Theorem lspsolv 17589

Description: If X is in the span of A u. { Y } but not A, then Y is in the span of A u. { X }. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsolv.v	|- V = ( Base ` W )
lspsolv.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspsolv.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsolv	|- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )

Proof of Theorem lspsolv

Dummy variables r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsolv.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
2		lspsolv.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
3		lspsolv.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
4		eqid 2467	. . 3 |- (Scalar ` W ) = (Scalar ` W )
5		eqid 2467	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` W ) ) = ( Base ` (Scalar ` W ) )
6		eqid 2467	. . 3 |- ( +g ` W ) = ( +g ` W )
7		eqid 2467	. . 3 |- ( .s ` W ) = ( .s ` W )
8		eqid 2467	. . 3 |- { z e. V | E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( z ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) } = { z e. V | E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( z ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) }
9		lveclmod 17552	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
10	9	adantr 465	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> W e. LMod )
11		simpr1 1002	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> A C_ V )
12		simpr2 1003	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. V )
13		simpr3 1004	. . . 4 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
14	13	eldifad 3488	. . 3 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> X e. ( N ` ( A u. { Y } ) ) )
15	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14	lspsolvlem 17588	. 2 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> E. r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
16	4	lvecdrng 17551	. . . . . . 7 |- ( W e. LVec -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
17	16	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> (Scalar ` W ) e. DivRing )
18		simprl 755	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
19	10	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> W e. LMod )
20	12	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. V )
21		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` (Scalar ` W ) ) = ( 0g ` (Scalar ` W ) )
22		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0g ` W ) = ( 0g ` W )
23	1, 4, 7, 21, 22	lmod0vs 17345	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( 0g ` W ) )
24	19, 20, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = ( 0g ` W ) )
25	24	oveq2d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) )
26	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> A C_ V )
27	20	snssd 4172	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> { Y } C_ V )
28	26, 27	unssd 3680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { Y } ) C_ V )
29	1, 3	lspssv 17429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { Y } ) C_ V ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ V )
30	19, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` ( A u. { Y } ) ) C_ V )
31	30	ssdifssd 3642	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) C_ V )
32	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
33	31, 32	sseldd 3505	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. V )
34	1, 6, 22	lmod0vrid 17343	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = X )
35	19, 33, 34	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( 0g ` W ) ) = X )
36	25, 35	eqtrd 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) = X )
37	36, 32	eqeltrd 2555	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) )
38	37	eldifbd 3489	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> -. ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
39		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) )
40		oveq1 6291	. . . . . . . . . . 11 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) = ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) )
41	40	oveq2d 6300	. . . . . . . . . 10 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) = ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) )
42	41	eleq1d 2536	. . . . . . . . 9 |- ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) <-> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
43	39, 42	syl5ibcom 220	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r = ( 0g ` (Scalar ` W ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) )
44	43	necon3bd 2679	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( -. ( X ( +g ` W ) ( ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) -> r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) )
45	38, 44	mpd 15	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) )
46		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( .r ` (Scalar ` W ) ) = ( .r ` (Scalar ` W ) )
47		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( 1r ` (Scalar ` W ) ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) )
48		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( invr ` (Scalar ` W ) ) = ( invr ` (Scalar ` W ) )
49	5, 21, 46, 47, 48	drnginvrl 17215	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. DivRing /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
