) |
162 | 103, 161 | syl5bi 231 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)) |
163 | 162 | exp4b 630 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ 𝐵 → (𝑥 ∈ 𝑄 → (𝑦 ∈ 𝑄 → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄)))) |
164 | 163 | 3imp2 1274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝑄 ∧ 𝑦 ∈ 𝑄)) → ((𝑎 · 𝑥) + 𝑦) ∈ 𝑄) |
165 | 75, 76, 77, 78, 79, 80, 5, 82, 164 | islssd 18757 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ 𝑆) |
166 | 55, 26 | lspid 18803 |
. . . . 5
⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑄 ∈ 𝑆) → (𝑁‘𝑄) = 𝑄) |
167 | 1, 165, 166 | syl2anc 691 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑁‘𝑄) = 𝑄) |
168 | 74, 167 | sseqtrd 3604 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌})) ⊆ 𝑄) |
169 | | lspsolv.x |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑁‘(𝐴 ∪ {𝑌}))) |
170 | 168, 169 | sseldd 3569 |
. 2
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑄) |
171 | | oveq1 6556 |
. . . . . 6
⊢ (𝑧 = 𝑋 → (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) = (𝑋 + (𝑟 · 𝑌))) |
172 | 171 | eleq1d 2672 |
. . . . 5
⊢ (𝑧 = 𝑋 → ((𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
173 | 172 | rexbidv 3034 |
. . . 4
⊢ (𝑧 = 𝑋 → (∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑧 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴) ↔ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
174 | 173, 2 | elrab2 3333 |
. . 3
⊢ (𝑋 ∈ 𝑄 ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴))) |
175 | 174 | simprbi 479 |
. 2
⊢ (𝑋 ∈ 𝑄 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |
176 | 170, 175 | syl 17 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ 𝐵 (𝑋 + (𝑟 · 𝑌)) ∈ (𝑁‘𝐴)) |