Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldepsprlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldepsprlem 42055
 Description: Lemma for ldepspr 42056. (Contributed by AV, 16-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
snlindsntor.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
snlindsntor.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
snlindsntor.s 𝑆 = (Base‘𝑅)
snlindsntor.0 0 = (0g𝑅)
snlindsntor.z 𝑍 = (0g𝑀)
snlindsntor.t · = ( ·𝑠𝑀)
ldepsprlem.1 1 = (1r𝑅)
ldepsprlem.n 𝑁 = (invg𝑅)
Assertion
Ref Expression
ldepsprlem ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))

Proof of Theorem ldepsprlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6557 . . . 4 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → ( 1 · 𝑋) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
21oveq1d 6564 . . 3 (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3 simpl 472 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑀 ∈ LMod)
4 snlindsntor.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5 snlindsntor.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (Base‘𝑅)
6 ldepsprlem.1 . . . . . . . . 9 1 = (1r𝑅)
74, 5, 6lmod1cl 18713 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 1𝑆)
87adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 1𝑆)
9 simpr3 1062 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝐴𝑆)
10 simpr2 1061 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → 𝑌𝐵)
11 snlindsntor.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
12 snlindsntor.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
13 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1411, 4, 12, 5, 13lmodvsass 18711 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ( 1𝑆𝐴𝑆𝑌𝐵)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
153, 8, 9, 10, 14syl13anc 1320 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = ( 1 · (𝐴 · 𝑌)))
1615eqcomd 2616 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 · (𝐴 · 𝑌)) = (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌))
1716oveq1d 6564 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
184lmodring 18694 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
19 simp3 1056 . . . . . . . 8 ((𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆) → 𝐴𝑆)
205, 13, 6ringlidm 18394 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑆) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2118, 19, 20syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 1 (.r𝑅)𝐴) = 𝐴)
2221oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌) = (𝐴 · 𝑌))
2322oveq1d 6564 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
244lmodfgrp 18695 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
25 ldepsprlem.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invg𝑅)
265, 25grpinvcl 17290 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
2724, 19, 26syl2an 493 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑆)
28 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝑀) = (+g𝑀)
29 eqid 2610 . . . . . . 7 (+g𝑅) = (+g𝑅)
3011, 28, 4, 12, 5, 29lmodvsdir 18710 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐴𝑆 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑆𝑌𝐵)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
313, 9, 27, 10, 30syl13anc 1320 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((𝐴 · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)))
32 snlindsntor.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
335, 29, 32, 25grprinv 17292 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑆) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3424, 19, 33syl2an 493 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) = 0 )
3534oveq1d 6564 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ( 0 · 𝑌))
36 snlindsntor.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0g𝑀)
3711, 4, 12, 32, 36lmod0vs 18719 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
38373ad2antr2 1220 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ( 0 · 𝑌) = 𝑍)
3935, 38eqtrd 2644 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((𝐴(+g𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = 𝑍)
4023, 31, 393eqtr2d 2650 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → ((( 1 (.r𝑅)𝐴) · 𝑌)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4117, 40eqtrd 2644 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (( 1 · (𝐴 · 𝑌))(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
422, 41sylan9eqr 2666 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) ∧ 𝑋 = (𝐴 · 𝑌)) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍)
4342ex 449 1 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝐴𝑆)) → (𝑋 = (𝐴 · 𝑌) → (( 1 · 𝑋)(+g𝑀)((𝑁𝐴) · 𝑌)) = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688 This theorem is referenced by:  ldepspr  42056
 Copyright terms: Public domain W3C validator