MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubvs Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubvs 17692
Description: Subtraction of a scalar product in terms of addition. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubvs.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubvs.p  |-  .+  =  ( +g  `  W )
lmodsubvs.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubvs.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubvs.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubvs.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubvs.n  |-  N  =  ( invg `  F )
lmodsubvs.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubvs.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubvs.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodsubvs.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubvs  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )

Proof of Theorem lmodsubvs
StepHypRef Expression
1 lmodsubvs.w . . 3  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubvs.x . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lmodsubvs.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
4 lmodsubvs.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
5 lmodsubvs.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
6 lmodsubvs.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
7 lmodsubvs.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
8 lmodsubvs.k . . . . 5  |-  K  =  ( Base `  F
)
95, 6, 7, 8lmodvscl 17655 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
101, 3, 4, 9syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
11 lmodsubvs.p . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  W )
12 lmodsubvs.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  W )
13 lmodsubvs.n . . . 4  |-  N  =  ( invg `  F )
14 eqid 2457 . . . 4  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
155, 11, 12, 6, 7, 13, 14lmodvsubval2 17691 . . 3  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  ( A  .x.  Y )  e.  V )  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  (
( N `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
161, 2, 10, 15syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A 
.x.  Y ) ) ) )
176lmodring 17646 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
181, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
19 ringgrp 17329 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
218, 14ringidcl 17345 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
2218, 21syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
238, 13grpinvcl 16221 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
25 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
265, 6, 7, 8, 25lmodvsass 17663 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( N `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
271, 24, 3, 4, 26syl13anc 1230 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  ( 1r
`  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
288, 25, 14, 13, 18, 3ringnegl 17366 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  =  ( N `  A ) )
2928oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( N `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( N `  A ) 
.x.  Y ) )
3027, 29eqtr3d 2500 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( N `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A 
.x.  Y ) )  =  ( ( N `
 A )  .x.  Y ) )
3130oveq2d 6312 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  .+  (
( N `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
3216, 31eqtrd 2498 1  |-  ( ph  ->  ( X  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( X  .+  ( ( N `  A )  .x.  Y
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   .rcmulr 14712  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   Grpcgrp 16179   invgcminusg 16180   -gcsg 16181   1rcur 17279   Ringcrg 17324   LModclmod 17638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640
This theorem is referenced by:  lspexch  17901  baerlem5alem1  37536  baerlem5blem1  37537
  Copyright terms: Public domain W3C validator