Theorem lspsolv 18414

Description: If X is in the span of A u. { Y } but not A, then Y is in the span of A u. { X }. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsolv.v	|- V = ( Base ` W )
lspsolv.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsolv.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsolv	|- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )

Proof of Theorem lspsolv

Dummy variables r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsolv.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspsolv.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspsolv.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4		eqid 2461	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2461	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2461	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
7		eqid 2461	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
8		eqid 2461	. . 3 |- { z e. V | E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( z ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) } = { z e. V | E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( z ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) }
9		lveclmod 18377	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
10	9	adantr 471	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> W e. LMod )
11		simpr1 1020	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> A C_ V )
12		simpr2 1021	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. V )
13		simpr3 1022	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
14	13	eldifad 3427	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> X e. ( N ` ( A u. { Y } ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14	lspsolvlem 18413	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
16	4	lvecdrng 18376	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
17	16	ad2antrr 737	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
18		simprl 769	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
19	10	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> W e. LMod )
20	12	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. V )
21		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
22		eqid 2461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
23	1, 4, 7, 21, 22	lmod0vs 18172	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( 0g ` W ) )
24	19, 20, 23	syl2anc 671	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( 0g ` W ) )
25	24	oveq2d 6330	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) )
26	11	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> A C_ V )
27	20	snssd 4129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> { Y } C_ V )
28	26, 27	unssd 3621	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { Y } ) C_ V )
29	1, 3	lspssv 18254	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { Y } ) C_ V ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ V )
30	19, 28, 29	syl2anc 671	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ V )
31	30	ssdifssd 3582	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) C_ V )
32	13	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
33	31, 32	sseldd 3444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. V )
34	1, 6, 22	lmod0vrid 18170	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = X )
35	19, 33, 34	syl2anc 671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = X )
36	25, 35	eqtrd 2495	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = X )
37	36, 32	eqeltrd 2539	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
38	37	eldifbd 3428	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> -. ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
39		simprr 771	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
40		oveq1 6321	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) = ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) )
41	40	oveq2d 6330	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) = ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
42	41	eleq1d 2523	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
43	39, 42	syl5ibcom 228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
44	43	necon3bd 2649	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( -. ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) -> r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
45	38, 44	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
46		eqid 2461	. . . . . . 7 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
47		eqid 2461	. . . . . . 7 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
48		eqid 2461	. . . . . . 7 |- ( invr ` (Scalar ` W ) ) = ( invr ` (Scalar ` W ) )
49	5, 21, 46, 47, 48	drnginvrl 18042	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. DivRing /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
50	17, 18, 45, 49	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
51	50	oveq1d 6329	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) )
52	5, 21, 48	drnginvrcl 18040	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. DivRing /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
53	17, 18, 45, 52	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
54	1, 4, 7, 5, 46	lmodvsass 18164	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
55	19, 53, 18, 20, 54	syl13anc 1278	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
56	1, 4, 7, 47	lmodvs1 18167	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
57	19, 20, 56	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
58	51, 55, 57	3eqtr3d 2503	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) = Y )
59	33	snssd 4129	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> { X } C_ V )
60	26, 59	unssd 3621	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { X } ) C_ V )
61	1, 2, 3	lspcl 18247	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V ) -> ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S )
62	19, 60, 61	syl2anc 671	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S )
63	1, 4, 7, 5	lmodvscl 18156	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. V )
64	19, 18, 20, 63	syl3anc 1276	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. V )
65		eqid 2461	. . . . . . 7 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
66	1, 6, 65	lmodvpncan 18189	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) = ( r ( .s ` W ) Y ) )
67	19, 64, 33, 66	syl3anc 1276	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) = ( r ( .s ` W ) Y ) )
68	1, 6	lmodcom 18182	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) = ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
69	19, 64, 33, 68	syl3anc 1276	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) = ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
70		ssun1 3608	. . . . . . . . . 10 |- A C_ ( A u. { X } )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> A C_ ( A u. { X } ) )
72	1, 3	lspss 18255	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V /\ A C_ ( A u. { X } ) ) -> ( N ` A ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
73	19, 60, 71, 72	syl3anc 1276	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` A ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
74	73, 39	sseldd 3444	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
75	69, 74	eqeltrd 2539	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
76	1, 3	lspssid 18256	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V ) -> ( A u. { X } ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
77	19, 60, 76	syl2anc 671	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { X } ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
78		snidg 4005	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X e. { X } )
79		elun2 3613	. . . . . . . 8 |- ( X e. { X } -> X e. ( A u. { X } ) )
80	33, 78, 79	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( A u. { X } ) )
81	77, 80	sseldd 3444	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
82	65, 2	lssvsubcl 18215	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S ) /\ ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) /\ X e. ( N ` ( A u. { X } ) ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
83	19, 62, 75, 81, 82	syl22anc 1277	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
84	67, 83	eqeltrrd 2540	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
85	4, 7, 5, 2	lssvscl 18226	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S ) /\ ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
86	19, 62, 53, 84, 85	syl22anc 1277	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
87	58, 86	eqeltrrd 2540	. 2 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
88	15, 87	rexlimddv 2894	1 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   /\ w3a 991   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   E.wrex 2749   {crab 2752   \ cdif 3412   u. cun 3413   C_ wss 3415   {csn 3979   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   Basecbs 15169   +g cplusg 15238   .rcmulr 15239  Scalarcsca 15241   .scvsca 15242   0gc0g 15386   -gcsg 16719   1rcur 17783   invrcinvr 17947   DivRingcdr 18023   LModclmod 18139   LSubSpclss 18203   LSpanclspn 18242   LVecclvec 18373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-tpos 6998  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-ndx 15172  df-slot 15173  df-base 15174  df-sets 15175  df-ress 15176  df-plusg 15251  df-mulr 15252  df-0g 15388  df-mgm 16536  df-sgrp 16575  df-mnd 16585  df-grp 16721  df-minusg 16722  df-sbg 16723  df-cmn 17480  df-abl 17481  df-mgp 17772  df-ur 17784  df-ring 17830  df-oppr 17899  df-dvdsr 17917  df-unit 17918  df-invr 17948  df-drng 18025  df-lmod 18141  df-lss 18204  df-lsp 18243  df-lvec 18374

This theorem is referenced by:  lssacsex  18415  lspsnat  18416  lsppratlem1  18418  lsppratlem3  18420  lsppratlem4  18421  lbsextlem4  18432