Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lsmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsmcl 18904
 Description: The sum of two subspaces is a subspace. (Contributed by NM, 4-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
lsmcl.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
lsmcl.p = (LSSum‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lsmcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)

Proof of Theorem lsmcl
Dummy variables 𝑎 𝑑 𝑒 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmodabl 18733 . . . 4 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Abel)
213ad2ant1 1075 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑊 ∈ Abel)
3 lsmcl.s . . . . 5 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
43lsssubg 18778 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
543adant3 1074 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
63lsssubg 18778 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
763adant2 1073 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
8 lsmcl.p . . . 4 = (LSSum‘𝑊)
98lsmsubg2 18085 . . 3 ((𝑊 ∈ Abel ∧ 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
102, 5, 7, 9syl3anc 1318 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊))
11 eqid 2610 . . . . . . . 8 (+g𝑊) = (+g𝑊)
1211, 8lsmelval 17887 . . . . . . 7 ((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
135, 7, 12syl2anc 691 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
1413adantr 480 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) ↔ ∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒)))
15 simpll1 1093 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
16 simplr 788 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17 simpll2 1094 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑇𝑆)
18 simprl 790 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑑𝑇)
19 eqid 2610 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2019, 3lssel 18759 . . . . . . . . . 10 ((𝑇𝑆𝑑𝑇) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
2117, 18, 20syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑑 ∈ (Base‘𝑊))
22 simpll3 1095 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑈𝑆)
23 simprr 792 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑒𝑈)
2419, 3lssel 18759 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝑆𝑒𝑈) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
2522, 23, 24syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))
26 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
27 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
28 eqid 2610 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
2919, 11, 26, 27, 28lmodvsdi 18709 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑 ∈ (Base‘𝑊) ∧ 𝑒 ∈ (Base‘𝑊))) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)))
3015, 16, 21, 25, 29syl13anc 1320 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) = ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)))
3115, 17, 4syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3215, 22, 6syl2anc 691 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
3326, 27, 28, 3lssvscl 18776 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑑𝑇)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
3415, 17, 16, 18, 33syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇)
3526, 27, 28, 3lssvscl 18776 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
3615, 22, 16, 23, 35syl22anc 1319 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)
3711, 8lsmelvali 17888 . . . . . . . . 9 (((𝑇 ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑) ∈ 𝑇 ∧ (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒) ∈ 𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
3831, 32, 34, 36, 37syl22anc 1319 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑑)(+g𝑊)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
3930, 38eqeltrd 2688 . . . . . . 7 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈))
40 oveq2 6557 . . . . . . . 8 (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) = (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)))
4140eleq1d 2672 . . . . . . 7 (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → ((𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈) ↔ (𝑎( ·𝑠𝑊)(𝑑(+g𝑊)𝑒)) ∈ (𝑇 𝑈)))
