Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap14lem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap14lem8 36185
 Description: Part of proof of part 14 in [Baer] p. 49 lines 33-35. (Contributed by NM, 1-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap14lem8.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap14lem8.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap14lem8.q + = (+g𝑈)
hdmap14lem8.t · = ( ·𝑠𝑈)
hdmap14lem8.o 0 = (0g𝑈)
hdmap14lem8.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap14lem8.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
hdmap14lem8.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
hdmap14lem8.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.d = (+g𝐶)
hdmap14lem8.e = ( ·𝑠𝐶)
hdmap14lem8.p 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
hdmap14lem8.a 𝐴 = (Base‘𝑃)
hdmap14lem8.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap14lem8.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap14lem8.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap14lem8.f (𝜑𝐹𝐵)
hdmap14lem8.g (𝜑𝐺𝐴)
hdmap14lem8.i (𝜑𝐼𝐴)
hdmap14lem8.xx (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
hdmap14lem8.yy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
hdmap14lem8.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
hdmap14lem8.j (𝜑𝐽𝐴)
hdmap14lem8.xy (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
Assertion
Ref Expression
hdmap14lem8 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))

Proof of Theorem hdmap14lem8
StepHypRef Expression
1 hdmap14lem8.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap14lem8.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap14lem8.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 35899 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 hdmap14lem8.j . . 3 (𝜑𝐽𝐴)
6 hdmap14lem8.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7 hdmap14lem8.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2610 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
9 hdmap14lem8.s . . . 4 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
10 hdmap14lem8.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1110eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
121, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 11hdmapcl 36140 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
13 hdmap14lem8.y . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3552 . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
151, 6, 7, 2, 8, 9, 3, 14hdmapcl 36140 . . 3 (𝜑 → (𝑆𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
16 hdmap14lem8.d . . . 4 = (+g𝐶)
17 hdmap14lem8.p . . . 4 𝑃 = (Scalar‘𝐶)
18 hdmap14lem8.e . . . 4 = ( ·𝑠𝐶)
19 hdmap14lem8.a . . . 4 𝐴 = (Base‘𝑃)
208, 16, 17, 18, 19lmodvsdi 18709 . . 3 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝐽𝐴 ∧ (𝑆𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆𝑌) ∈ (Base‘𝐶))) → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))))
214, 5, 12, 15, 20syl13anc 1320 . 2 (𝜑 → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))))
22 hdmap14lem8.q . . . . 5 + = (+g𝑈)
231, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 11, 14hdmapadd 36153 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 + 𝑌)) = ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌)))
2423oveq2d 6565 . . 3 (𝜑 → (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))))
25 hdmap14lem8.xy . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))))
261, 6, 3dvhlmod 35417 . . . . . . 7 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
27 hdmap14lem8.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹𝐵)
28 hdmap14lem8.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
29 hdmap14lem8.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑈)
30 hdmap14lem8.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑅)
317, 22, 28, 29, 30lmodvsdi 18709 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐹𝐵𝑋𝑉𝑌𝑉)) → (𝐹 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌)))
3226, 27, 11, 14, 31syl13anc 1320 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · (𝑋 + 𝑌)) = ((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌)))
3332fveq2d 6107 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = (𝑆‘((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌))))
347, 28, 29, 30lmodvscl 18703 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑋𝑉) → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3526, 27, 11, 34syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝑋) ∈ 𝑉)
367, 28, 29, 30lmodvscl 18703 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐵𝑌𝑉) → (𝐹 · 𝑌) ∈ 𝑉)
3726, 27, 14, 36syl3anc 1318 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐹 · 𝑌) ∈ 𝑉)
381, 6, 7, 22, 2, 16, 9, 3, 35, 37hdmapadd 36153 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆‘((𝐹 · 𝑋) + (𝐹 · 𝑌))) = ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) (𝑆‘(𝐹 · 𝑌))))
39 hdmap14lem8.xx . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) = (𝐺 (𝑆𝑋)))
40 hdmap14lem8.yy . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · 𝑌)) = (𝐼 (𝑆𝑌)))
4139, 40oveq12d 6567 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆‘(𝐹 · 𝑋)) (𝑆‘(𝐹 · 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4233, 38, 413eqtrd 2648 . . . 4 (𝜑 → (𝑆‘(𝐹 · (𝑋 + 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4325, 42eqtr3d 2646 . . 3 (𝜑 → (𝐽 (𝑆‘(𝑋 + 𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4424, 43eqtr3d 2646 . 2 (𝜑 → (𝐽 ((𝑆𝑋) (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
4521, 44eqtr3d 2646 1 (𝜑 → ((𝐽 (𝑆𝑋)) (𝐽 (𝑆𝑌))) = ((𝐺 (𝑆𝑋)) (𝐼 (𝑆𝑌))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 383   = wceq 1475   ∈ wcel 1977   ≠ wne 2780   ∖ cdif 3537  {csn 4125  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  0gc0g 15923  LModclmod 18686  LSpanclspn 18792  HLchlt 33655  LHypclh 34288  DVecHcdvh 35385  LCDualclcd 35893  HDMapchdma 36100 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892  ax-riotaBAD 33257 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-fal 1481  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-ot 4134  df-uni 4373  df-int 4411  df-iun 4457  df-iin 4458  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-of 6795  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-tpos 7239  df-undef 7286  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-1o 7447  df-oadd 7451  df-er 7629  df-map 7746  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-fin 7845  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-3 10957  df-4 10958  df-5 10959  df-6 10960  df-n0 11170  df-z 11255  df-uz 11564  df-fz 12198  df-struct 15697  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-mulr 15782  df-sca 15784  df-vsca 15785  df-0g 15925  df-mre 16069  df-mrc 16070  df-acs 16072  df-preset 16751  df-poset 16769  df-plt 16781  df-lub 16797  df-glb 16798  df-join 16799  df-meet 16800  df-p0 16862  df-p1 16863  df-lat 16869  df-clat 16931  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-oppg 17599  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-oppr 18446  df-dvdsr 18464  df-unit 18465  df-invr 18495  df-dvr 18506  df-drng 18572  df-lmod 18688  df-lss 18754  df-lsp 18793  df-lvec 18924  df-lsatoms 33281  df-lshyp 33282  df-lcv 33324  df-lfl 33363  df-lkr 33391  df-ldual 33429  df-oposet 33481  df-ol 33483  df-oml 33484  df-covers 33571  df-ats 33572  df-atl 33603  df-cvlat 33627  df-hlat 33656  df-llines 33802  df-lplanes 33803  df-lvols 33804  df-lines 33805  df-psubsp 33807  df-pmap 33808  df-padd 34100  df-lhyp 34292  df-laut 34293  df-ldil 34408  df-ltrn 34409  df-trl 34464  df-tgrp 35049  df-tendo 35061  df-edring 35063  df-dveca 35309  df-disoa 35336  df-dvech 35386  df-dib 35446  df-dic 35480  df-dih 35536  df-doch 35655  df-djh 35702  df-lcdual 35894  df-mapd 35932  df-hvmap 36064  df-hdmap1 36101  df-hdmap 36102 This theorem is referenced by:  hdmap14lem9  36186
 Copyright terms: Public domain W3C validator