MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  00lss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 00lss 18763
Description: The empty structure has no subspaces (for use with fvco4i 6186). (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
00lss ∅ = (LSubSp‘∅)

Proof of Theorem 00lss
StepHypRef Expression
1 noel 3878 . . 3 ¬ 𝑎 ∈ ∅
2 base0 15740 . . . . . 6 ∅ = (Base‘∅)
3 eqid 2610 . . . . . 6 (LSubSp‘∅) = (LSubSp‘∅)
42, 3lssss 18758 . . . . 5 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ⊆ ∅)
5 ss0 3926 . . . . 5 (𝑎 ⊆ ∅ → 𝑎 = ∅)
64, 5syl 17 . . . 4 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 = ∅)
73lssn0 18762 . . . . 5 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → 𝑎 ≠ ∅)
87neneqd 2787 . . . 4 (𝑎 ∈ (LSubSp‘∅) → ¬ 𝑎 = ∅)
96, 8pm2.65i 184 . . 3 ¬ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅)
101, 92false 364 . 2 (𝑎 ∈ ∅ ↔ 𝑎 ∈ (LSubSp‘∅))
1110eqriv 2607 1 ∅ = (LSubSp‘∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1475  wcel 1977  wss 3540  c0 3874  cfv 5804  LSubSpclss 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-slot 15699  df-base 15700  df-lss 18754
This theorem is referenced by:  00lsp  18802  lidlval  19013
  Copyright terms: Public domain W3C validator