MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubvs 16981
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubvs.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodsubvs.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubvs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubvs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubvs.n  |-  N  =  ( invg `  F )
lmodsubvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubvs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodsubvs.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubvs.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lmodsubvs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
4 lmodsubvs.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
5 lmodsubvs.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 lmodsubvs.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
7 lmodsubvs.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
8 lmodsubvs.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
95, 6, 7, 8lmodvscl 16945 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
101, 3, 4, 9syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
11 lmodsubvs.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 lmodsubvs.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
13 lmodsubvs.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  F )
14 eqid 2441 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 16980 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( A  .x.  Y )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  (
( N `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
161, 2, 10, 15syl3anc 1213 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A 
.x.  Y ) ) ) )
176lmodrng 16936 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
181, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
19 rnggrp 16640 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
218, 14rngidcl 16655 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
2218, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
238, 13grpinvcl 15576 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2420, 22, 23syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
25 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 16953 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
288, 25, 14, 13, 18, 3rngnegl 16675 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  =  ( N `  A ) )
2928oveq1d 6105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  A ) 
.x.  Y ) )
3027, 29eqtr3d 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A 
.x.  Y ) )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )
3130oveq2d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  (
( N `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
3216, 31eqtrd 2473 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   -gcsg 15409   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930
This theorem is referenced by:  lspexch  17188  baerlem5alem1  35041  baerlem5blem1  35042
  Copyright terms: Public domain W3C validator