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Theorem lmodsubdi 17693
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 26092 analog, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdi.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdi.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdi.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodsubdi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdi.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lmodsubdi.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 lmodsubdi.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6 lmodsubdi.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
7 lmodsubdi.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
8 lmodsubdi.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( invg `  F )  =  ( invg `  F )
10 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 17691 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
1312oveq2d 6312 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) ) )
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
15 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
167lmodring 17646 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
171, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
1914, 15, 10, 9, 17, 18rngnegr 17367 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  =  ( ( invg `  F
) `  A )
)
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 17366 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  =  ( ( invg `  F ) `  A
) )
2119, 20eqtr4d 2501 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) A ) )
2221oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) A )  .x.  Y ) )
23 ringgrp 17329 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
2417, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
2514, 10ringidcl 17345 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
2617, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
2714, 9grpinvcl 16221 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2824, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 17663 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( A  .x.  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( A  .x.  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 17663 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1230 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
3322, 30, 323eqtr3d 2506 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) )
3433oveq2d 6312 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( A 
.x.  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
354, 7, 8, 14lmodvscl 17655 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y )  e.  V )
361, 28, 3, 35syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  e.  V
)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 17661 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  e.  V
) )  ->  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) ) )
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) ) )
394, 7, 8, 14lmodvscl 17655 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
401, 18, 2, 39syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
414, 7, 8, 14lmodvscl 17655 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
421, 18, 3, 41syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 17691 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( A 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
441, 40, 42, 43syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
4534, 38, 443eqtr4rd 2509 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) ) )
4613, 45eqtr4d 2501 1  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   .rcmulr 14712  Scalarcsca 14714   .scvsca 14715   Grpcgrp 16179   invgcminusg 16180   -gcsg 16181   1rcur 17279   Ringcrg 17324   LModclmod 17638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640
This theorem is referenced by:  lvecvscan  17883  cpmadugsumlemF  19503  nlmdsdi  21315  minveclem2  21966  mapdpglem21  37520  mapdpglem28  37529  baerlem3lem1  37535  baerlem5alem1  37536  baerlem5blem1  37537
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