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Theorem lmodsubdi 16982
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 24370 analog, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdi.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdi.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdi.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodsubdi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdi.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lmodsubdi.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 lmodsubdi.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6 lmodsubdi.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
7 lmodsubdi.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
8 lmodsubdi.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( invg `  F )  =  ( invg `  F )
10 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 16980 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
1312oveq2d 6106 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) ) )
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
15 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
167lmodrng 16936 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
171, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
1914, 15, 10, 9, 17, 18rngnegr 16676 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  =  ( ( invg `  F
) `  A )
)
2014, 15, 10, 9, 17, 18rngnegl 16675 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  =  ( ( invg `  F ) `  A
) )
2119, 20eqtr4d 2476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) A ) )
2221oveq1d 6105 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) A )  .x.  Y ) )
23 rnggrp 16640 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
2417, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
2514, 10rngidcl 16655 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
2617, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
2714, 9grpinvcl 15576 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2824, 26, 27syl2anc 656 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 16953 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( A  .x.  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( A  .x.  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 16953 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1215 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
3322, 30, 323eqtr3d 2481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) )
3433oveq2d 6106 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( A 
.x.  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
354, 7, 8, 14lmodvscl 16945 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y )  e.  V )
361, 28, 3, 35syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  e.  V
)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 16951 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  e.  V
) )  ->  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) ) )
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1215 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) ) )
394, 7, 8, 14lmodvscl 16945 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
401, 18, 2, 39syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
414, 7, 8, 14lmodvscl 16945 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
421, 18, 3, 41syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 16980 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( A 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
441, 40, 42, 43syl3anc 1213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
4534, 38, 443eqtr4rd 2484 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) ) )
4613, 45eqtr4d 2476 1  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   .rcmulr 14235  Scalarcsca 14237   .scvsca 14238   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   -gcsg 15409   1rcur 16593   Ringcrg 16635   LModclmod 16928
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-lmod 16930
This theorem is referenced by:  lvecvscan  17170  nlmdsdi  20162  minveclem2  20813  mapdpglem21  35025  mapdpglem28  35034  baerlem3lem1  35040  baerlem5alem1  35041  baerlem5blem1  35042
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