4239, 41syl5ibrcom 236 . . . . . 6 ((((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) ∧ (𝑑𝑇𝑒𝑈)) → (𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4342rexlimdvva 3020 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (∃𝑑𝑇𝑒𝑈 𝑢 = (𝑑(+g𝑊)𝑒) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4414, 43sylbid 229 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → (𝑢 ∈ (𝑇 𝑈) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈)))
4544impr 647 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑢 ∈ (𝑇 𝑈))) → (𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))
4645ralrimivva 2954 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))
4726, 28, 19, 27, 3islss4 18783 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → ((𝑇 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))))
48473ad2ant1 1075 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → ((𝑇 𝑈) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑇 𝑈) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))∀𝑢 ∈ (𝑇 𝑈)(𝑎( ·𝑠𝑊)𝑢) ∈ (𝑇 𝑈))))
4910, 46, 48mpbir2and 959 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑇𝑆𝑈𝑆) → (𝑇 𝑈) ∈ 𝑆)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 195   ∧ wa 383   ∧ w3a 1031   = wceq 1475   ∈ wcel 1977  ∀wral 2896  ∃wrex 2897  ‘cfv 5804  (class class class)co 6549  Basecbs 15695  +gcplusg 15768  Scalarcsca 15771   ·𝑠 cvsca 15772  SubGrpcsubg 17411  LSSumclsm 17872  Abelcabl 18017  LModclmod 18686  LSubSpclss 18753 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1713  ax-4 1728  ax-5 1827  ax-6 1875  ax-7 1922  ax-8 1979  ax-9 1986  ax-10 2006  ax-11 2021  ax-12 2034  ax-13 2234  ax-ext 2590  ax-rep 4699  ax-sep 4709  ax-nul 4717  ax-pow 4769  ax-pr 4833  ax-un 6847  ax-cnex 9871  ax-resscn 9872  ax-1cn 9873  ax-icn 9874  ax-addcl 9875  ax-addrcl 9876  ax-mulcl 9877  ax-mulrcl 9878  ax-mulcom 9879  ax-addass 9880  ax-mulass 9881  ax-distr 9882  ax-i2m1 9883  ax-1ne0 9884  ax-1rid 9885  ax-rnegex 9886  ax-rrecex 9887  ax-cnre 9888  ax-pre-lttri 9889  ax-pre-lttrn 9890  ax-pre-ltadd 9891  ax-pre-mulgt0 9892 This theorem depends on definitions:  df-bi 196  df-or 384  df-an 385  df-3or 1032  df-3an 1033  df-tru 1478  df-ex 1696  df-nf 1701  df-sb 1868  df-eu 2462  df-mo 2463  df-clab 2597  df-cleq 2603  df-clel 2606  df-nfc 2740  df-ne 2782  df-nel 2783  df-ral 2901  df-rex 2902  df-reu 2903  df-rmo 2904  df-rab 2905  df-v 3175  df-sbc 3403  df-csb 3500  df-dif 3543  df-un 3545  df-in 3547  df-ss 3554  df-pss 3556  df-nul 3875  df-if 4037  df-pw 4110  df-sn 4126  df-pr 4128  df-tp 4130  df-op 4132  df-uni 4373  df-iun 4457  df-br 4584  df-opab 4644  df-mpt 4645  df-tr 4681  df-eprel 4949  df-id 4953  df-po 4959  df-so 4960  df-fr 4997  df-we 4999  df-xp 5044  df-rel 5045  df-cnv 5046  df-co 5047  df-dm 5048  df-rn 5049  df-res 5050  df-ima 5051  df-pred 5597  df-ord 5643  df-on 5644  df-lim 5645  df-suc 5646  df-iota 5768  df-fun 5806  df-fn 5807  df-f 5808  df-f1 5809  df-fo 5810  df-f1o 5811  df-fv 5812  df-riota 6511  df-ov 6552  df-oprab 6553  df-mpt2 6554  df-om 6958  df-1st 7059  df-2nd 7060  df-wrecs 7294  df-recs 7355  df-rdg 7393  df-er 7629  df-en 7842  df-dom 7843  df-sdom 7844  df-pnf 9955  df-mnf 9956  df-xr 9957  df-ltxr 9958  df-le 9959  df-sub 10147  df-neg 10148  df-nn 10898  df-2 10956  df-ndx 15698  df-slot 15699  df-base 15700  df-sets 15701  df-ress 15702  df-plusg 15781  df-0g 15925  df-mgm 17065  df-sgrp 17107  df-mnd 17118  df-submnd 17159  df-grp 17248  df-minusg 17249  df-sbg 17250  df-subg 17414  df-cntz 17573  df-lsm 17874  df-cmn 18018  df-abl 18019  df-mgp 18313  df-ur 18325  df-ring 18372  df-lmod 18688  df-lss 18754 This theorem is referenced by:  lsmelval2  18906  lsmsp  18907  lspprabs  18916  pj1lmhm  18921  lspabs3  18942  pjth  23018  lshpnelb  33289  lsmsat  33313  lsmcv2  33334  lcvat  33335  lcvexchlem4  33342  lcvexchlem5  33343  lcv1  33346  lsatexch  33348  lsatcv0eq  33352  lsatcvatlem  33354  lsatcvat2  33356  lsatcvat3  33357  lkrlsp  33407  dia2dimlem7  35377  dihjustlem  35523  dihord1  35525  dihlsscpre  35541  dihjatcclem2  35726  dihjat1lem  35735  dochexmidlem5  35771  dochexmidlem6  35772  dochexmidlem8  35774  lcfrlem23  35872  mapdlsmcl  35970  mapdlsm  35971  mapdpglem1  35979  mapdpglem2a  35981  mapdindp0  36026  mapdheq4lem  36038  mapdh6lem1N  36040  mapdh6lem2N  36041  hdmap1l6lem1  36115  hdmap1l6lem2  36116  hdmaprnlem3eN  36168  kercvrlsm  36671
 Copyright terms: Public domain W3C validator