Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodsubdi 18743
 Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 27290 analog, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodsubdi.t · = ( ·𝑠𝑊)
lmodsubdi.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lmodsubdi.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lmodsubdi.m = (-g𝑊)
lmodsubdi.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lmodsubdi.a (𝜑𝐴𝐾)
lmodsubdi.x (𝜑𝑋𝑉)
lmodsubdi.y (𝜑𝑌𝑉)
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
2 lmodsubdi.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
3 lmodsubdi.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
4 lmodsubdi.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2610 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
6 lmodsubdi.m . . . . 5 = (-g𝑊)
7 lmodsubdi.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
8 lmodsubdi.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
9 eqid 2610 . . . . 5 (invg𝐹) = (invg𝐹)
10 eqid 2610 . . . . 5 (1r𝐹) = (1r𝐹)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 18741 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
121, 2, 3, 11syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
1312oveq2d 6565 . 2 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8 𝐾 = (Base‘𝐹)
15 eqid 2610 . . . . . . . 8 (.r𝐹) = (.r𝐹)
167lmodring 18694 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)
171, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ Ring)
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8 (𝜑𝐴𝐾)
1914, 15, 10, 9, 17, 18rngnegr 18418 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) = ((invg𝐹)‘𝐴))
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 18417 . . . . . . 7 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) = ((invg𝐹)‘𝐴))
2119, 20eqtr4d 2647 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴))
2221oveq1d 6564 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌))
23 ringgrp 18375 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → 𝐹 ∈ Grp)
2417, 23syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
2514, 10ringidcl 18391 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Ring → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2617, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝐹) ∈ 𝐾)
2714, 9grpinvcl 17290 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Grp ∧ (1r𝐹) ∈ 𝐾) → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
2824, 26, 27syl2anc 691 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾)
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 18711 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾 ∧ ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝑌𝑉)) → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1320 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴(.r𝐹)((invg𝐹)‘(1r𝐹))) · 𝑌) = (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)))
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 18711 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝐴𝐾𝑌𝑉)) → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1320 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝐹)‘(1r𝐹))(.r𝐹)𝐴) · 𝑌) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
3322, 30, 323eqtr3d 2652 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌)) = (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌)))
3433oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
354, 7, 8, 14lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg𝐹)‘(1r𝐹)) ∈ 𝐾𝑌𝑉) → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
361, 28, 3, 35syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 18709 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴𝐾𝑋𝑉 ∧ (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌) ∈ 𝑉)) → (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1320 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(𝐴 · (((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
394, 7, 8, 14lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
401, 18, 2, 39syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
414, 7, 8, 14lmodvscl 18703 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑌𝑉) → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
421, 18, 3, 41syl3anc 1318 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 18741 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐴 · 𝑌) ∈ 𝑉) → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
441, 40, 42, 43syl3anc 1318 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋)(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · (𝐴 · 𝑌))))
4534, 38, 443eqtr4rd 2655 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)) = (𝐴 · (𝑋(+g𝑊)(((invg𝐹)‘(1r𝐹)) · 𝑌))))
4613, 45eqtr4d 2647 1 (𝜑 → (𝐴 · (𝑋 𝑌)) = ((𝐴 · 𝑋) (𝐴 · 𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  .rcmulr 15769  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  Grpcgrp 17245  invgcminusg 17246  -gcsg 17247  1rcur 18324  Ringcrg 18370  LModclmod 18686 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688 This theorem is referenced by:  lvecvscan  18932  cpmadugsumlemF  20500  nlmdsdi  22295  minveclem2  23005  mapdpglem21  35999  mapdpglem28  36008  baerlem3lem1  36014  baerlem5alem1  36015  baerlem5blem1  36016
 Copyright terms: Public domain W3C validator