MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsolv Structured version   Unicode version

Theorem lspsolv 17589
Description: If  X is in the span of  A  u.  { Y } but not  A, then  Y is in the span of  A  u.  { X }. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsolv.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lspsolv.s  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
lspsolv.n  |-  N  =  ( LSpan `  W )
Assertion
Ref Expression
lspsolv  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )

Proof of Theorem lspsolv
Dummy variables  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lspsolv.v . . 3  |-  V  =  ( Base `  W
)
2 lspsolv.s . . 3  |-  S  =  ( LSubSp `  W )
3 lspsolv.n . . 3  |-  N  =  ( LSpan `  W )
4 eqid 2467 . . 3  |-  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  W )
5 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  W )
)  =  ( Base `  (Scalar `  W )
)
6 eqid 2467 . . 3  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
7 eqid 2467 . . 3  |-  ( .s
`  W )  =  ( .s `  W
)
8 eqid 2467 . . 3  |-  { z  e.  V  |  E. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) ( z ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  e.  ( N `  A ) }  =  { z  e.  V  |  E. r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) ( z ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  e.  ( N `  A ) }
9 lveclmod 17552 . . . 4  |-  ( W  e.  LVec  ->  W  e. 
LMod )
109adantr 465 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  W  e.  LMod )
11 simpr1 1002 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  A  C_  V
)
12 simpr2 1003 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  V
)
13 simpr3 1004 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) )
1413eldifad 3488 . . 3  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( A  u.  { Y }
) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12, 14lspsolvlem 17588 . 2  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  E. r  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) )
164lvecdrng 17551 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  LVec  ->  (Scalar `  W )  e.  DivRing )
1716ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
(Scalar `  W )  e.  DivRing )
18 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
r  e.  ( Base `  (Scalar `  W )
) )
1910adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  W  e.  LMod )
2012adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  Y  e.  V )
21 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 0g
`  (Scalar `  W )
)
22 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0g
`  W )  =  ( 0g `  W
)
231, 4, 7, 21, 22lmod0vs 17345 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  ( 0g `  W ) )
2419, 20, 23syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  =  ( 0g `  W
) )
2524oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  ( X ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) ) )
2611adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  A  C_  V )
2720snssd 4172 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  { Y }  C_  V
)
2826, 27unssd 3680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { Y } )  C_  V
)
291, 3lspssv 17429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { Y } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  V )
3019, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  C_  V )
3130ssdifssd 3642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) )  C_  V
)
3213adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \  ( N `
 A ) ) )
3331, 32sseldd 3505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  V )
341, 6, 22lmod0vrid 17343 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V )  ->  ( X ( +g  `  W
) ( 0g `  W ) )  =  X )
3519, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( 0g
`  W ) )  =  X )
3625, 35eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  =  X )
3736, 32eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) )
3837eldifbd 3489 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  -.  ( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) )
39 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  A ) )
40 oveq1 6291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( r ( .s `  W ) Y )  =  ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )
4140oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) )  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) ) )
4241eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  ->  ( ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
)  <->  ( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  A ) ) )
4339, 42syl5ibcom 220 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r  =  ( 0g `  (Scalar `  W ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( ( 0g `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )
4443necon3bd 2679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( -.  ( X ( +g  `  W
) ( ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `
 A )  -> 
r  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) ) )
4538, 44mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
r  =/=  ( 0g
`  (Scalar `  W )
) )
46 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( .r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( .r
`  (Scalar `  W )
)
47 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
)
48 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( invr `  (Scalar `  W )
)  =  ( invr `  (Scalar `  W )
)
495, 21, 46, 47, 48drnginvrl 17215 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r )  =  ( 1r `  (Scalar `  W ) ) )
5017, 18, 45, 49syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .r `  (Scalar `  W ) ) r )  =  ( 1r
`  (Scalar `  W )
) )
5150oveq1d 6299 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s
`  W ) Y )  =  ( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y ) )
525, 21, 48drnginvrcl 17213 . . . . . 6  |-  ( ( (Scalar `  W )  e.  DivRing  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  =/=  ( 0g `  (Scalar `  W ) ) )  ->  ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) ) )
