Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  islss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem islss 18756
 Description: The predicate "is a subspace" (of a left module or left vector space). (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssset.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lssset.b 𝐵 = (Base‘𝐹)
lssset.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssset.p + = (+g𝑊)
lssset.t · = ( ·𝑠𝑊)
lssset.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
islss (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑎,𝑏,𝑥,𝑊   𝑈,𝑎,𝑏,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎,𝑏)   + (𝑥,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑎,𝑏)   · (𝑥,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑥,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑥,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem islss
Dummy variable 𝑠 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfvex 6131 . . 3 (𝑈 ∈ (LSubSp‘𝑊) → 𝑊 ∈ V)
2 lssset.s . . 3 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
31, 2eleq2s 2706 . 2 (𝑈𝑆𝑊 ∈ V)
4 lssset.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 fvprc 6097 . . . . . . . . 9 𝑊 ∈ V → (Base‘𝑊) = ∅)
64, 5syl5eq 2656 . . . . . . . 8 𝑊 ∈ V → 𝑉 = ∅)
76sseq2d 3596 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (𝑈𝑉𝑈 ⊆ ∅))
87biimpcd 238 . . . . . 6 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 ⊆ ∅))
9 ss0 3926 . . . . . 6 (𝑈 ⊆ ∅ → 𝑈 = ∅)
108, 9syl6 34 . . . . 5 (𝑈𝑉 → (¬ 𝑊 ∈ V → 𝑈 = ∅))
1110necon1ad 2799 . . . 4 (𝑈𝑉 → (𝑈 ≠ ∅ → 𝑊 ∈ V))
1211imp 444 . . 3 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) → 𝑊 ∈ V)
13123adant3 1074 . 2 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ V)
14 lssset.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
15 lssset.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐹)
16 lssset.p . . . . 5 + = (+g𝑊)
17 lssset.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
1814, 15, 4, 16, 17, 2lssset 18755 . . . 4 (𝑊 ∈ V → 𝑆 = {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠})
1918eleq2d 2673 . . 3 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠}))
20 eldifsn 4260 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅))
21 fvex 6113 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑊) ∈ V
224, 21eqeltri 2684 . . . . . . . 8 𝑉 ∈ V
2322elpw2 4755 . . . . . . 7 (𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈𝑉)
2423anbi1i 727 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ 𝒫 𝑉𝑈 ≠ ∅) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2520, 24bitri 263 . . . . 5 (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅))
2625anbi1i 727 . . . 4 ((𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
27 eleq2 2677 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑈 → (((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2827raleqbi1dv 3123 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
2928raleqbi1dv 3123 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3029ralbidv 2969 . . . . 5 (𝑠 = 𝑈 → (∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠 ↔ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3130elrab 3331 . . . 4 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
32 df-3an 1033 . . . 4 ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈) ↔ ((𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅) ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3326, 31, 323bitr4i 291 . . 3 (𝑈 ∈ {𝑠 ∈ (𝒫 𝑉 ∖ {∅}) ∣ ∀𝑥𝐵𝑎𝑠𝑏𝑠 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑠} ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
3419, 33syl6bb 275 . 2 (𝑊 ∈ V → (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈)))
353, 13, 34pm5.21nii 367 1 (𝑈𝑆 ↔ (𝑈𝑉𝑈 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥𝐵𝑎𝑈𝑏𝑈 ((𝑥 · 𝑎) + 𝑏) ∈ 𝑈))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∀wral 2896  {crab 2900  Vcvv 3173   ∖ cdif 3537   ⊆ wss 3540  ∅c0 3874  𝒫 cpw 4108  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  LSubSpclss 18753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-ral 2901  df-rex 2902  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-op 4132  df-uni 4373  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-id 4953  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fv 5812  df-ov 6552  df-lss 18754 This theorem is referenced by:  islssd  18757  lssss  18758  lssn0  18762  lsscl  18764  islss4  18783  lsspropd  18838  islidl  19032  ocvlss  19835  lkrlss  33400  lclkr  35840  lclkrs  35846  lcfr  35892
 Copyright terms: Public domain W3C validator