Theorem lspsolv 17222

Description: If X is in the span of A u. { Y } but not A, then Y is in the span of A u. { X }. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsolv.v	|- V = ( Base ` W )
lspsolv.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsolv.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsolv	|- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )

Proof of Theorem lspsolv

Dummy variables r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsolv.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspsolv.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspsolv.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4		eqid 2441	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2441	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2441	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
7		eqid 2441	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
8		eqid 2441	. . 3 |- { z e. V | E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( z ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) } = { z e. V | E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( z ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) }
9		lveclmod 17185	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
10	9	adantr 465	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> W e. LMod )
11		simpr1 994	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> A C_ V )
12		simpr2 995	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. V )
13		simpr3 996	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
14	13	eldifad 3338	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> X e. ( N ` ( A u. { Y } ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14	lspsolvlem 17221	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
16	4	lvecdrng 17184	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
18		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
19	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> W e. LMod )
20	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. V )
21		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
22		eqid 2441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
23	1, 4, 7, 21, 22	lmod0vs 16979	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( 0g ` W ) )
24	19, 20, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( 0g ` W ) )
25	24	oveq2d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) )
26	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> A C_ V )
27	20	snssd 4016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> { Y } C_ V )
28	26, 27	unssd 3530	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { Y } ) C_ V )
29	1, 3	lspssv 17062	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { Y } ) C_ V ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ V )
30	19, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ V )
31	30	ssdifssd 3492	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) C_ V )
32	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
33	31, 32	sseldd 3355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. V )
34	1, 6, 22	lmod0vrid 16977	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = X )
35	19, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = X )
36	25, 35	eqtrd 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = X )
37	36, 32	eqeltrd 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
38	37	eldifbd 3339	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> -. ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
39		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
40		oveq1 6096	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) = ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) )
41	40	oveq2d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) = ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
42	41	eleq1d 2507	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
43	39, 42	syl5ibcom 220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
44	43	necon3bd 2643	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( -. ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) -> r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
45	38, 44	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
46		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
47		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
48		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( invr ` (Scalar ` W ) ) = ( invr ` (Scalar ` W ) )
49	5, 21, 46, 47, 48	drnginvrl 16849	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. DivRing /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
50	17, 18, 45, 49	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
51	50	oveq1d 6104	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) )
52	5, 21, 48	drnginvrcl 16847	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. DivRing /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
53	17, 18, 45, 52	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
54	1, 4, 7, 5, 46	lmodvsass 16971	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
55	19, 53, 18, 20, 54	syl13anc 1220	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
56	1, 4, 7, 47	lmodvs1 16974	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
57	19, 20, 56	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
58	51, 55, 57	3eqtr3d 2481	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) = Y )
59	33	snssd 4016	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> { X } C_ V )
60	26, 59	unssd 3530	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { X } ) C_ V )
61	1, 2, 3	lspcl 17055	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V ) -> ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S )
62	19, 60, 61	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S )
63	1, 4, 7, 5	lmodvscl 16963	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. V )
64	19, 18, 20, 63	syl3anc 1218	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. V )
65		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
66	1, 6, 65	lmodvpncan 16996	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) = ( r ( .s ` W ) Y ) )
67	19, 64, 33, 66	syl3anc 1218	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) = ( r ( .s ` W ) Y ) )
68	1, 6	lmodcom 16989	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) = ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
69	19, 64, 33, 68	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) = ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
70		ssun1 3517	. . . . . . . . . 10 |- A C_ ( A u. { X } )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> A C_ ( A u. { X } ) )
72	1, 3	lspss 17063	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V /\ A C_ ( A u. { X } ) ) -> ( N ` A ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
73	19, 60, 71, 72	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` A ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
74	73, 39	sseldd 3355	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
75	69, 74	eqeltrd 2515	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
76	1, 3	lspssid 17064	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V ) -> ( A u. { X } ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
77	19, 60, 76	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { X } ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
78		snidg 3901	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X e. { X } )
79		elun2 3522	. . . . . . . 8 |- ( X e. { X } -> X e. ( A u. { X } ) )
80	33, 78, 79	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( A u. { X } ) )
81	77, 80	sseldd 3355	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
82	65, 2	lssvsubcl 17023	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S ) /\ ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) /\ X e. ( N ` ( A u. { X } ) ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
83	19, 62, 75, 81, 82	syl22anc 1219	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
84	67, 83	eqeltrrd 2516	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
85	4, 7, 5, 2	lssvscl 17034	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S ) /\ ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
86	19, 62, 53, 84, 85	syl22anc 1219	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
87	58, 86	eqeltrrd 2516	. 2 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
88	15, 87	rexlimddv 2843	1 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717   \ cdif 3323   u. cun 3324   C_ wss 3326   {csn 3875   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   Basecbs 14172   +g cplusg 14236   .rcmulr 14237  Scalarcsca 14239   .scvsca 14240   0gc0g 14376   -gcsg 15411   1rcur 16601   invrcinvr 16761   DivRingcdr 16830   LModclmod 16946   LSubSpclss 17011   LSpanclspn 17050   LVecclvec 17181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-0g 14378  df-mnd 15413  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-unit 16732  df-invr 16762  df-drng 16832  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-lvec 17182

This theorem is referenced by:  lssacsex  17223  lspsnat  17224  lsppratlem1  17226  lsppratlem3  17228  lsppratlem4  17229  lbsextlem4  17240