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Theorem lmodsubdi 17002
Description: Scalar multiplication distributive law for subtraction. (hvsubdistr1 24451 analog, with longer proof since our scalar multiplication is not commutative.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodsubdi.v  |-  V  =  ( Base `  W
)
lmodsubdi.t  |-  .x.  =  ( .s `  W )
lmodsubdi.f  |-  F  =  (Scalar `  W )
lmodsubdi.k  |-  K  =  ( Base `  F
)
lmodsubdi.m  |-  .-  =  ( -g `  W )
lmodsubdi.w  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
lmodsubdi.a  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
lmodsubdi.x  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
lmodsubdi.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
Assertion
Ref Expression
lmodsubdi  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) ) )

Proof of Theorem lmodsubdi
StepHypRef Expression
1 lmodsubdi.w . . . 4  |-  ( ph  ->  W  e.  LMod )
2 lmodsubdi.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  V )
3 lmodsubdi.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  V )
4 lmodsubdi.v . . . . 5  |-  V  =  ( Base `  W
)
5 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( +g  `  W )  =  ( +g  `  W )
6 lmodsubdi.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  W )
7 lmodsubdi.f . . . . 5  |-  F  =  (Scalar `  W )
8 lmodsubdi.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .s `  W )
9 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( invg `  F )  =  ( invg `  F )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  F )  =  ( 1r `  F
)
114, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 17000 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( X  .-  Y )  =  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) )
121, 2, 3, 11syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  .-  Y
)  =  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
1312oveq2d 6107 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) ) )
14 lmodsubdi.k . . . . . . . 8  |-  K  =  ( Base `  F
)
15 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( .r
`  F )  =  ( .r `  F
)
167lmodrng 16956 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  LMod  ->  F  e. 
Ring )
171, 16syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  Ring )
18 lmodsubdi.a . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  K )
1914, 15, 10, 9, 17, 18rngnegr 16686 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  =  ( ( invg `  F
) `  A )
)
2014, 15, 10, 9, 17, 18rngnegl 16685 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  =  ( ( invg `  F ) `  A
) )
2119, 20eqtr4d 2478 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A ( .r
`  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) A ) )
2221oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F
) A )  .x.  Y ) )
23 rnggrp 16650 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  F  e. 
Grp )
2417, 23syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  Grp )
2514, 10rngidcl 16665 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  Ring  ->  ( 1r
`  F )  e.  K )
2617, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1r `  F
)  e.  K )
2714, 9grpinvcl 15583 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  Grp  /\  ( 1r `  F )  e.  K )  -> 
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
2824, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K )
294, 7, 8, 14, 15lmodvsass 16973 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( A  .x.  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
301, 18, 28, 3, 29syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A ( .r `  F ) ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) )  .x.  Y )  =  ( A  .x.  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )
314, 7, 8, 14, 15lmodvsass 16973 . . . . . 6  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V ) )  -> 
( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
321, 28, 18, 3, 31syl13anc 1220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) ) ( .r `  F ) A )  .x.  Y
)  =  ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) )
3322, 30, 323eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) )  =  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) )
3433oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( A 
.x.  ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
354, 7, 8, 14lmodvscl 16965 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  (
( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) )  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y )  e.  V )
361, 28, 3, 35syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  e.  V
)
374, 5, 7, 8, 14lmodvsdi 16971 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  e.  K  /\  X  e.  V  /\  ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y )  e.  V
) )  ->  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) ) )
381, 18, 2, 36, 37syl13anc 1220 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( A  .x.  (
( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  Y ) ) ) )
394, 7, 8, 14lmodvscl 16965 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  X  e.  V )  ->  ( A  .x.  X )  e.  V )
401, 18, 2, 39syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  X
)  e.  V )
414, 7, 8, 14lmodvscl 16965 . . . . 5  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  A  e.  K  /\  Y  e.  V )  ->  ( A  .x.  Y )  e.  V )
421, 18, 3, 41syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  Y
)  e.  V )
434, 5, 6, 7, 8, 9, 10lmodvsubval2 17000 . . . 4  |-  ( ( W  e.  LMod  /\  ( A  .x.  X )  e.  V  /\  ( A 
.x.  Y )  e.  V )  ->  (
( A  .x.  X
)  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( ( A  .x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `  ( 1r `  F ) ) 
.x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
441, 40, 42, 43syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X ) ( +g  `  W ) ( ( ( invg `  F ) `
 ( 1r `  F ) )  .x.  ( A  .x.  Y ) ) ) )
4534, 38, 443eqtr4rd 2486 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( A  .x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) )  =  ( A  .x.  ( X ( +g  `  W
) ( ( ( invg `  F
) `  ( 1r `  F ) )  .x.  Y ) ) ) )
4613, 45eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( A  .x.  ( X  .-  Y ) )  =  ( ( A 
.x.  X )  .-  ( A  .x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239  Scalarcsca 14241   .scvsca 14242   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411   -gcsg 15413   1rcur 16603   Ringcrg 16645   LModclmod 16948
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-plusg 14251  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-lmod 16950
This theorem is referenced by:  lvecvscan  17192  nlmdsdi  20262  minveclem2  20913  mapdpglem21  35337  mapdpglem28  35346  baerlem3lem1  35352  baerlem5alem1  35353  baerlem5blem1  35354
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