Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodsubdi Structured version   Unicode version

Theorem lmodsubdi 17693
 Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 26092 analog, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v
lmodsubdi.t
lmodsubdi.f Scalar
lmodsubdi.k
lmodsubdi.m
lmodsubdi.w
lmodsubdi.a
lmodsubdi.x
lmodsubdi.y
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4
2 lmodsubdi.x . . . 4
3 lmodsubdi.y . . . 4
4 lmodsubdi.v . . . . 5
5 eqid 2457 . . . . 5
6 lmodsubdi.m . . . . 5
7 lmodsubdi.f . . . . 5 Scalar
8 lmodsubdi.t . . . . 5
9 eqid 2457 . . . . 5
10 eqid 2457 . . . . 5
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 17691 . . . 4
121, 2, 3, 11syl3anc 1228 . . 3
1312oveq2d 6312 . 2
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8
15 eqid 2457 . . . . . . . 8
167lmodring 17646 . . . . . . . . 9
171, 16syl 16 . . . . . . . 8
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8
1914, 15, 10, 9, 17, 18rngnegr 17367 . . . . . . 7
2014, 15, 10, 9, 17, 18ringnegl 17366 . . . . . . 7
2119, 20eqtr4d 2501 . . . . . 6
2221oveq1d 6311 . . . . 5
23 ringgrp 17329 . . . . . . . 8
2417, 23syl 16 . . . . . . 7
2514, 10ringidcl 17345 . . . . . . . 8
2617, 25syl 16 . . . . . . 7
2714, 9grpinvcl 16221 . . . . . . 7
2824, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 17663 . . . . . 6
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1230 . . . . 5
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 17663 . . . . . 6
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1230 . . . . 5
3322, 30, 323eqtr3d 2506 . . . 4
3433oveq2d 6312 . . 3
354, 7, 8, 14lmodvscl 17655 . . . . 5
361, 28, 3, 35syl3anc 1228 . . . 4
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 17661 . . . 4
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1230 . . 3
394, 7, 8, 14lmodvscl 17655 . . . . 5
401, 18, 2, 39syl3anc 1228 . . . 4
414, 7, 8, 14lmodvscl 17655 . . . . 5
421, 18, 3, 41syl3anc 1228 . . . 4
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 17691 . . . 4
441, 40, 42, 43syl3anc 1228 . . 3
4534, 38, 443eqtr4rd 2509 . 2
4613, 45eqtr4d 2501 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1395   wcel 1819  cfv 5594  (class class class)co 6296  cbs 14643   cplusg 14711  cmulr 14712  Scalarcsca 14714  cvsca 14715  cgrp 16179  cminusg 16180  csg 16181  cur 17279  crg 17324  clmod 17638 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-lmod 17640 This theorem is referenced by:  lvecvscan  17883  cpmadugsumlemF  19503  nlmdsdi  21315  minveclem2  21966  mapdpglem21  37520  mapdpglem28  37529  baerlem3lem1  37535  baerlem5alem1  37536  baerlem5blem1  37537
 Copyright terms: Public domain W3C validator