MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubvs 18742
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubvs.p + = (+g𝑊)
lmodsubvs.m = (-g𝑊)
lmodsubvs.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubvs.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubvs.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubvs.n 𝑁 = (invg𝐹)
lmodsubvs.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubvs.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubvs.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodsubvs.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubvs.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3 lmodsubvs.a . . . 4 (𝜑𝐴𝐾)
4 lmodsubvs.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
5 lmodsubvs.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
6 lmodsubvs.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
7 lmodsubvs.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
8 lmodsubvs.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
95, 6, 7, 8lmodvscl 18703 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
101, 3, 4, 9syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
11 lmodsubvs.p . . . 4 + = (+g𝑊)
12 lmodsubvs.m . . . 4 = (-g𝑊)
13 lmodsubvs.n . . . 4 𝑁 = (invg𝐹)
14 eqid 2610 . . . 4 (1r𝐹) = (1r𝐹)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 18741 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
161, 2, 10, 15syl3anc 1318 . 2 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
176lmodring 18694 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
181, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
19 ringgrp 18375 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
218, 14ringidcl 18391 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2218, 21syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
238, 13grpinvcl 17290 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2420, 22, 23syl2anc 691 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
25 eqid 2610 . . . . . 6 (.r𝐹) = (.r𝐹)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 18711 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1320 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 18417 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) = (𝑁𝐴))
2928oveq1d 6564 . . . 4 (𝜑 → (((𝑁‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3027, 29eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
3130oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝑋 + ((𝑁‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
3216, 31eqtrd 2644 1 (𝜑 → (𝑋 (𝐴 · 𝑌)) = (𝑋 + ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1475  wcel 1977  cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892
This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688
This theorem is referenced by:  lspexch  18950  baerlem5alem1  36015  baerlem5blem1  36016
  Copyright terms: Public domain W3C validator