MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvancl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lssvancl1 18766
Description: Non-closure: if one vector belongs to a subspace but another does not, their sum does not belong. Useful for obtaining a new vector not in a subspace. TODO: notice similarity to lspindp3 18957. Can it be used along with lspsnne1 18938, lspsnne2 18939 to shorten this proof? (Contributed by NM, 14-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvancl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lssvancl.p + = (+g𝑊)
lssvancl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lssvancl.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lssvancl.u (𝜑𝑈𝑆)
lssvancl.x (𝜑𝑋𝑈)
lssvancl.y (𝜑𝑌𝑉)
lssvancl.n (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
Assertion
Ref Expression
lssvancl1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)

Proof of Theorem lssvancl1
StepHypRef Expression
1 lssvancl.n . 2 (𝜑 → ¬ 𝑌𝑈)
2 lssvancl.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
3 lmodabl 18733 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
42, 3syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ Abel)
5 lssvancl.u . . . . . 6 (𝜑𝑈𝑆)
6 lssvancl.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑈)
7 lssvancl.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lssvancl.s . . . . . . 7 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
97, 8lssel 18759 . . . . . 6 ((𝑈𝑆𝑋𝑈) → 𝑋𝑉)
105, 6, 9syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
11 lssvancl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
12 lssvancl.p . . . . . 6 + = (+g𝑊)
13 eqid 2610 . . . . . 6 (-g𝑊) = (-g𝑊)
147, 12, 13ablpncan2 18044 . . . . 5 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
154, 10, 11, 14syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
1615adantr 480 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) = 𝑌)
172adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑊 ∈ LMod)
185adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑈𝑆)
19 simpr 476 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
206adantr 480 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑋𝑈)
2113, 8lssvsubcl 18765 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ ((𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈𝑋𝑈)) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2217, 18, 19, 20, 21syl22anc 1319 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → ((𝑋 + 𝑌)(-g𝑊)𝑋) ∈ 𝑈)
2316, 22eqeltrrd 2689 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈) → 𝑌𝑈)
241, 23mtand 689 1 (𝜑 → ¬ (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 383   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  -gcsg 17247  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754
This theorem is referenced by:  lssvancl2  18767  dvh3dim2  35755  dvh3dim3N  35756  hdmap11lem2  36152
  Copyright terms: Public domain W3C validator