5317, 18, 45, 52syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) ) )
541, 4, 7, 5, 46lmodvsass 17337 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )
)  ->  ( (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .r
`  (Scalar `  W )
) r ) ( .s `  W ) Y )  =  ( ( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .s
`  W ) ( r ( .s `  W ) Y ) ) )
5519, 53, 18, 20, 54syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( (
invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .r `  (Scalar `  W ) ) r ) ( .s
`  W ) Y )  =  ( ( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r ) ( .s
`  W ) ( r ( .s `  W ) Y ) ) )
561, 4, 7, 47lmodvs1 17340 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  Y  e.  V )  ->  (
( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W ) Y )  =  Y )
5719, 20, 56syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( 1r `  (Scalar `  W ) ) ( .s `  W
) Y )  =  Y )
5851, 55, 573eqtr3d 2516 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .s `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  =  Y )
5933snssd 4172 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  { X }  C_  V
)
6026, 59unssd 3680 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { X } )  C_  V
)
611, 2, 3lspcl 17422 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V
)  ->  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )
6219, 60, 61syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )
631, 4, 7, 5lmodvscl 17329 . . . . . . 7  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  Y  e.  V )  ->  ( r ( .s
`  W ) Y )  e.  V )
6419, 18, 20, 63syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r ( .s
`  W ) Y )  e.  V )
65 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( -g `  W )  =  (
-g `  W )
661, 6, 65lmodvpncan 17363 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W
) X )  =  ( r ( .s
`  W ) Y ) )
6719, 64, 33, 66syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W ) X )  =  ( r ( .s `  W ) Y ) )
681, 6lmodcom 17356 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  V  /\  X  e.  V )  ->  (
( r ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X )  =  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) ) )
6919, 64, 33, 68syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  =  ( X ( +g  `  W ) ( r ( .s
`  W ) Y ) ) )
70 ssun1 3667 . . . . . . . . . 10  |-  A  C_  ( A  u.  { X } )
7170a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  A  C_  ( A  u.  { X } ) )
721, 3lspss 17430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V  /\  A  C_  ( A  u.  { X }
) )  ->  ( N `  A )  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7319, 60, 71, 72syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( N `  A
)  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7473, 39sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( X ( +g  `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7569, 74eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
761, 3lspssid 17431 . . . . . . . 8  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  u.  { X } )  C_  V
)  ->  ( A  u.  { X } ) 
C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
7719, 60, 76syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( A  u.  { X } )  C_  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
78 snidg 4053 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  V  ->  X  e.  { X } )
79 elun2 3672 . . . . . . . 8  |-  ( X  e.  { X }  ->  X  e.  ( A  u.  { X }
) )
8033, 78, 793syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( A  u.  { X } ) )
8177, 80sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  X  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8265, 2lssvsubcl 17390 . . . . . 6  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )  /\  (
( ( r ( .s `  W ) Y ) ( +g  `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  /\  X  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) ) )  ->  ( (
( r ( .s
`  W ) Y ) ( +g  `  W
) X ) (
-g `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )
8319, 62, 75, 81, 82syl22anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( r ( .s `  W
) Y ) ( +g  `  W ) X ) ( -g `  W ) X )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8467, 83eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( r ( .s
`  W ) Y )  e.  ( N `
 ( A  u.  { X } ) ) )
854, 7, 5, 2lssvscl 17401 . . . 4  |-  ( ( ( W  e.  LMod  /\  ( N `  ( A  u.  { X } ) )  e.  S )  /\  (
( ( invr `  (Scalar `  W ) ) `  r )  e.  (
Base `  (Scalar `  W
) )  /\  (
r ( .s `  W ) Y )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) ) )  ->  ( (
( invr `  (Scalar `  W
) ) `  r
) ( .s `  W ) ( r ( .s `  W
) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8619, 62, 53, 84, 85syl22anc 1229 . . 3  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  -> 
( ( ( invr `  (Scalar `  W )
) `  r )
( .s `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8758, 86eqeltrrd 2556 . 2  |-  ( ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  (
( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  /\  ( r  e.  ( Base `  (Scalar `  W ) )  /\  ( X ( +g  `  W
) ( r ( .s `  W ) Y ) )  e.  ( N `  A
) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X } ) ) )
8815, 87rexlimddv 2959 1  |-  ( ( W  e.  LVec  /\  ( A  C_  V  /\  Y  e.  V  /\  X  e.  ( ( N `  ( A  u.  { Y } ) )  \ 
( N `  A
) ) ) )  ->  Y  e.  ( N `  ( A  u.  { X }
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   .rcmulr 14556  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   0gc0g 14695   -gcsg 15730   1rcur 16955   invrcinvr 17121   DivRingcdr 17196   LModclmod 17312   LSubSpclss 17378   LSpanclspn 17417   LVecclvec 17548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6955  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-cmn 16606  df-abl 16607  df-mgp 16944  df-ur 16956  df-rng 17002  df-oppr 17073  df-dvdsr 17091  df-unit 17092  df-invr 17122  df-drng 17198  df-lmod 17314  df-lss 17379  df-lsp 17418  df-lvec 17549
This theorem is referenced by:  lssacsex  17590  lspsnat  17591  lsppratlem1  17593  lsppratlem3  17595  lsppratlem4  17596  lbsextlem4  17607
  Copyright terms: Public domain W3C validator