Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcv 18962
 Description: Subspace sum has the covering property (using spans of singletons to represent atoms). Similar to Exercise 5 of [Kalmbach] p. 153. (spansncvi 27895 analog.) TODO: ugly proof; can it be shortened? (Contributed by NM, 2-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcv.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsmcv.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcv.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsmcv.p = (LSSum‘𝑊)
lsmcv.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lsmcv.t (𝜑𝑇𝑆)
lsmcv.u (𝜑𝑈𝑆)
lsmcv.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsmcv ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))

Proof of Theorem lsmcv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp3 1056 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
2 simp2 1055 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
3 pssss 3664 . . . 4 (𝑇𝑈𝑇𝑈)
42, 3syl 17 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑈)
5 pssnel 3991 . . . . 5 (𝑇𝑈 → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
62, 5syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ∃𝑥(𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇))
7 simpl3 1059 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
8 simprl 790 . . . . . . 7 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥𝑈)
97, 8sseldd 3569 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
10 lsmcv.w . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
11 lveclmod 18927 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
13 lsmcv.s . . . . . . . . . . . 12 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
1413lsssssubg 18779 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LMod → 𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
1512, 14syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ (SubGrp‘𝑊))
16 lsmcv.t . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑇𝑆)
1715, 16sseldd 3569 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
18 lsmcv.x . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑉)
19 lsmcv.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 lsmcv.n . . . . . . . . . . . 12 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
2119, 13, 20lspsncl 18798 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2212, 18, 21syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
2315, 22sseldd 3569 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
24 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (+g𝑊) = (+g𝑊)
25 lsmcv.p . . . . . . . . . 10 = (LSSum‘𝑊)
2624, 25lsmelval 17887 . . . . . . . . 9 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2717, 23, 26syl2anc 691 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
28273ad2ant1 1075 . . . . . . 7 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
2928adantr 480 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑥 ∈ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ↔ ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)))
309, 29mpbid 221 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
31 simp1rr 1120 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ¬ 𝑥𝑇)
32 simp2l 1080 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑇)
33 oveq2 6557 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
3433eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = (0g𝑊) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ↔ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊))))
3534biimpac 502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)))
36123ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
3736ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LMod)
38163ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
3938ad2antrr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑇𝑆)
40 simprl 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑇)
4119, 13lssel 18759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑇𝑆𝑦𝑇) → 𝑦𝑉)
4239, 40, 41syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑦𝑉)
43 eqid 2610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0g𝑊) = (0g𝑊)
4419, 24, 43lmod0vrid 18717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑦𝑉) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4537, 42, 44syl2anc 691 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) = 𝑦)
4645eqeq2d 2620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4746biimpd 218 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦))
4847ex 449 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)(0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
4935, 48syl7 72 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → ((𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∧ 𝑧 = (0g𝑊)) → 𝑥 = 𝑦)))
5049exp4a 631 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))))
51503imp 1249 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥 = 𝑦))
52 eleq1 2676 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑇𝑦𝑇))
5352biimparc 503 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦𝑇𝑥 = 𝑦) → 𝑥𝑇)
5432, 51, 53syl6an 566 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑧 = (0g𝑊) → 𝑥𝑇))
5554necon3bd 2796 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (¬ 𝑥𝑇𝑧 ≠ (0g𝑊)))
5631, 55mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
57103ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑊 ∈ LVec)
5857adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → 𝑊 ∈ LVec)
59583ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LVec)
60 lmodabl 18733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
6111, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ Abel)
6259, 61syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ Abel)
63 simp1l1 1147 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝜑)
6463, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑆)
6564, 32, 41syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑉)
6659, 11syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑊 ∈ LMod)
6763, 18syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑋𝑉)
6866, 67, 21syl2anc 691 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆)
69 simp2r 1081 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
7019, 13lssel 18759 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝑆𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → 𝑧𝑉)
7168, 69, 70syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑉)
72 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (-g𝑊) = (-g𝑊)
7319, 24, 72ablpncan2 18044 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑦𝑉𝑧𝑉) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
7462, 65, 71, 73syl3anc 1318 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) = 𝑧)
75 lsmcv.u . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑈𝑆)
7663, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑈𝑆)
77 simp3 1056 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧))
78 simp1rl 1119 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑥𝑈)
7977, 78eqeltrrd 2689 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈)
80 simp1l2 1148 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑇𝑈)
813sselda 3568 . . . . . . . . . . 11 ((𝑇𝑈𝑦𝑇) → 𝑦𝑈)
8280, 32, 81syl2anc 691 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑦𝑈)
8372, 13lssvsubcl 18765 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑦(+g𝑊)𝑧) ∈ 𝑈𝑦𝑈)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8466, 76, 79, 82, 83syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → ((𝑦(+g𝑊)𝑧)(-g𝑊)𝑦) ∈ 𝑈)
8574, 84eqeltrrd 2689 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → 𝑧𝑈)
86593ad2ant1 1075 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LVec)
87633ad2ant1 1075 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝜑)
8887, 18syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑋𝑉)
89 simp12r 1168 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋}))
90 simp2 1055 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧 ≠ (0g𝑊))
9119, 43, 20, 86, 88, 89, 90lspsneleq 18936 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) = (𝑁‘{𝑋}))
9286, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
9387, 75syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑈𝑆)
94 simp3 1056 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → 𝑧𝑈)
9513, 20, 92, 93, 94lspsnel5a 18817 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑧}) ⊆ 𝑈)
9691, 95eqsstr3d 3603 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) ∧ 𝑧 ≠ (0g𝑊) ∧ 𝑧𝑈) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
9756, 85, 96mpd3an23 1418 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) ∧ (𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) ∧ 𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
98973exp 1256 . . . . . 6 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → ((𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})) → (𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)))
9998rexlimdvv 3019 . . . . 5 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (∃𝑦𝑇𝑧 ∈ (𝑁‘{𝑋})𝑥 = (𝑦(+g𝑊)𝑧) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈))
10030, 99mpd 15 . . . 4 (((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) ∧ (𝑥𝑈 ∧ ¬ 𝑥𝑇)) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
1016, 100exlimddv 1850 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈)
10215, 75sseldd 3569 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
10325lsmlub 17901 . . . . 5 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
10417, 23, 102, 103syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1051043ad2ant1 1075 . . 3 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑇𝑈 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ 𝑈) ↔ (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈))
1064, 101, 105mpbi2and 958 . 2 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → (𝑇 (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑈)
1071, 106eqssd 3585 1 ((𝜑𝑇𝑈𝑈 ⊆ (𝑇 (𝑁‘{𝑋}))) → 𝑈 = (𝑇 (𝑁‘{𝑋})))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475  ∃wex 1695   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780  ∃wrex 2897   ⊆ wss 3540   ⊊ wpss 3541  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  0gc0g 15923  -gcsg 17247  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753  LSpanclspn 18792  LVecclvec 18923 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924 This theorem is referenced by:  lshpnelb  33289  lshpcmp  33293  lsmsatcv  33315  lsmcv2  33334  dochshpncl  35691
 Copyright terms: Public domain W3C validator