MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lssvsubcl Unicode version

Theorem lssvsubcl 15975
Description: Closure of vector subtraction in a subspace. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lssvsubcl.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lssvsubcl.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
Assertion
Ref Expression
lssvsubcl  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )

Proof of Theorem lssvsubcl
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  W  e.  LMod )
2 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( Base `  W )  =  (
Base `  W )
3 lssvsubcl.s . . . . 5  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
42, 3lssel 15969 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  X  e.  U )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
54ad2ant2lr 729 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  ( Base `  W ) )
62, 3lssel 15969 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  Y  e.  U )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
76ad2ant2l 727 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  ( Base `  W ) )
8 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
9 lssvsubcl.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
10 eqid 2404 . . . 4  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
11 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
12 eqid 2404 . . . 4  |-  ( inv g `  (Scalar `  W ) )  =  ( inv g `  (Scalar `  W ) )
13 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
142, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 15954 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
151, 5, 7, 14syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ) )
1610lmodfgrp 15914 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  (Scalar `  W )  e.  Grp )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  Grp )
18 eqid 2404 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
1910, 18, 13lmod1cl 15932 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LMod  ->  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
201, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( 1r `  (Scalar `  W ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
2118, 12grpinvcl 14805 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  Grp  /\  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )  ->  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
2217, 20, 21syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
232, 10, 11, 18lmodvscl 15922 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
)  /\  Y  e.  ( Base `  W )
)  ->  ( (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )
241, 22, 7, 23syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y )  e.  ( Base `  W
) )
252, 8lmodcom 15945 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  ( Base `  W
)  /\  ( (
( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y )  e.  ( Base `  W
) )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
261, 5, 24, 25syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) )
27 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  U  e.  S )
28 simprr 734 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  Y  e.  U )
29 simprl 733 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  ->  X  e.  U )
3010, 18, 8, 11, 3lsscl 15974 . . . 4  |-  ( ( U  e.  S  /\  ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  U  /\  X  e.  U )
)  ->  ( (
( ( inv g `  (Scalar `  W )
) `  ( 1r `  (Scalar `  W )
) ) ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X )  e.  U )
3127, 22, 28, 29, 30syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  U
)
3226, 31eqeltrd 2478 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( ( inv g `  (Scalar `  W ) ) `
 ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  U )
3315, 32eqeltrd 2478 1  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  U  e.  S )  /\  ( X  e.  U  /\  Y  e.  U ) )  -> 
( X  .-  Y
)  e.  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484  Scalarcsca 13487   .scvsca 13488   Grpcgrp 14640   inv gcminusg 14641   -gcsg 14643   1rcur 15617   LModclmod 15905   LSubSpclss 15963
This theorem is referenced by:  lssvancl1  15976  lss0cl  15978  lsmcv  16168  lspsolv  16170  ldualssvsubcl  29642  lclkrlem2o  32004  mapdpglem6  32161  mapdpglem12  32166  hdmaprnlem7N  32341  hdmaprnlem8N  32342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620  df-lmod 15907  df-lss 15964
  Copyright terms: Public domain W3C validator