MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Structured version   Unicode version

Theorem lssvsubcl 17143
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lssvsubcl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2452 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lssvsubcl.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssel 17137 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
54ad2ant2lr 747 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
62, 3lssel 17137 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
76ad2ant2l 745 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
8 eqid 2452 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
9 lssvsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
10 eqid 2452 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2452 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 eqid 2452 . . . 4  |-  ( invg `  (Scalar `  W ) )  =  ( invg `  (Scalar `  W ) )
13 eqid 2452 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 17118 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
151, 5, 7, 14syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
1610lmodfgrp 17075 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
18 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
1910, 18, 13lmod1cl 17093 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
201, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2118, 12grpinvcl 15697 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
2217, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
232, 10, 11, 18lmodvscl 17083 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )
241, 22, 7, 23syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  ( Base `  W
) )
252, 8lmodcom 17109 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  ( (
( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
261, 5, 24, 25syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
27 simplr 754 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
28 simprr 756 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  U )
29 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  U )
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 17142 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  U  /\  X  e.  U )
)  ->  ( (
( ( invg `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X )  e.  U )
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1221 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  U
)
3226, 31eqeltrd 2540 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  U )
3315, 32eqeltrd 2540 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352  Scalarcsca 14355   .scvsca 14356   Grpcgrp 15524   invgcminusg 15525   -gcsg 15527   1rcur 16720   LModclmod 17066   LSubSpclss 17131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-plusg 14365  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-lmod 17068  df-lss 17132
This theorem is referenced by:  lssvancl1  17144  lss0cl  17146  lsmcv  17340  lspsolv  17342  ldualssvsubcl  33123  lclkrlem2o  35485  mapdpglem6  35642  mapdpglem12  35647  hdmaprnlem7N  35822  hdmaprnlem8N  35823
  Copyright terms: Public domain W3C validator