Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Structured version   Unicode version

Theorem lssvsubcl 17464
 Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m
lssvsubcl.s
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 753 . . 3
2 eqid 2443 . . . . 5
3 lssvsubcl.s . . . . 5
42, 3lssel 17458 . . . 4
62, 3lssel 17458 . . . 4
8 eqid 2443 . . . 4
9 lssvsubcl.m . . . 4
10 eqid 2443 . . . 4 Scalar Scalar
11 eqid 2443 . . . 4
12 eqid 2443 . . . 4 Scalar Scalar
13 eqid 2443 . . . 4 Scalar Scalar
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 17439 . . 3 ScalarScalar
151, 5, 7, 14syl3anc 1229 . 2 ScalarScalar
1610lmodfgrp 17395 . . . . . . 7 Scalar
171, 16syl 16 . . . . . 6 Scalar
18 eqid 2443 . . . . . . . 8 Scalar Scalar
1910, 18, 13lmod1cl 17413 . . . . . . 7 Scalar Scalar
201, 19syl 16 . . . . . 6 Scalar Scalar
2118, 12grpinvcl 15969 . . . . . 6 Scalar Scalar Scalar ScalarScalar Scalar
2217, 20, 21syl2anc 661 . . . . 5 ScalarScalar Scalar
232, 10, 11, 18lmodvscl 17403 . . . . 5 ScalarScalar Scalar ScalarScalar
241, 22, 7, 23syl3anc 1229 . . . 4 ScalarScalar
252, 8lmodcom 17430 . . . 4 ScalarScalar ScalarScalar ScalarScalar
261, 5, 24, 25syl3anc 1229 . . 3 ScalarScalar ScalarScalar
27 simplr 755 . . . 4
28 simprr 757 . . . 4
29 simprl 756 . . . 4
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 17463 . . . 4 ScalarScalar Scalar ScalarScalar
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1231 . . 3 ScalarScalar
3226, 31eqeltrd 2531 . 2 ScalarScalar
3315, 32eqeltrd 2531 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  cfv 5578  (class class class)co 6281  cbs 14509   cplusg 14574  Scalarcsca 14577  cvsca 14578  cgrp 15927  cminusg 15928  csg 15929  cur 17027  clmod 17386  clss 17452 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-2 10600  df-ndx 14512  df-slot 14513  df-base 14514  df-sets 14515  df-plusg 14587  df-0g 14716  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15931  df-minusg 15932  df-sbg 15933  df-mgp 17016  df-ur 17028  df-ring 17074  df-lmod 17388  df-lss 17453 This theorem is referenced by:  lssvancl1  17465  lss0cl  17467  lsmcv  17661  lspsolv  17663  ldualssvsubcl  34624  lclkrlem2o  36988  mapdpglem6  37145  mapdpglem12  37150  hdmaprnlem7N  37325  hdmaprnlem8N  37326
 Copyright terms: Public domain W3C validator