50	17, 18, 45, 49	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) = ( 1r ` (Scalar ` W ) ) )
51	50	oveq1d 6299	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) )
52	5, 21, 48	drnginvrcl 17213	. . . . . 6 |- ( ( (Scalar ` W ) e. DivRing /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r =/= ( 0g ` (Scalar ` W ) ) ) -> ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
53	17, 18, 45, 52	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) )
54	1, 4, 7, 5, 46	lmodvsass 17337	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
55	19, 53, 18, 20, 54	syl13anc 1230	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .r ` (Scalar ` W ) ) r ) ( .s ` W ) Y ) = ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
56	1, 4, 7, 47	lmodvs1 17340	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
57	19, 20, 56	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( 1r ` (Scalar ` W ) ) ( .s ` W ) Y ) = Y )
58	51, 55, 57	3eqtr3d 2516	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) = Y )
59	33	snssd 4172	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> { X } C_ V )
60	26, 59	unssd 3680	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { X } ) C_ V )
61	1, 2, 3	lspcl 17422	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V ) -> ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S )
62	19, 60, 61	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S )
63	1, 4, 7, 5	lmodvscl 17329	. . . . . . 7 |- ( ( W e. LMod /\ r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ Y e. V ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. V )
64	19, 18, 20, 63	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. V )
65		eqid 2467	. . . . . . 7 |- ( -g ` W ) = ( -g ` W )
66	1, 6, 65	lmodvpncan 17363	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) = ( r ( .s ` W ) Y ) )
67	19, 64, 33, 66	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) = ( r ( .s ` W ) Y ) )
68	1, 6	lmodcom 17356	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. V /\ X e. V ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) = ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
69	19, 64, 33, 68	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) = ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) )
70		ssun1 3667	. . . . . . . . . 10 |- A C_ ( A u. { X } )
71	70	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> A C_ ( A u. { X } ) )
72	1, 3	lspss 17430	. . . . . . . . 9 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V /\ A C_ ( A u. { X } ) ) -> ( N ` A ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
73	19, 60, 71, 72	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( N ` A ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
74	73, 39	sseldd 3505	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
75	69, 74	eqeltrd 2555	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
76	1, 3	lspssid 17431	. . . . . . . 8 |- ( ( W e. LMod /\ ( A u. { X } ) C_ V ) -> ( A u. { X } ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
77	19, 60, 76	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( A u. { X } ) C_ ( N ` ( A u. { X } ) ) )
78		snidg 4053	. . . . . . . 8 |- ( X e. V -> X e. { X } )
79		elun2 3672	. . . . . . . 8 |- ( X e. { X } -> X e. ( A u. { X } ) )
80	33, 78, 79	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( A u. { X } ) )
81	77, 80	sseldd 3505	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> X e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
82	65, 2	lssvsubcl 17390	. . . . . 6 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S ) /\ ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) /\ X e. ( N ` ( A u. { X } ) ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
83	19, 62, 75, 81, 82	syl22anc 1229	. . . . 5 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( r ( .s ` W ) Y ) ( +g ` W ) X ) ( -g ` W ) X ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
84	67, 83	eqeltrrd 2556	. . . 4 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( r ( .s ` W ) Y ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
85	4, 7, 5, 2	lssvscl 17401	. . . 4 |- ( ( ( W e. LMod /\ ( N ` ( A u. { X } ) ) e. S ) /\ ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( r ( .s ` W ) Y ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
86	19, 62, 53, 84, 85	syl22anc 1229	. . 3 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> ( ( ( invr ` (Scalar ` W ) ) ` r ) ( .s ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
87	58, 86	eqeltrrd 2556	. 2 |- ( ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) /\ ( r e. ( Base ` (Scalar ` W ) ) /\ ( X ( +g ` W ) ( r ( .s ` W ) Y ) ) e. ( N ` A ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )
88	15, 87	rexlimddv 2959	1 |- ( ( W e. LVec /\ ( A C_ V /\ Y e. V /\ X e. ( ( N ` ( A u. { Y } ) ) \ ( N ` A ) ) ) ) -> Y e. ( N ` ( A u. { X } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818   \ cdif 3473   u. cun 3474   C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   0gc0g 14695   -gcsg 15730   1rcur 16955   invrcinvr 17121   DivRingcdr 17196   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417   LVecclvec 17548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549

This theorem is referenced by:  lssacsex  17590  lspsnat  17591  lsppratlem1  17593  lsppratlem3  17595  lsppratlem4  17596  lbsextlem4  17607